广义二面体群上表示的张量积分解（可编辑）

广义二面体群上表示的张量积分解（可编辑） 广义二面体群上表示的张量积分解 目 录 中文摘要? ................................................................. ...............................................: .引言...??.?.??.??.. .预备知识??.. . ..?.??一. .二面体群上的不可约表示的张量积分解.广义二面群厅上的不可约表示? .广义二面群瓯刀上不可约表示的张量积分解??. 参考文献.. 致谢??.. 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权??朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 中文摘要 群表示理论是近代数学中发展迅速而且相当活跃的数学分支,它包括群的常表示理 论,模表示理论与整表示理论,其中,有限群的常表示理论创立最早,迄今已有一百多年 的历史,发展也最完善,是研究其它群的表示理论的基础. 群表示理论特别是群指标特征标理论,是研究有限群的最强大有力的工具之 一. 有限群的常指标即常特征标首先由.于年引入,随后.和 .把有限群的常指标理论和复表示理论发展到相当完善的地步.他们还给出了 有限群的常表示理论对有限群结构的应用;例如,关于‖‖阶的群的可解性定理 和关于真正规子群存在的一个充分条件.年,.用后人称之为 引理为工具,把和所建立起来的复杂理论做了巨大简化.他们使用的 是矩阵表示和常指标.本世纪年代.以有限维结合代数的结构理论为工 具,用模论的观点统一处理了有限维的常表示论和有限维半单结合代数的表示论,从而使 有限维的常表示论更为简洁,漂亮.本世纪的数学发展说明,有限群表示论除了用于研究 有限群的结构以外,在众多的数学分支和其他自然科学分支都有重要应用. 本文主要研究了广义二面体群瓯。乃,,,‖户‖?,‖‖,,, 所历,励砌??的奇数,刀?上的常表示及其张量积分解.本文分为四部分, 第一部分主要介绍了两个表示的等价、向量空间张量积、表示的张量积以及表示环等相关 概念.第二部分首先回顾了二面体群包的不可约表示及表示环届包的一组基.其次, 分别讨论,当刀为奇数和偶数时,二面体群见的表示环届谚的乘法结构.最后,给出 /时,表示环屈忍的乘法结构.第三部分首先介绍了广义二面体群。履‖户 ‖?,‖‖,肋‘励魂的奇数,刀?的概念,找出了广义二 面体群瓯、。的换位子群:。‘’及其共轭类,从而刻画了广义二面体群的所有 不可约表 示.最后一部分,分别讨论,当刀为奇数和偶数时,广义二面体群瓯,。的表示 环局吒。的 乘法结构. 关胖不可约表示;广义二面体群;张量积分解;表示环. 扬州大学硕士学位论文 . , . , . . .,,.., . . ,.. ., , ‘ ,, ,.. . . ,. ,, ., , , . 乃,,,‖,‖一,‖‖, , ,。,?,/,历,?? . ., ,. ,, 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 , . 代. , .,, ? ’ ,.。‘?. , ,: ; ; ; 扬州大学硕士学位论文 .引言 从古典数学到现代数学有两个极重要的转折.一个是和建的微积分 将微积分用于几何,则有了微分几何与积分几何的发展,解决含有未知函数 的微分或者积 分的方程就发展了微分方程或积分方程的理论.另一个是在解决高次方程的 根式解 的问题时,考虑了根的置换,这是群论的开始.系统地论述了群论和理论.随 着群论的建立,发展了抽象代数理论.这些构成了世纪数学发展的支柱,促进 了世 纪数学的飞跃发展. 群论是从研究高次方程的根的置换开始的,直到世纪末世纪初,由 和独自开创了由线性群或等价的矩阵群来描述群的理论即群表示 论,群论才可以说形成了一个完整的系统的理论体系. 群表示理论是在线性代数、群论、环论、域的伽罗华理论、代数结构理论、模论与代 数数论等数学学科的基础上发展起来的.随着群表示理论又与更多的数学学科发生了互 相联系,它与范畴论、代数髟理论、代数几何等学科的关系日趋密切,且从这些学科中不 断汲取新的方法并充实新的,同时它也被广泛地应用于其它学科,一些较早期的如 的群可解性等问题,较新的如有限单群分类等问题的解决都得力于群的表示理 论.除此之外,群表示理论在物理、化学、天文学与建筑学等一些自然学科与其它科技领 域里也有广泛的应用. 有限群的常表示理论是群在特征数不整除群的阶数的域上的表示理论.创立该理论 的最初工作主要是由酲做的,他的理论建立在复数域上,其主要工具是由他 创立的群特征标理论。与.差不多同时的‖剧与,??在群表示 的分解与可约性问题上作出了重要贡献.特别是.,经他整理的有限群表示理 论简明 系统而被较多人所理解.第一个把群与代数的表示论推广到一般域上的是.,她 ; 的著名“ 把群与代数的结构理论与 表示理论融为一体. 