以南京大学的自主招生试题为例谈一类不
等式的证明
福建中学数学2011年第3期
推得D2(一下d~+kd2,一堕),
故圆c2的方程可表为
+Y+(dl+kd2)x+(el+七)+c=0,
整理得,(+++q)+k(Gx+e2y)+c=0
(料),接下来求常数c,
由于点(,Y1)在圆Cl与直线上,满足
++++=0与4x,+e2y~+:0.
又点A也在圆c2上,所以满足(?)式,
(+Yl+4x,+ejyj)+尼(l+e2Y})+c=0,
推得=+.
整理()式,得到(+Y+dlx+e,y)+k(Gx+e2Y)
十(+)=0,推得
(+Y+dIx+etY+)+(d2x+e2Y+)=0,
结论得证.
本文主要讨论了圆系方程及其推导,该方法可
以引伸到其它二次曲线中——如过两个二次曲线所
有交点的二次曲线,其方程可以设成这两个二次曲
线方程的线性组合.经验告诉我们,在尽可能的情
况下,转化为曲线与直线的组合更为筒捷一些.
参考文献
【1]高卫东,乔凤.圆系方程法释疑【J】.中
数学(高中版),2009(5),
39-4l
【2]马健.圆系方程中圆的存在性,性质及应用[J].数学教学通讯,2010
(2),46—47,61
[3]谢维勇.巧用圆系方程简化解题过程[J].中学教研(数学).2008(4),
】8.19
以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明
陆建根江苏省镇江中学(212017)
1.引例
2008年南京大学自主招生考试第二大题为:
设a,b,c为正数,且口+b+c=1,求
(+)+(6+)+(c+)的最,值.
该题是不等式的一个常见问题,可以用基本不
等式或柯西不等式求解,还可以推广为:
al,02….,an均为正数,a}++…+:1,求证
(口+)z+(口+)z+…+(+)z的最小值为
al02”
本文用构造函数,进一步寻找函数切线的方法
来求解,并例谈该方法在解决一类不等式时的运用.
解由于所要求解的代数式关于口,b,c轮换对
称,所以猜想,当口:6=C---:时取得最小值100.
下
面来证明:(口+(6+)2了100.
把上式改写为
++.一
H+?.,
构造函数/():+):一100,?(0,1),如果
能找刽常数,u使不等式/()?2x+怛成立,则
f(a)?2a+,(6)?2b+?,/)?2c+It,相加
得f(a)+_厂(6)+/(c)?(口+6+c)+3:五+3.
若能使+3p=0,即:一3,则问题就解决
了.下面我们来寻找满足上述条件的常数,?.
X--,I.I----(+
(3x一1)[(3+X一27x一9)+9px】
————————一’
要使上式当?(0,1)时大于等于零恒成立,则
3X3+Xz--27X--9+9ux2中必含因子3一1,把=j1代
入得=了160.
再把:代入上式整理得
,()-2x-~=—(3x—
-
1)2(x2+5—
4x+9)
.
当X?(0,I)时,X.+54x+9恒大于零,
所以当=一时x-~t>0恒
成立,所以
口+,
6+,
2011年第3期福建中学数学41
)>-,
厂(口)+/(6)+(c)一—160【.口+6+c)+160:0,
即(口+)+(6+_1)+(c+).?100
,当且仅当
:
6::时取得最小值100.
2.待定系数法的应用
以上方法并不一定限于条件a+b+c=1,其它情
况可以通过调整函数来解决问题.
例1(第30届IMO加拿大训练题)设a,b,C
是正数,且a+b+c:1,求证:
abc,343
丁二++丁二?丁’
证明设/()=-一,?(0,1),如果能找
1,’2
到常数,使不等式f(x)?2x+恒成立,则
/(口)?2a+,-厂(6)?Ab+,f(c)?2c+,相
加得_厂(口)+f(b)+f(c)?(a+b+c2)+3/.t:+3p.
若能使+3/u:0,即:一31u,则问题就解决
了.下面我们来寻找满足上述条件的常数,.
)-Ax2-,u=专一孚+(3x2-1)
:—
(43x-
-
1)(x+一
43)
+(?+1)(一1)2f
1一1,.…
=
(_1)[州十1)】.
要使上式当?(0,1)时大于等于零恒成立,则
[圭+(,fix+1)】中必含因子?—l,把=3
代入得p=-43
.
