线性代数部分
基本运算
① ABBA
② CBACBA
③ cBcABAc dAcAAdc
④ AcddAc
⑤ 00 ccA 或 0A 。
AA TT
TTT BABA
TT AccA 。
TTT ABAB
2
1
211 2
nn
Cnn n
nn AaAaAaD 2222222121
转置值不变 AAT
逆值变
A
A
11
AccA n
,,,,,, 2121
321 ,, A ,3 阶矩阵
321 ,, B
BABA
332211 ,, BA
332211 ,, BA
BA
B
A
B
A
0
0
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1, cjiE
有关乘法的基本运算
njinjijiij bababaC 2211
线性性质 BABABAA 2121 ,
2121 ABABBBA
cBAABcBcA
结合律 BCACAB
TTT ABAB
BAAB
lklk AAA
kllk AA
kkk BAAB 不一定成立!
AAE , AEA
kAkEA , kAAkE
EBAEAB
与数的乘法的不同之处
kkk BAAB 不一定成立!
无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵 A的每个多项式可以因式分解,例如
EAEAEAA 3322
无消去律(矩阵和矩阵相乘)
当 0AB 时 0 A 或 0B
由 0A 和 00 BAB
由 0A 时 CBACAB (无左消去律)
特别的 设 A可逆,则 A有消去律。
左消去律: CBACAB 。
右消去律: CBCABA 。
如果 A列满秩,则 A有左消去律,即
① 00 BAB
② CBACAB
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可逆矩阵的性质
i)当 A可逆时,
TA 也可逆,且 TT AA 11 。
kA 也可逆,且 kk AA 11 。
数 0c , cA也可逆, 11 1 A
c
cA 。
ii) A,B是两个n阶可逆矩阵 AB 也可逆,且 111 ABAB 。
推论:设 A,B是两个n阶矩阵,则 EBAEAB
命题:初等矩阵都可逆,且
jiEjiE ,, 1
c
iEciE
11
cjiEcjiE ,, 1
命题:准对角矩阵
kkA
A
A
A
000
000
000
000
22
11
可 逆 每 个 iiA 都 可 逆 , 记
1
1
22
1
11
1
000
000
000
000
kkA
A
A
A
伴随矩阵的基本性质:
EAAAAA **
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当 A可逆时, E
A
A
A
*
得
A
A
A
*1 , (求逆矩阵的伴随矩阵法)
且 得 : 11* A
A
A
A
A
A
AAA
1111 *
伴随矩阵的其他性质
①
1
*
n
AA , 1* AAA
② ,** TT AA
③ ** 1AccA n ,
④ *,** ABAB
⑤ kk AA ** ,
⑥ AAA n 2** 。 2n 时, AA **
dc
ba
A*
关于矩阵右上肩记号:T, k , 1 ,*
i) 任何两个的次序可交换,
如 TT AA ** ,
** 11 AA 等
ii) 111 , ABABABAB TTT ,
*** ABAB
但 kkk ABAB 不一定成立!
线性
示
s ,,,0 21
si ,,, 21
sss xxx 221121 ,,, 有解
xs,,, 21 有解 Tsxxx ,,1
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Ax 有解,即 可用 A 的列向量组表示
srrrCAB ,,, 21 , nA ,,, 21 ,
则 nsrrr ,,,,,, 2121 。
st ,,,,,, 2121 ,
则存在矩阵C,使得 Cst ,,,,,, 2121
线性表示关系有传递性 当 pst rrr ,,,,,,,,, 212121 ,
则 pt rrr ,,,,,, 2121 。
等 价 关 系 : 如 果 s ,,, 21 与 t ,,, 21 互 相 可 表 示
ts ,,,,,, 2121
记作 ts ,,,,,, 2121 。
线性相关
1s ,单个向量, 0x 相关 0
2s , 21 , 相关对应分量成比例 21 , 相关 nn bababa ::: 2211
①向量个数 s =维数n,则 n1 ,, 线性相(无)关 01 n
nA ,,, 21 , 0Ax 有非零解 0 A
如果 ns ,则 s ,,, 21 一定相关
0Ax 的方程个数 n 未知数个数 s
②如果 s ,,, 21 无关,则它的每一个部分组都无关
③如果 s ,,, 21 无关,而 ,,,, 21 s 相关,则 s ,,, 21
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证明:设 ccc s ,,,1 不全为 0,使得 011 ccc ss
则其中 0c ,否则 scc ,,1 不全为 0, 011 sscc ,与条件 s ,,1
无关矛盾。于是 s
s
c
c
c
c
1