上世纪初,略迟于,和关于有限群的复表示论的研究,. 考察了有限群的模表示论.他,当素数不整除有限群的阶时,用于研究 有限群复表示的方法无需做重大修改即可用来讨论有限群在特征‖的域上的表示,并得到朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 同样的结论.但是,当尸整除有限群的阶时,情况截然不同.人们把这后一情形的研究称 之为有限群的模表不论的研究.年冗开始研究有限群的模表不论.在此后 近年中,将群表示理论大大深化,建立了模表示与常表示的关系,使群表示论在 有限群结构理论中起着日益重要的作用.和证明了猜想‘’,“奇 数阶群是可解群”是这方面的重要结果.此外,有限单群分类问题的解决,也是依赖于群 的表示理论.和他的学生们以及追随者们在模表示论上取得了丰硕的成果】, 同时模表示论在有限单群的分类中也起者重要的作用.今天模表示论仍是在蓬勃发展中 的一个重要而深刻的数学分支. 本文主要研究了广义二面体群,,,‖户炉‖,‖‖,, 历历,励??的奇数,刀?上的常表示及其张量积分解.本文分为四部分, 第一部分主要介绍了两个表示的等价、向量空间张量积、表示的张量积以及表示环等相关 概念.第二部分首先回顾了二面体群以的不可约表示及表示环代忍的一组基.其次, 分别讨论,当刀为奇数和偶数时,二面体包的表示环代色的乘法结构.最后,给出 时,表示环的乘法结构.第三部分首先介绍了广义二面体群,。么,,‖户‖? ,‖‖,肋‘励魂??的奇数,刀?的概念,找出了广义二面体 群,。的换位子群,。“’及其共轭类,从而找出并证明了广义二面体群%。的所有不可约 表示.最后一部分,分别讨论,当刀为奇数和偶数时,广义二面体群嚷。的表示环儡吒。 的乘法结构. 下面,我们给出本文的主要结论: ?届忍阢彤影少,船一夕一力. ?当,朋?时,表示环忍的生成元为,一】,,】,砍】. ?设是特征为零的代数闭域且中包含次本元单位根?.则。的所有不可约表 示如下: 一维不可约表示共有?个: 扬州大学硕士学位论文 嘣州慨五/,嘣功?嚣?撕刚,刎,,?驯屯 “,,彬纠/,缈功?“力飞:舅;数其 中,,/,,后,,?,?一; 二维不可约表示共有旭一个: 嘣力嘣功斟?三髻国 其中后,,?,一,/,,?,刀一,/三后. ?当///,所? ,广义二面群吒厅的表示环冗瓯,。有一组基 砍‘硎‘/.,,‖一,‖.,,‖一,,/.三氟 则冗吼。的乘法结构由下式给出: 一维表示和一维表示的乘积 以,,属】【以/,/,乞】【砍,,/,鹰】,其中,/,,///, 局向色; 一维表示和二维表示的乘积 假设向,,?,?一,/,,?,,/.,,?,刀一,后,,?,一,/.毫后 , 岛/,,?,一, ?【以,,属】【拟句】【拟功,属后三, ?硬,,乞】拟/,句】】,乞, ?,,乞】拟/,句】【;】,鹰后兰, ?【,,幺】拟句】拟彤一;/】,幺. 二维表示和二维表示的乘积 ?/?以且彳么刀,不妨设/以,有 拟/.,局】【‖,乞】励一石,刃卜乒,,,刃卜【乒『,【,,刃】, 其中属乞三,‖,,?,一. ?/?且彳?刀,不妨设彳,有 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 【拟/;,局】【蛳,色】【麒/以,刃】【拟/;,力】, 其中局乞兰,‖,,,?,一 ?/石且彳石?刀,有 麒彳,囱】姒,危】坳另,?】以,,刃卜【以,,】, 其中属色兰?,‖,,?,‖一 ?/且石刀,有 【拟/,局】蛳,向】【以,,刃卜【以,,功卜【坎,,刃】坎,,功】, 其中局乞兰,‖,,?,‖一 ?当刀肼,所?时,广义二面体群,。的表示环铊:。有一组基 以,’上后】/.,,,,?,/一【拟句】陋,,.一,,/.,,?,厅一,/三 且尼嚷。的乘法结构由下式给出: 一维表示和一维表示的乘积 , 其中舌三危 ,,属】以,,岔【‖,,危】, , 其中局乞兰危 ,,属】【‖,,乞】【,,吃】, , 其中局忍三局 【,,局儿以,,危】【,,向】, , 其中局幺三危 【,,局】‖,,幺】【,,危】, 其中后’三厩 , 【,,乞】【以,,噍】以,,白】, 其中乞色三局/, 【,,向】【以,,色】,,局。】, 其中乞白三幺., 【以,,乞】【‖,,白】,,局,】, , 其中幺三卮, ,,局】【以,,色】【以,,眉:】, 其中忍幺兰局朋, ,,色】【以,,?】【,,属,】, 其中幺三局. 以,,幺】以,,幺【,,属。】, 一维表示和二维表示的乘积 假设局,,?,一,/,,?,,/,,?,刀一,,,?,一,, 职/,,一,一, ?【,,毛】【拟句】拟功】,局, 扬州大学硕士学位论文 ?【,,在】【拟/,句】拟刀一/,】,色后三;, ?【,,局】【拟句】【拟力】,鹰, ?乒,,,白】拟/,石】【拟刀一/,刀】,白 二维表示和二维表示的乘积 ?/?石且彳石刀,不妨设彳,有 拟/,局】【蚝,向】坳一石,力卜【乒,,,刃卜【乒,,,刃】, 其中毛色兰,‖,,?,一 ?