再把p=-代入上式整理得
当?(0,1)时,
/()-Ax2-~u=—(,,/3—
x-1)(3x3+x/3x2-2x)
=
—
x(x—
/3x-1)2(~一
x+2).恒成立
,所以原不等式成立.
从南京大学自主招生试题的上述解法不难发
现,当?(0,1)时,/()+:一160+恒成
立,即?(0,1)时曲线:厂)恒在育线
=一+的上方,而直线=一+了160恰为
曲线Y=厂()在点f1,0I处的切线.所以我们可以不
必用待定系数法来寻找常数,,而可以直接求
出函数在X?(0,1)时的切线,只要再加以验证即可.
3.构造函数,寻找切线
例2(2003年美国数学奥林匹克试题)设a,b,c
是正实数,求证:
?垒?噬+?+8.2a+(6+c)2b+(c+口)2c+(口+6)
证职由于左式分子分母是关于a,b,C的齐次
式,所以可以设a,b,C?R,a+b+c=1,左式化
为
(1+口).(1+6).(1+c)
3a2—2口+I.3b一
2b+I.3c.一
2c+I’
构造函数():一;,?(o,1),则
/(=4,函数:/()的图像在点(,.)处的切
线为Y:4(一?).
而当?(O,1)时,
f(x)一4(x一)=一詈一4(一)
3(x-1)(4+1)
=一—
0恒成立,
所以/(口)?4口一i4
,
/(口)?4口一4
,
(口)?4口一昙,
相加得(口)+/(6)+/(c)?4+6+c)一4=0,所以原
不等式成立.
当需要求证的不等式比较复杂时可以把不等式
作适当的变形,使右式为零,左变形为可以写成一
个函数的若干个函数值的形式.
4.推广到/-/元
上述方法并不限于含2个,3个或4个字母的不
等式,当不等式含有”个字母时,可以用同样的方法
求解.
例3(1982年联邦德国数学奥林匹克试题)非
负实数a1,a2….,a满足al+a2+…+on=1,证明:
——————竺L——一+——————2-——一+…+
1+a2+a3+…+口I+al+a3+…+a
42福建中学数学2011年第3期
—__有最小值,并把它算出来.1
++a2+…+a,
l
...’
证明左式可以化为a1+去+…+去,
由于所要求解的代数式关于,a,...,a轮换
对称,所以猜想,当::…::时取得最小
值.下面来证明:
,?一1
—
+—+…+—?—.——L+——L+…+——?—.
2一al2一a22一a2n一1
构造厂()X一,?[0,1],
—
Z”一l
():番,
函数:厂()的图像在点f,0]处的切线为
2nf,1,
可
而当x?f0,11时,
一
番
2一2n1,(2n一一一
1,,.
:?o’恒成立,(2一
x)(2n一1)一,
所以
番,
?
番,
?一
志,
相加得
f(a.)+f(a2)+…+厂()
番+-..一番
所以原式当且仅当q::…::一1时取得最
小,f~
2
/7
?
例谈等与不等关系的转化
石磊张超
山东省滕州市第一中学(277500)
数学是研究空问形式和数量关系的科学,数学
中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素.等与不等
是数学中两个重要的关系,把不等问题转化成相等
问题,可以减少运算量,提高正确率;把相等问题
转化为不等问题,能突破难点找到解题的突破口.它
们既是对立统一的,又是相互联系,相互影响的,
在一定的条件下可以互相转化.
例1(2010年高考浙江卷?理15)设,d为
实数,首项为a.,公差为d的等差数列}的前”项
和为,满足?+15=0,则d的取值范围
是
化筒得2口+9dal+10d+1=0.
?
.
‘
是实数,
.
?
.
A=(9d)一4×2(1Od+1)?0,即d8.
.
?
.d的取值范围是:d2,/2或d一2,/2.
例2若a,b都是正实数,a+b+8=ab,则口+b
的最小值是——.
解由基本不等式可得:a+6+8=ab(),
令t=?+b>0,则上不等式可化为:4t+32?t,
解得:t8或者f一4(舍),
.
?
.
日+b的最小值为8.
点评等与不等的转化主要体现为化相等为不
等及化不等为相等.在等与不等的矛盾转化中,基
本不等式,方程的思想,函数的性质等,常常发挥
=
2
可孚
由+
解