1 。
④当 s ,,1 时,表示方式唯一 s 1 无关
(表示方式不唯一 s 1 相关)
⑤若 st ,,,, 11 ,并且 st ,则 t ,,1 一定线性相关。
证明:记 sA ,,1 , tB ,,1 ,
则存在 ts 矩阵C,使得 ACB 。
0Cx 有 s个方程, t个未知数, ts ,有非零解, 0C 。
则 0 ACB ,即也是 0Bx 的非零解,从而 t ,,1 线性相关。
各性质的逆否形式
①如果 s ,,, 21 无关,则 ns 。
②如果 s ,,, 21 有相关的部分组,则它自己一定也相关。
③如果 s 1 无关,而 s ,,1 ,则 s,,1 无关。
⑤如果 st 11 , t 1 无关,则 st 。
推论:若两个无关向量组 s 1 与 t 1 等价,则 ts 。
极大无关组
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一个线性无关部分组 I ,若 I# 等于秩 I6421 ,,, , I 就一定是极大无关
组
① s ,,, 21 无关 ss ,,, 21
② sss ,, ,,,, ,,, 12121
另一种说法: 取 s ,,, 21 的一个极大无关组 I
I 也是 ,,,, 21 s 的极大无关组 ,I 相关。
证明: ,,,1 IIs 相关。
ss
ss
s
,,/,1,,
,,,
,,,
11
11
1
③ 可用 s ,,1 唯一表示 sss ,, ,,, 11
④ stsst ,, ,,,,, ,,,, 11111
st ,, ,, 11
⑤ ts ,,,, 11 ttss ,, , ,, 1111
矩阵的秩的简单性质
nmAr ,min0
00 AAr
A行满秩: mAr
A列满秩: nAr
n阶矩阵 A满秩: nAr
A满秩 A 的行(列)向量组线性无关
0 A
A 可逆
0 Ax 只有零解, Ax 唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
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初等变换保持矩阵的秩
① ArAr T
② 0c 时, ArcAr
③ BrArBAr
④ BrArABr ,min
⑤ A可逆时, BrABr
弱化条件:如果 A列满秩,则 BAB
证:下面证 0ABx 与 0Bx 同解。
是 0ABx 的解 0 AB
0B 是 0Bx 的解
B可逆时, ArABr
⑥若 0AB ,则 nBrAr ( A的列数,B的行数)
⑦ A列满秩时 BrABr
B行满秩时 ArABr
⑧ BrArnABr
解的性质
1. 0Ax 的解的性质。
如 果 e ,,, 21 是 一 组 解 , 则 它 们 的 任 意 线 性 组 合
eeccc 2211 一定也是解。
00, 2211 eeii cccAA
2. 0 Ax
①如果 e ,,, 21 是 Ax 的一组解,则
eeccc 2211 也是 Ax 的解 121 eccc
eeccc 2211 是 0Ax 的解 021 eccc
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iA i
eeee AcAcAccccA 22112211
eccc 21
特别的: 当 21 , 是 Ax 的两个解时, 21 是 0Ax 的解
②如果 0 是 Ax 的解,则n维向量 也是 Ax 的解 0 是 0Ax
的解。
解的情况判别
方程: Ax ,即 nnxxx 2211
有解 n ,,, 21
AA | nn ,,,,,,, 2121
无 解 AA | 唯 一 解 nAA | 无 穷 多 解
nAA |
方程个数m:
mAmA ,|
①当 mA 时, mA | ,有解②当 nm 时, nA ,不会是唯一解
对于齐次线性方程组 0Ax ,
只有零解 nA (即 A列满秩)(有非零解 nA )
特征值特征向量
是 A的特征值 是 A的特征多项式 AxE 的根。
两种特殊情形:
(1) A是上(下)三角矩阵,对角矩阵时,特征值即对角线上的元素。
3
2
1
00
0
**
A
321
3
2
1
00
0
**
xxx
x
x
x
AxE
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(2) 1Ar 时: A的特征值为 Atr,0,,0,0
特征值的性质
命题:n阶矩阵 A的特征值的重数 AErn
命题:设 A的特征值为 n ,, , 21 ,则
① An 21
② Atrn 21
命题:设是 A的特征向量,特征值为,即 A ,则
①对于 A的每个多项式 Af , xfAf
②当 A可逆时,
11 A ,
||
*
A
A
命题:设 A的特征值为 n ,,, 2 1 ,则
① Af 的特征值为 nfff ,,, 2 1
② A可逆时, 1A 的特征值为
n
1
,,
1
,
1
2 1
*A 的特征值为
n
AAA
2 1
||
,,
||
,
||
③
TA 的特征值也是 n ,, , 21
特征值的应用
①求行列式 nA ,,, || 2 1
②判别可逆性
是 A的特征值 EAAE 0 不可逆
EA 可逆 不是 A的特征值。
当 0Af 时,如果 0cf ,则 cEA 可逆