/?石且彳石?刀,不妨设彳石,有 【坝蒯】蛳,讣【蝴石,州砌一另,刃】, 其中局色三?,‖,,,?,一 ?/以且彳石?刀,有 拟/,危】以,乞】.【‖,刃卜【以,,刃卜以,,刃】, 其中属乞三,‖,,?,一 ?/石且彳形,此种情况不存在.朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 .预备知识 本文中恒设是特征为零的代数闭域,我们在域上展开讨论.除非特别指出,本 文 .中所出现的代数均定义在域?上,所出现的映射均为一线性映射. 首先,我们介绍本文将要用到的一些基本概念和基本结论. 定义.设是任意域,‖是上的向量空间,记 ?:寸的可逆线性变换 则舛关于映射的合成构成群,称为一般线性群.‖兰刀,则饵力瓯, 这里饵 是上阶可逆矩阵. 定义.?设是任一群,‖是域上的向量空间.如果存在群同态:?明, 则称乒‘是的一个一表示,简称为一表示乒,或一表示.称乒为表示空间.特 别地,当‖是有限维时,‖是‖的一个表示?:必是群同态. 定义.?设是任一群,‖是域上的向量空间.如果存在在‖上的一线性作 用,即存在映射×‖一堤一个映射,晶力箩?,即占在‖上有一个作用,满足: 箩九曲‖ 纠箩纠 其中%乃?,弘少?‖,则称‖是的一个表示. 易知,定义.与定义.为表示的两个等价定义. 下面,我们介绍向量空间的张量积 设必?是一向量空间,肜×?是肜与?的卡氏积,‖是一向量空间.映射 /:?专‖称为一双线性映射,如果 /九织刀/职允刀/%功,?,朋?必刀?. /弼锡,刀以铂,功/锡,功,嘲,锡?必刀?.扬州大学硕士学位论文 仍以磁%以豫恐,朋?肜%,恐?. 定义. 一向量空间‖称为肜与?在域上的张量积,如果存在具有泛性质的一 双线 性映射:肜×?岭‖.这就是说,对于任一一双线性映射/: ,均存在唯一的 一双线性映射夕:‖专‖满足/:如,我们把‖记为‖?. 根据定义,则: 设,是向量空间,定义 ‖。?喜钐。哆卜?,钐?必哆?膻允钐。哆钐。允哆, 设‖有基为口。,口:,?,。,?有基:,?,卢,,则 肜。脯基缸。。 /,,?,%,,?,功 定义.?设乒。,呸,:是群口的两个表示.令岛::口专圃巧。巧是如下 映射:, 曲岛曲 曲,弘?.易知,,.:是群同态.则巧?,岛 : 是的表示,称为表示巧与表示%的张量积. 定义.九设是有限群,用‖表示有限维一模的一切同构类构成的集合,用柳表 示有限维一模肜所在的同构类.设回是基为夕的自由/群加法群,令月句是 由所有形如必一必一必的元素生成的的子群,其中专必专必专必专 ,其 为一模短正合列,称商群冗回回/顾回是的表示群,或称为 中的元素卸月回,记为刎.设巧,%,?,圪是单一模同构类的一个代表系,则 届回是基为吲,【?】,?,%】的自由彳纠群.此时局回是一个环,乘法为刎【卅 肜。卅,称为的表示环,或称为/王. 斟基.四设是任意的一个群.则的任一不可约复表示均是一维的. .【设是在中的指数为朋的群.则的任一不可约复表示的维数不 超过所.朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 弓阻.【设口,‖是群的两个鞭子群.则冽蹋,且当脚嬲时, 刀‖为的子群. 弓墓.’设为有限群,昭为群代数.则对于任意的昭一模肜?,有模同构 ?兰愈. 龠曩.设‖,‖为一模且‖为一维一不可约模.则‖为一不可约模臼 为口一不可约模.扬州大学硕士学位论文 .二面体群上的不可约表示的张量积分解 给定一个非自然数刀,刀阶二面体群包是由口、易生成的群且满足关系式: 扩刎,它是平面上所有保持刀边形不变的旋转和反射生成的群.因为 口含有,阶循环子群,由引理.易知谚的任一不可约复表示的次数?. ,易 , ,: 首先,我们回顾,当刀,朋?时,包有四个一维表示::口 一, 一.记与之相对应的一单模分别记为: 一,,:一一, ,: ,,,一,一,,一,一.由/////,?一可知,包还有历一 一? 广川 个维不可约表示,它们可通过直接构造得到门?/朋一?,:署 叫??,.记与之相对应的忍一单模矾粥,其中姚..同样我门可 以构造忍一的二维单模?/?,但我们有下述命题. 龠曩.当刀,所?时,易的二维单模‖力一/?,有 ‖刀一力兰‖力. 证明事实上?.?‖刀一力对应的表示为:口 :;‖力对应 国:力?三力, 的表示为:口%?一,, ;三;又‘.‘;三.国:力?三一力三%:, .?.?:。国三力与罾?一,相似..?.当肋??/?刀一?时,‖刀一力兰乒力. 口 龠曩.当,胧?时,二面体群包的表示环届以有一组基,】. 【,一】,【一,】,【一,一】,瞅咖,其中?/?历一? 龠曩.当刀,时,二面体群见的一维单模关于乘法构成一个群,勺 且肜兰。. 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 ,?,,, ,一 ,,一, ,,,一, ,一 一,一一,, ,一,一,, , ,,, ,一,一。一,一, ?一,,,一, ,一,一,, ?一,一一,一?,. 