离心率材料(2)
探究圆锥曲线中离心率的问题
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现,下面给同学们介绍常用的四种解法。
一、直接求出a、b、c之二,求解e
已知标准方程或a、c易求时,可利用离心率
来求解。
已知a、b易求时,可利用
求椭圆离心率;用
(其中k为渐近线的斜率)求双曲线离心率。
例1. 过双曲线C:
的左顶点A作斜率为1的直线
,若
与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
分析:这里的
,故关键是求出
,即可利用定义求解。
解:易知A(-1,0),则直线
的方程为
。直线与两条渐近线
和
的交点分别为B
、C
,又|AB|=|BC|,可解得
,则
故有
,从而选A。
例2. 已知双曲线
的一条渐近线方程为
,则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
分析:本题已知
EMBED Equation.3 ,不能直接求出a、c,可用整体代入套用公式。
解:由
(其中k为渐近线的斜率)。这里
,则
,从而选A。
二、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义(或称第二定义)知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比,特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例3. 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为
,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解:由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径,设焦点为F,则
轴,知|MF|是通径的一半,则有
。由圆锥曲线统一定义,得离心率
,从而选B。
三、 构造a、c的齐次式,解出e
根据题设条件,借助a、b、c之间的关系,构造出a、c的齐次式,进而得到关于e的方程,通过解方程得出离心率e的值,这也是常用的一种方法。
例4. 已知
、
是双曲线
的两焦点,以线段F1F2为边作正
,若边
的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解:如图,设
的中点为P,则点P的横坐标为
,由
,由焦半径公式
,即
,得
,有
,解得
(舍去),故选D。
【练一练】
设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( D )
A.
B.
C.
D.
解:由
【高考试题分析】
1.(2009全国卷Ⅰ)设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C )
(A) (B)2 (C) (D)
解:渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点,则切线的斜率为.由题意有又,
解得: .
由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得,因渐近线与抛物线相切,所以,即,
2.(2009浙江理)过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
答案:C
【解析】对于,则直线方程为,直线与两渐近线的交点为B,C,,,
因此.
3.(2009浙江文)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴, 直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【解析】对于椭圆,因为,则
4.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D
5.(2009安徽卷理)下列曲线中离心率为的是
(A) (B) (C) (D)
[解析]由得,选B
6.(2009江西卷文)设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.3
【解析】由有,则,故选B.
7.(2009江西卷理)过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【解析】因为,再由有从而可得,故选B
8.(2009全国卷Ⅱ理)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率 (A)
A. B. C. D.
9. (2008福建理11)双曲线
(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(B)
A.(1,3)
B.
C.(3,+
)
D.
利用第二定义及焦半径判断
10.(2008湖南理8)若双曲线
(a>0,b>0)上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2)
B.(2,+
)
C.(1,5)
D. (5,+
)
解析:利用第二定义
11.(2008江西理7)已知
、
是椭圆的两个焦点,满足
的点
总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(C)
A.
B.
C.
D.
解析:满足
的点
总在椭圆内部,所以c
表示,即可求得a,则A点坐标可得(1,0),由于A在x轴上所以,只要证明2AM=BD即证得。
(2010江西理数)21. (本小题满分12分)
设椭圆,抛物线。
(1) 若经过的两个焦点,求的离心率;
(2) 设A(0,b),,又M、N为与不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为,且△QMN的重心在上,求椭圆和抛物线的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。
(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:,由
。
(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设,由的垂心为B,有
。
由点在抛物线上,,解得:
故,得重心坐标.
由重心在抛物线上得:,,又因为M、N在椭圆上得:,椭圆方程为,抛物线方程为。
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
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