若是 A的特征值,则 f 是 Af 的特征值 0 f 。
ccf 0 不是 A的特征值 AcE 可逆。
n 阶矩阵的相似关系
当 UAAU 时, AB ,而 UAAU 时, AB 。
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相似关系有 i)对称性: ABBA ~~
BAUU 1 ,则 1UBUA
ii)有传递性: BA ~ , CB ~ ,则 CA ~
BAUU 1 , CBVV 1 ,则
CBVVAUVUVUVAUV 1111
命题 当 BA ~ 时, A和B有许多相同的性质
① BA
② BA
③ A,B的特征多项式相同,从而特征值完全一致。
A与B的特征向量的关系:是 A的属于的特征向量 1U 是B的属于的特征
向量。
11111
11
UAUUUUAU
UUBA
正定二次型与正定矩阵性质与判别
可逆线性变换替换保持正定性
nxxxf ,,, 21 变为 nyyyg ,,, 21 ,则它们同时正定或同时不正定
BA~ ,则 A,B同时正定,同时不正定。
例如 ACCB T 。如果 A正定,则对每个 0x
0 ACxCxACxCxBxx TTTT
(C可逆, 0x , 0Cx !)
我们给出关于正定的以下性质
A正定 EA ~
存在实可逆矩阵C, CCA T 。
A 的正惯性指数 n 。
A 的特征值全大于0 。
A 的每个顺序主子式全大于0 。
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判断 A正定的三种
:
①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。
基本概念
对称矩阵 AAT 。
反对称矩阵 AAT 。
简单阶梯形矩阵:台角位置的元素都为 1 ,台角正上方的元素都为 0。
如果 A是一个n阶矩阵, A是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵,反之不一定
矩阵消元法:(解的情况)
①写出增广矩阵 A ,用初等行变换化 A 为阶梯形矩阵 B 。
②用 B 判别解的情况。
i)如果 B 最下面的非零行为 d0,,0 ,则无解,否则有解。
ii)如果有解,记 是 B 的非零行数,则
n 时唯一解。
n 时无穷多解。
iii)唯一解求解的方法(初等变换法)
去掉 B 的零行,得 00 B ,它是 cnn 矩阵, 0B 是 n阶梯形矩阵,从而
是上三角矩阵。
则 0 nnb iinn bb 01 1 都不为0 。
ErBA 行行 就是解。
一个 n阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
的值:
①是 !n 项的代数和
②每一项是n个元素的乘积,它们共有 !n 项
nnjjj
aaa
21 21
其中 njjj 21 是 n,,2,1
的一个全排列。
③
nnjj
aa
11
前面乘的应为 njjj 211 njjj 21 的逆序数
n
n
n
jjj
njjj
jjj
aaa
21
21
21
211
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2
1
211 2
nn
Cnn n
代数余子式
ijM 为 ija 的余子式。
ij
ji
ij MA
1
定理:一个行列式的值D等于它的某一行(列),各元素与各自代数余子式乘积之和。
nn AaAaAaD 2222222121
一行(列)的元素乘上另一行(列)的相应元素代数余子式之和为0 。
范德蒙行列式
ji
ij
n
aa
aaa
)(
111
11
2nC 个
乘法相关
AB的 ji, 位元素是 A的第 i行和B的第 j列对应元素乘积之和。
njinjijiij bababaC 2211
乘积矩阵的列向量与行向量
(1)设 nm 矩阵 nA ,,, 21 , n维列向量
T
nbbb ,,, 21 ,则
nnbbbA 2211
矩阵乘法应用于方程组
方程组的矩阵形式
Ax , Tmbbb ,,, 21
方程组的向量形式
nnxxx 2211
(2)设 CAB ,
sAAAAB ,,, 21
nniiiii bbbAr 2211
AB的第 i个列向量是 A的列向量组的线性组合,组合系数是B的第 i个列向量
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的各分量。
AB的第 i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数是 A的第 i个行向量
的各分量。
矩阵分解
当矩阵C的每个列向量都是 A的列向量的线性组合时,可把C分解为 A与一
个矩阵B的乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题
n
n
000
000
000
000
,,, 2
1
21
nn ,,, 2211
对角矩阵从右侧乘一矩阵 A,即用对角线上的元素依次乘 A的各列向量
对角矩阵从左侧乘一矩阵 A,即用对角线上的元素依次乘 A的各行向量
于是 AAE , AEA
kAkEA , kAAkE