通过观察易得,一维单模同构类的代表元 【,】,,】,一,】,【,一】 构成一个群,记为肜,叫,因为肜中所有非单位元的元素的阶均为,即‖无四 阶 ?,故肜兰。,且该群的生成元为,一,,】.口 定理.当刀,朋?时,二面体群吃的表示环馄谚的乘法结构由下式给出: 一维表示和一维表示的乘积 ,,,, ,一,一,, ,,一,一, ,一一,一一,, ,一,,, 一,一,,, ,一,一,一, 一,一,,一, ?’,一,,, 一,一,,. 一维表示和二维表示的乘积 ,‖力‖/, ,一‖/‖/, 一,】‖/陬办 【一,一】‖/乒力,其中“,腕 二维表示和二维表示的乘积,假设?‘,?腕一 ?? 对,不妨设/,,‖力‖力一,《一,一‖/一伽, ?当,?,且几,?所时,不妨设今,,‖力‖力以/力‖/一力, ? /对,‖伽‖力,一,,一一,一, ?当/,且,?朋时,以纠【玖纠【,】,一】坎/力】. 证身一维表示和一维表示的乘积,由命题.可知. 一维表示和二维表示的乘积 扬州大学硕士学位论文 ?,‖力?/? ?.‘,为平凡包一模,.?., /‖力,臣 ,‖力‖/. ?,一‖/?/? 日,一的基为,使得其对应的表示为:;取以/的基为,圪,使得其对应的表 嵋, . 示为,,则,一‖/的基为劈 国 ‖. 一。 已知 ~? 彦彦 ‖ ? 【一, 眨 吃 嵋吃 眨 ???,、,【 ???,、?【 则? ?巧? %一 屹 口。圆嵋‖?吃 【口‘圆屹口’ ?吃?, 眨, ?眨一 . 则彦在。,,。吃,下的矩阵为三,而二与:三的特征值均为?,,故 三与三相似,且有:;: 三,?圆嵋,?。砭, , 一 屹.取基一 ,呸,则有。一 /一 吃 口‘一一口‘ 易?一 口?眨 . 【口‘圆眨口‘ ~国, 眨, 【?圆乏 易知,一‖力兰‖力,且,一‖/‖力. 一,‖力?/? 取一,的基为,使得其对应的表示为,;取?力的基为,吃,使得其对应的表 示为,,则,‖力的基为 , 吃. 己知雠 【彦?, 眨? ?屹. ?曼, 【‖?眨国,吃, 则口‘嵋一口。’嵋一一/ 易一 口? 吃一口? 国一屹一国一 . 眨, 彦?圆吃 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 则要使‖在此组基下对应的矩阵为 . ,则有.一,一,或?:产一?一:,解之得 国。 国~一国? 国~一 ??? ,力刀,即,/所..?.一,‖力兰‖,,即一,】以力‖力,其中 ,/所. ?一,一‖/?/?‘一,一。‖力兰一, ,一。‖/一,‖力兰‖力,即【一,/ ‖力,其中“,朋. 二维表示和二维表示的乘积 取巧,吃为‖力的基,使得其对应的表示为了,;,%为‖力的基,使得其对应的 表示 为,,其中?‘?,则‖/取力的基为%嵋,屹%,心,屹。蟛‖ 国口 ? 已 庄冈口 飞 易易 ‖ 仍 二 莎 ‖ ? 嵋圪 ?,?,??【 眨 眨巧 %眨 ????,、????\ 眨 嵋眨 , ,???,、?? 呸 ???,‘????\ 则有 ‖?%国‘力嵋 ?%嵋屹。屹 口?眨。心?一‘力吃。磁 易?眨圪嵋 口?码%国‘卢。码圆心 历?%眨 也, 易吃, 口?屹 ?一‘卢力屹 , ?/?,且/,胧时,不妨设/, 口?%嵋一 嵋 易 眨屹 口?吃。心一屹% ?吃坳巧 口?心?‘力%% 历? %屹 口?吃 国一睁吃 , 【易‘吃嵋巧%, 直接验证可知乒力以力有个单子模: 钗 嵋屹心兰?一,, 后% 一眨圆心兰一,, 后 %后眨 兰‖/一力, .??以力。‖,兰一,。一,一。以/,,即‖/‖力一,一,一 扬州大学硕士学位论文 一计 ?当/?,且“,?朋时,不妨设/,, 易知‖力‖/兰‖/力‖/一/,即‖力‖力‖/力‖/一力. ?当/所时, 巧 一嵋 彦?嵋吃% 吃。屹一吃。屹 西?眨。心巧 口?码。啦圆心 易? 心眨 眨。嵋吃 , 乃?眨 心, 直接验证可知‖/‖,有个单子模: 后嵋%眨兰,, 仅嵋圆眨。心兰一,, 后 磁一哆兰,, 后 一眨。心兰一,一, .?.‖力‖力兰,,,,, 从而我们有:‖/‖力,,. ?当/?朋时, 口? 国‘“力 矛? 屹。心 彦?屹。屹 口?眨。磁?一‘力眨。心 蟛 乃?巧% ‖?巧%%% , 彦?吃。珑嵋 ‖?屹。嵋眨。嵋, 直接验证可知‖力‖力有个单子模: 取 屹 嵋兰,, 后屹一屹。磁兰,一, 后%蟛后眨。心兰/, .?.砍乃垠,兰,,坎//, 从而我们有:以力】【坎纠,】?,一】【以/力】.口 下面我们讨论刀为奇数的情况: 设刀,朋?,口的所有不可约表示及其对应的单模如下:一维不可约表示:朱 婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 , : ,一,: 一,贝与之相对应的一单模分别记为:,,砸’,一, 二维不可约表示:,,?/?所: % ,,一;三,国嘉,则与之相对应的谚一 单模记为:‖力,其中?/?. 一维表示和一维表示的乘积 易知,,【,一构成一个二阶乘法群. 一维表示和二维表示及二维表示和二维表示的乘积均与前面刀情况类似,不 再做 详细讨论. .忍 刎,,则织的所有不可约表示及其对应的 单模如下: , , 一维不可约表示:: , 一, : 一, , : :卜专一,卜专一. 则与之相对应的么一单模分别记为:,,,,一,,一,一. 二维不可约表示: ;三,国,/,,,?/?. :,, 首先,讨论一维表示和一维表示的乘积.易知,一维单模同构类的代表元,】, 【,一】,,】,一,一】构成一个群且此群同构于。,生成元为,一】, 【?一,】. 其次,讨论一维表示和二维表示的乘积.通过直接验证可得: ,‖力‖力 ,‖力兰‖/ ,一‖力兰‖/ :王二:;詈孑茎孑即‘:::;竺三:其中??/?,/,. 。 ,一‖/‖力 一,一‖力兰‖力, 一,一‖力‖力, 扬州大学硕士学位论文 ??????????????????????????????????????????????????一一一 最后,讨论二维表示和二维表示的乘积.取,乏为‖/的基,使得其对应的表示 为,; 攀 ,屹为‖,的基,使得其对应的表示为,,其中?‘/?所一.则以/以,的基为 % ,砭%, 心,屹%. , 口 ? 国~ 己知‖’ 一 彦彦扫 眨 眨 ‖ 国 嵋 【??~屹, ,??』、, 嵋眨 ????【 圪 呸 ,??、?【 , 则有 口?码 ?‘冉 磁 彦’ 屹% 仃?吃。比?一‘“力眨屹 历‘眨 ‖?嵋。心?‘删码。屹 易? 心吃。蟛 ‖屹 屹%, 彦‘圪。蟛%%, ?/?时,不妨设。 一 ? 一 吃 嵋比 、确肼。 % ?吃? 份 ,% 圆 ?七叫州 回 彦彦彦 多 圆 眨 ?“邙曲哟钆归? 巧圪眨 眈仍 眨圪 ,?,?,??????、??????,????. 、,、,、,、, % 直接验证可知‖力‖力有个单子模: 反 吃磁,, 后 一眨。心兰一,一, 后%后屹 兰‖/一/, 。?.‖力?‖力兰一,一,一以/一力, 从而我们有:‖/‖力一,一,一‖/力. ?当/?,且/,?时,不妨设/,, 易知‖力‖力兰‖/,。‖/一力,即‖力‖力‖/力‖/一力. ?当/,时, 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 ‖?一嵋 蚴 易? , 口?眨圆心一吃。比 西?眨。比嵋 ‖? %%% 彦? 坳吃 , .吃。蟛 易?乏 %, 直接验证可知‖力‖力有个单子模: 心吃 语 兰,, 氟巧 嵋吃。心兰一,, 后%一眨。嵋兰,一, 后嵋。磁一 心兰一,, .?.‖力‖力兰?,一,,一一,一, 从而我们有:‖/‖力,一,,一《一,一. ?当/,且“,?时, 口?嵋。磁?‘几以巧 彦?嵋 圆心 彦?眨 嵋。嵋 吃。比?一‘力眨。嵫 扫? 比眨 % 口?嵋% , 易?屹 , 口?眨。磁屹 直接验证可知‖力‖力有个单子模: 钗%%圪 兰,, 后 %一圆嵋兰,一, 后嵋 后眨。屹兰‖//, .?.以乃砍力兰,,一坎/力, 口 从而我们有:以乃】硬力】.,】【,一】【砍几力】. 傀. 翘五彤%,少,膨一,吨力. 证明事实上,尼织的基为,】,一,】,【,一,玳一,一】,【坎】,坎】, 以】,由例.可得一维表示的生成元为【,一】,【一,】.由冗岛的乘法结构可 得,以】以】【,】,一】以】,.?.【以】【以】一【,卜,一】 【,一】【,一.即:以】可由【乒飞】及,一】生成.又‘.’【乒,】【乒飞】扬 州大学硕士学位论文 【坎】砍】,.?.【坎】【以】【以卜玖】以】以】,一】,一】 一以【砍】一,一,一】以,即:【以也可由以及【,一】生 成,综上可得,届织的生成元为,一】,【一,】,垠】. 注意到尼织的乘法结构,我们有【,,,】以】【以】 【以】【,一卜以】. 口 从而删有冗识乃影.,少,彪一,一沙力. 令?.当/,历?时,表示环屈亿的生成元为?’,一】,【,】,【】. 证明首先,易知局谚的一维表示均可由【,一】,【,】生成. ,【以】【以 其次,对于屈的二维表示以纠?/?.当/ 【,】,一“坎,即【以】以,一,一】,即【/可由 ,一】,,】,【以】生成.当/?/一时,假设以乃可由,一】,【一,】, 以】生成.则当/所一时,【以所一玖】【以朋一】以历一,即以朋一】 【以朋一【以以朋一.由假设可得,【以所一,以朋一均可由【,】, 【,】,【以】生成,故【乒,所一也可由,一】,【一,】,【//】生成,由数学 归纳 法可得届包的所有二维表示均可由【,一】,一,】,【以】生成. 综上可得,当刀所,所?时,表示环代包的生成元为?’,一】,一,】,以】. 口 由命题.我们得到了,当刀为偶数时,表示环儡忍的生成元为,一】,,】, 【以】,至于它们之间的关系,我们会在将来进一步探讨. 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 ????????????????????????????????????????????????????????一一一 .广义二面群吒打上的不可约表示 茸先,我们回顾一广义二面体群的定义?给定正奇数?? ,?,群 吒。