两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的 k次方幂只须把每个对角线上元素作 k 次方幂
对一个n阶矩阵 A,规定 Atr 为 A的对角线上元素之和称为 A的迹数。
于是 TkTkT 1 TkTtr 1 TT tr
其他形式方阵的高次幂也有规律
例如:
101
020
101
A
初等矩阵及其在乘法中的作用
(1) jiE , :交换E的第 ji, 两行或交换E的第 ji, 两列
(2) )(ciE :用数 0c 乘E的第 i行或第 i列
(3) )(, cjiE :把E的第 j行的c倍加到第 i行上,或把E的第 i列的c倍加到第 j列
上。
初等矩阵从左(右)侧乘一个矩阵 A等同于对 A作一次相当的初等行(列)变换
乘法的分块法则
一般法则:在计算两个矩阵 A和B的乘积时,可以先把 A和B用纵横线分割成若干小
矩阵来进行,要求 A的纵向分割与B的横向分割一致。
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两种常用的情况
(1) BA, 都分成 4 块
2221
1211
AA
AA
A ,
2221
1211
BB
BB
B
其中 1iA 的列数和 jB1 的行数相等, 2iA 的列数和 jB2 的行数相关。
2222122121221121
2212121121121111
BABABAAA
BABABABA
AB
(2)准对角矩阵
kkA
A
A
00
00
00
22
11
kkkkkkkk BA
BA
BA
B
B
B
A
A
A
00
00
00
00
00
00
00
00
00
2222
1111
22
11
22
11
矩阵方程与可逆矩阵
两类基本的矩阵方程 (都需求 A是方阵,且 0A )
BAxI BxAII
(I)的解法:
xEBA 行
(II)的解法,先化为 TTT BxA 。
TTT xEBA 。
通过逆求解: BAx , BAx 1
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可逆矩阵及其逆矩阵
定义:设 A是 n阶矩阵,如果存在n阶矩阵H ,使得 EAH ,且 EHA ,则称 A是
可逆矩阵,称H 是 A的逆矩阵,证作 1A 。
定理:n阶矩阵 A可逆 0 A
求
1A 的方程(初等变换法)
1 AEEA 行
伴随矩阵
Tij
nnnn
n
n
A
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
*
线性表示
可以用 s ,,, 21 线性表示,即 可以表示为 s ,,, 21 的线性组合,
也就是存在 sccc ,,, 21 使得 ssccc 2211
记号: s ,,, 21
线性相关性
线性相关:存在向量 i 可用其它向量 sii ,,,,, 111 线性表示。
线性无关:每个向量 i 都不能用其它向量线性表示
定义:如果存在不全为 0 的 sccc ,,, 21 ,使得 02211 ssccc 则称
s ,,, 21 线性相关,否则称 s ,,, 21 线性无关。
即: s ,,, 21 线性相(无)关 011 ssxx 有(无)非零解
0,,, 21 xs 有(无)非零解
极大无关组和秩
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定义: s ,,, 21 的一个部分组 I 称为它的一个极大无关组,如果满足:
i) I 线性无关。 ii) I 再扩大就相关。
I s ,,, 21 III s 1
定义:规定 s ,,, 21 的秩 Is #,,, 21 。
如果 s ,,, 21 每个元素都是零向量,则规定其秩为0 。
sns ,min,, 0 1
有相同线性关系的向量组
定义:两个向量若有相同个数的向量: ss ,,,,,,, 2121 ,并且向量方程
0, 2211 ssxxx 与 02211 ssxxx 同解,则称它们有相同的
线性关系。
①对应的部分组有一致的相关性。
421 ,, 的对应部分组 421 ,, ,
若 421 ,, 相关,有不全为0 的 421 ,, ccc 使得
0442211 ccc ,
即 0,,0,,0,, 421 ccc 是 02211 ssxxx 的解,
从而也是 02211 ssxxx 的解,则有
0442211 ccc , 321 ,, 也相关。
②极大无关组相对应,从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。
设: sA ,,, 21 , sB ,,, 21 ,则
02211 ssxxx 即 0Ax ,
02211 ssxxx 即 0Bx 。
s ,,, 21 与 s ,,, 21 有相同的线性关系即 0Ax 与 0Bx 同解。
反之,当 0Ax 与 0Bx 同解时, A和B的列向量组有相同的线性关系。
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矩阵的秩
定理:矩阵 A的行向量组的秩=列向量组的秩
规定 Ar 行(列)向量组的秩。
Ar 的计算:用初等变换化 A为阶梯形矩阵B,则B的非零行数即 Ar 。
命题: AAr 的非零子式阶数的最大值。
方程组的表达形式
1.