,/,‖户‖‖,‖//’,肋矿,,励历, /‖矿,,,?/?‖一,一 称为广义二面体群四,从定义可以看出历‖的阶分别为,彤刀且乃在群嚷。的 中 心中. 命曩.广义二面体群瓯,。的换位子群瓯:。‖,这里‖是由扩生成的循环 群, 证明任取瓯,。中两个元素‖‖‖,/,‖,矿,其中‘,艺,,?彳,??一, ?局,乞?刀一,注意到乃在群.。的中心中,,与乃可交换,,与‖和:‘的关系, 我们有 一‖‖严‖驴‖‖矿一胪矿‘ ‖‖‖.户‖矿.‖一局乃一』厂.渺一如乃一以厂电 卢‖‖局一如’ 口 又’?‘‖?,.?刀一?%。四,而矽的阶为刀且‖是子群,.?.%,‖. 命曩?广义二面体群吼。的共轭类共有?刀个,它们为‖,‖‖,‖矿”, ?,/,/,,‖矿,?,,‖‖”,‖,,‖‖,?,//沪心,其中/,,?,?一. 证啊广义二面体群瓯。中的元素的形式共有两大类‖‖,//‖.‘‖矿‖‖彬 矿~彬矿?‖‖?矽一焉一/,~‖砂~,.?.吒。有共轭类为‖, ‖‖,‖矿川,?,‖‖,共有?刀个.又。.‘彬‖彬‖彬‖一‖‖.‖‖ :矿“,‖‖,,‖‖‖矿‖‖~‖‖。矽.矿一,/矿:,?,依次类推可得 瓯勿有共轭类为‖‖,‖矿,?,‖矿”,由/的取值范围可得,共有?个.同理: 彬‖‖彬‖一?//?旷矿/,‖‖,彬矽//‖矿~/.‖扩. 旷矿/‖‖,?,依次类推可得吒。有共轭类为‖,‖扩,?,‖矿”,由/的取值范 扬州大学硕士学位论文 围可得,共有?个.综上可得,广义二面体群的共轭类共有?,个,它们为‖, ‖‖,‖扩”,?,‖‖,‖‖,‖矿,?,,‖矿”,‖,,‖扩,?,‖扩”,其中 /,,?,‖一.口 龠曩.设?乃,‖砷.则月‖为广义二面体群,。的彳纠子群且月冽。 证明?.?矧功,吲砷,又由广义二面体群瓯,,的定义可知‖‖, .?.?、吲:,由引理.可知月冽肋,注意到励,则有刀‖删且刀‖彳纠 口 群,。?.群月‖为广义二面体群瓯。的么纠子群且冽. 由上述命题结合引理.,易知,的任一不可约复表示的维数?. 定理.设中包含砌次本元单位根?.则瓯的所有不可约表示如下: 一维不可约表示共有?个: 一; ,,后 ’,?, ‘/:,,后:,,?,一; ‘/ ,、:一,。。们:一】/,以,铆:』国飞为偶数’ 缈,一,孵矽一/,%仞国“加为奇数 二维不可约表示共有个: 州:黼嘣功斟嘣功易 其中石,,?,一,/.,,?,刀一,后. 证痹由命题.知瓯‖矿,则。四刀,..么‖,即?共有?个 线性特征标.又由命题.知?共有拟个共轭类,则?的二维不可约表示共有 肌删.个.设陬是对应的一维表示,则畅力,劳力髻,矽后‘, 考?,即髻,户,; 则有九: ?,即九.,,;由允善舌’允二善 由《善确当堋黼枷?一凯黼黼廿铲帅, ,,?,,,;即广义二面体群?拘一维不可约表示为:朱婷婷:广义二面体群上表 示的张量积分解 嘣州嗍五/嗍仞?淼未 其中,,/,,石,,?,. 下面讨论广义二面体群?的二维不可约表示. ?.?,故,可对角化.又?.?扩”,.?.‖可对角化且砂对应矩阵对角线上元素为 本原单 位根,为和二面体群保持一致,在同一组基下,设,;三,‖专???刀,, 卢,,?,,经验证,,‖符合广义二面体群?中关系,由得:乃对应矩阵对角线 上元素相同.由乃俨砌?/三后 经验证,由,专;三,‖??‖,诱 导出的乃对应的矩阵为吁 ,刎,,?驯,川,,?,肛,/鲋, 即广义二面体群。的.个二维不可约表示为: 切 功 %弦 %力 产 ’%功 国掣’ ‖力;三,矽功国?国‖, ?......。.。..。。..... 口 其中后,,?,一,/,,?,刀一,后。扬州大学硕士学位论文 .广义二面群瓯.?上不可约表示的张量积分解 由定理.知,当刀,朋?时,广义二面体群。的不可约表示如下: 一维不可约表示: ,‖ ,乃国和, 五:, ,‖一,乃国伽, 其中属,幺,危,白,,?,/一. 呲:, ,乃国劬, 。如:,一,‖ 向:,一,‖一,乃?幻, 钟对应的一维嚷。一单模为:以句,其中‘/,,后,,?,一 二维不可约表示: 删删斟删警国卅 其中后,,?,一,/,,?,刀一,/三后. ‖对应的二维瓯,。一单模为:拟/.’纠,其中后,,?,一,/.,,?,刀一,/兰后 拟句,其中,,?,一, . 同理我们可以定义。一单模为: /,,?,一,/三后 耕童.当刀,朋?时,二维.。一单模地句?/.?一有 ,心兰?,. 证明‘.。拟/,句对应的表示为: ,;三,矽?了?‖,乃??巴, 拟刀一句对应的表示为: 撕 ,‘ 肛 忡 力? 国 ‖ 乃 , 肛 撕 之 似 力 仍 国 ?,? ???? ?.........。.。...... ??? ?.。..............。 ?.................. 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 ?.‘;三一?了国竺肜宇:国言肜?巴?等”门国一:州:。?, .?.???彤与?等”力?一:皇:,力相似,.?.当厅,?/?刀一?时,在同构意 义下有 口 拟句;. 定理.当,所?时,广义二面群吒。的表示环局瓯。有一组基 【以,,硎‘/.,,‖..,;,,.一,一,‖一,刀一,/.三 则冗吼。的乘法结构由下式给出: 一维表示和一维表示的乘积 【玖‘/,局】【硬/,/,乞】.【以,,/,局】,其中/厂,//, 局向色加; 一维表示和二维表示的乘积 假设向,,?,,/,,?,,/,,?,刀一,后,,?,一,/兰后, 岛乞/,,?,一, ?【,,局】【拟句】:【坝/.,力】,局们, ?以,,忽】【拟句】拟刀一】,色后兰, ?【,,色】拟句】【拟刃】,色, ?【,,白】拟句】拟刀一刀】,白. 二维表示和二维表示的乘积 ?/?且彳以刀,不妨设彳,有 【拟彳,局】【彤,乞】彤?,刃】以,,力】坎,,功】, 其中局乞兰加,/,,?,一. ?/?石且彳石?,不妨设彳以,有 拟么,属】【姒,乞】【坳五,力卜坝/?,】, 扬州大学硕士学位论文 其中属乞三,‖,,,?,一 ?/石且/石?刀,有 拟彳,局】【弛,乞】‖另,力卜【以,,刃】以,,刃】, 其中在乞三,‖,,?,一. ?/.石且彳五刀,有 坝彳,局】彤?,:,,力卜以,,刃】【以,,功】【坎,,功】, 其中局乞兰,‖,,?,?一 证明一维表不和一维表示的乘积 【以,,局】以,,局】垠,,毛】,其中,,甚口色, 以,,局】以,,如】【硬,,允】,其。以,即属向三, 【以,,局】坎,,色】【,,向】,其中。;,即毛色., 以,,局】以,,幺】【以,,磊】,其.//,即毛白三/, 以,,向】【以,,乞】【以,,白】,其中:,即鸭兰/, 【,,乞】【以,,局】【坎,,局。】,其中:兰以局。,即色危兰/ 以,,乞】【硬,,幺】以,,局】,其中。/。,三岔, 【以,,色】【以,,鹰】,,局】,其三,臣/三毛, 以,,色】【以,,白】【以,,属】,其中。三,即色白兰局, 【硬,,白】砍,,幺】【,,乇。】,其中。。。。,即向/与。. 通过观察易得【以‘局】以/,/,危】【以,,/,鹰】,其中/厂,/// ,属乞忍; 一维表示和二维表示的乘积 ?以,,眉拟钟 取以,,局的基为,使得其对应的表示为。。而,取拟/,句的基为,吃,使得其对 应的表示为詹,则以,,局拟句的基为. 己知,, ‖., 乃.印, . 国 ‖ ,‘局乞 .局 一 矽 ? ,?乞, 乞 %鹏 ,????、? 乃.乞:?肋乞 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 ,? ‖?‖岛 乃?国州“引局 【,, 【‖?巳, 乃??从“局’色, ?.‘囱为偶数,即局,而/.兰后,故属,,,局 拟句兰肜?口,其中刀局句三,即局 由上面的讨论 易知,,?,一,/三,故拟/,功定义合理.即:【后,,局】【拟】 枷功】. 多以,,色拟句 取,,乞的基为,使得其对应的表示为%,取拟句的基为,,使得其对 应的表示为.詹,则,,乞拟/,句的基为圆蜀,吃. 乃??咖, 已知,., ‖.一, 力?局 ,.乞 矽?局 ‘ 气 ,?乞弓, 【‖?乞/, 乃?岛. 则 ‖ ,. 局 ‖? 乃?岛?州“纠 /?, 【‖?吃‖吃, 乃?圆乞?以“如’, ?在此一?为斟贿黔二或扩.删一‖解之 得易/刀,即乃刀一/..?./,,向趔句兰拟/;,‘.‘刀为偶数,.?./与 的奇偶性相同,而乞为偶数,乞后与后的奇偶性相同,又。.‘后.?.刀一/ 三向后,.?.拟刀一/,后幺定义合理..?.以,,//兰拟刀一/,力,其中 乞由上面的讨论易知,,,?,一,刀一/三,即: 以,,局】【拟/,句】【趔刀一力】. 多以,,色圆拟句 取,,危的基为,使得其对应的表示为,。岛,取坝句的基为印乞,使得其对 扬州大学硕士学位论文 应的表示为%,则以,,色拟句的基为,. .国伽. 矽. 已知,.一, ,.局呸 ‖?局/ 乃?局切 ‘ 气 ‘ 【,?呸, 【砂../, 【乃?. 则有 ,.局一 ‖?岛?‖ 乃?局, 【,【‖? 吃 乞, 【乃? 乞以“蜘 . 则,。。,下的矩阵为三,而一。:与:三的特征值均为?,故 三:与;三相似,且有::.:三:二,。。: 一,,取基一,.则有 乃?一?呱“剐一 ,.一局 ‖?‖一 , 巳, 巳?““钔 乞. 吃一 乞 【乃? ,? ‖.‘色为 易知,,色拟句兰揪力,其中三/,,,?,/一. 偶数,.?.后包,,故拟刃定义合理,.?.以,,色】拟句】 【拟刃】. ?,,危拟句 硬,,幺做句兰,,色以,,危拟句兰?垠,,忍拟力兰拟刀一/, 其中白危吃,吃,危三,.?.幺,即: 【垠,,向】【拟句】【拟刀一刀】. 二维表示和二维表示的乘积 取拟/,局的基为五,五,使得其对应的表示为巳南;取拟石,乞的基为月,乃, 使得 其对应的表示为如如,则拟/,局蛳,乞的基为五。刀,恐。儿,五咒,屯。刀. 其 中彳,石,,?,刀一,属,忽,,?,,彳三局,三乞以下不在重 复说明 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 ‖.玉国 乃?五?焉”焉 己知,‘五五 ,’屯而, ‖.