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
2. Ax 是解 A
3. nnxxx 2211 有解 n ,,, 21
基础解系和通解
1. 0Ax 有非零解时的基础解系
e ,,, 21 是 0Ax 的基础解系的条件:
①每个 i 都是 0Ax 的解② e ,,, 21 线性无关③ 0Ax 的每个解
e ,,, 21 ③
/ Anl
通解
①如果 e ,,, 21 是 0Ax 的一个基础解系,则 0Ax 的通解为
eeccc 2211 , ic 任意
②如果 0 是 0 Ax 的一个解, e ,,, 21 是 0Ax 的基础解系,则 Ax
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的通解为
eeccc 22110 , ic 任意
特征向量与特征值
定义:如果 0 ,并且 A 与线性相关,则称是 A的一个特征向量。此时,有数
,使得 A ,称为的特征值。
设 A是数量矩阵 E ,则对每个 n维列向量, A ,于是,任何非零列向量都
是 E 的特征向量,特征值都是。
①特征值有限特征向量无穷多
若 A , cccAcA
221122112211
22
11
ccAcAcccA
A
A
②每个特征向量有唯一特征值,而有许多特征向量有相同的特征值。
③计算时先求特征值,后求特征向量。
特征向量与特征值计算
0, A
0,0 AE
是 0 xAE 的非零解
命题:①是 A的特征值 0 AE
②是属于的特征向量 是 0 xAE 的非零解
称多项式 AxE 为 A的特征多项式。
是 A的特征值 是 A的特征多项式 AxE 的根。
的重数:作为 AxE 的根的重数。
n阶矩阵 A的特征值有n个: n ,, , 21 ,可能其中有的不是实数,有的是多重的。
计算步骤:
①求出特征多项式 AxE 。
②求 AxE 的根,得特征值。
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③对每个特征值 i ,求 0 xAEi 的非零解,得属于 i 的特征向量。
n 阶矩阵的相似关系
设 A,B是两个 n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U ,使得 BAUU 1 ,则称 A与B
相似,记作 BA ~ 。
n 阶矩阵的对角化
基本定理 A可对角化 A有 n个线性无关的特征向量。
设可逆矩阵 nU ,,, 21 ,则
n
AUU
000
000
000
000
2
1
1
nn
n
n UA
,,,
000
000
000
000
,,, 2211
2
1
21
iiiA , ni ,,2,1
判别法则
A可对角化对于 A的每个特征值,的重数 AEn 。
计算:对每个特征值 i ,求出 0 xAEi 的一个基础解系,把它们合在一起,得
到 n个线性无关的特征向量, n ,,1 。令 nU ,,, 21 ,则
n
AUU
000
000
000
000
2
1
1
,其中 i 为 i 的特征值。
二次型(实二次型)
二次型及其矩阵
一个n元二次型的一般形式为
ji
ji
ij
n
i
iiin xxaxaxxxf
2,,,
1
2
21
只有平方项的二次型称为标准二次型。
形如: 22 1
22
2
2
1 qppp xxxxx 的n元二次型称为规范二次型。
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对每个n阶实矩阵 A,记 Tnxxxx ,,, 21 ,则 Axx
T
是一个二次型。
Axxxxxf Tn ,,, 21
称 A的秩 A 为这个二次型的秩。 标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规范二次型的矩
阵是规范对角矩阵。
可逆线性变量替换
设有一个n元二次型 nxxxf ,,, 21 ,引进新的一组变量 nyyy ,,, 21 ,并把
nxxx ,,, 21 用它们表示。
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
2211
22221212
12121111
(并要求矩阵
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
21
22221
11211
是可逆矩
阵)
代入 nxxxf ,,, 21 ,得到 nyy ,,1 的一个二次型 nyyg ,,