五.? :国竹五, , 胁以国止% 旧刀国如疆 , 月乃 咒月 ???,、? ‖.以:?之五么, 乃.儿:?如么. 则 , ‖?五。月国“儿’‘乃 咒乇。咒 , 乇五川 ‖?乇。儿?以/止’五 , 五。儿 咒 ‖.五?以/一/’玉。儿 , 恐。舅五。儿, ,?\,、,、,、 ‖.恐。乃?.小嘞’五。月, 乃.而。乃?一白电’五。一 乃.恐。儿?一局如’五。儿 乃.五?一局吃’而。儿 力.五。舅国一局向’五。月, ?/.?厶且彳石刀,不妨设彳,有 矽五。月?砌而。彤一也。月 ,五圆刀乇 ‖?如。儿五。儿:一乇 ,?恐。咒五。咒 ,?五屯。月 矽?五肌』一五五。儿 ,‘?恐。刀五。儿, ‖五?川』一以’恐。咒, 乃?五。月国彬而。月 、 ‘ 哆掣硼猁,。。、其中属色兰‖, 乃?儿玉。儿 乃?五咒国耐也。只, 通过直接验证可得拟么,局‖?,乞有个单模: 后而。儿后恐。舅兰拟彳一石,刃, 舷 兰坎,,刃, 联 兰以,,力, .’彳拐刀,即彳。叹为偶数,且彳?,故彳一幺一定为偶数且彳,?,‘.。属乞 为 ,故 ,故为偶数,,,?,,即彳一兰‖ 偶数且局岔兰‖ 扬州大学硕士学位论文 一以,刃有意义.?.’‖为偶数且,,?,,故,,功,,,刃有意义. .?.,局朋,乞兰一,力以,,刃。以,,刃 从而我们有:拟彳,局】【朋,色坳,力】以,,力】以,,力】,其中磊乞三 ,‖,,?,一. ?/.?石且彳石?刀,不妨设/石,有 矽?五?月国“/’玉。月 ,?五。乃五 ,?五五月 ‖?也戌?恐。儿 ,五乇。爿 ‖?玉?』嘞’五。乃 ,?恐。彤五。儿, 砂?恐圆咒?』叻’恐。月, 乃?玉。月五。一 篇孳:等涮撕嵋加,刎,墟,??. 乃?乇.恐川, 通过直接验证可得纵,局彤,乞有个单子模: 后五。刀后恐兰拟/石,力, 后五。儿后也。一兰拟彳一五,力, .?.砌,局蛳,忍兰砌石,刃。蚝一以,刃, ?.【拟/,局】蛳,乞】【枷以,力】【砌一/,力】,其中局乞兰, ‖,,,?,?一. ?彳五且彳?刀,有 五。以乇圆 矽?五国协%’五月 艺儿五。咒 矽.乇。儿国以’ 咒 而五 矽?五五? 恐。月五, 砂五。月五。月, 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 乃’‘月?彬月。??叫’ ’一 繁兰戌锄:,。。、其中局龟三加, 彦?五。乃国‖一。儿 乃?乇。另国‖乇圆月, 通过直接验证可得力“,局彤?,幺有个单子模: 后一。一后屯。乃兰弛以,刃, 后‘儿五。月兰,,刃, 后一。儿 月兰,,刃, ?.‘彳锡,即彳 ,即属三乞 ,即 ,即局乞为偶数,‘.’局幺三 一定为偶数,即,,?,,则,,刃,以,,力有意义,.?.彤“,刍坳, /石,,,刃。坎,,刃,即:以,局】蛳,乞】.坳石,刃卜【以,,?】 垠,,】,其中局血三,‖,,?,一. ?彳五刀且彳 取拟/,局的基为五,五,使得其对应的表示为巳焉;取拟,包的基为刀,儿,使 得 其对应的表示为以如,则‖“,属彤,乞的基为五只,屯圆儿,而咒,如爿.其 中/,,,?,彤一,局,乞,,?,一,彳三局,么三乞 以下不在重 复说明‖.五国“?五 乃?五?南”玉 己 序为口 五五 五五 ,??, ‖.恐:?之。%, 五:?:局%, ‖?舅国以么 防彤国如? ?洲,,? 刀儿 咒乃 【‖‘咒国“”儿, 乃.儿:缈:如么. 则 ‖ 五。月五。咒 五 乃一五一 ‖ 恐。儿五。刀 儿一五。咒 ‖ 五圆儿屯。爿 儿五儿 ‖ 乇五。儿, 仨 恐玉恐一恐。爿, ?,???????,‘?,??;,? /?/\/?\/\ 扬州大学硕士学位论文 乃?玉。咒‖五。乃 加, 。 其中岔乞三‖。 。 、 譬’,。、。。一, 、 乃玉.‖玉 乃?五。以..坞,, 通过直接验证可得纵,毛朋,乞有个单模: 敝五五兰,,力 敝五?乃一 兰以,,力 饭五五。以兰,,力 氟五一 咒兰以,,刃 .?.彤“,幺朋,乞兰以,,功。以,,功。砍,,功。垠,,功, ,功】,其中 从而我们有:彤,】【‖?,之】【以,,功】【以,,力】【以,, 口 ,,‖,,?,一. 属幺三 命题.当,,历?时,以‘句/.,.石,,?.关于乘法构成一个 群,记为?,此群的单位元为【以,,】,生成元为【以,,】,【以,,】,【以,,】. 证明当厅,朋?时,一维不可约表示为: ,乃?和, 。。正:,‖ 其中局,幺,岔,白,,?,一. 。吃:,‖一,乃?岛”, ,乃?锄, 。厶:,一,‖ 屯:,一,‖一,乃?伽, 则与之对应的一维瓯./一单模分别记为:以,,局,,,向,,,危,以,,白. 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 以,,局】坎,,局】【坎,,危】,其中,眺,耳呓属三/, 以,,局】【垠,,噍】垠,,后】,其,即囊乞三, ,,局】【砍,,鹰】【后,,白】,其中,三鸩,即幺危三, 以,,局】砍,,幺】,,磊】,其中。。三以危,即毛幺, ,,乞】以,,后】,,,其中::,吒石, ,,幺】【以,,色】以,,。,其三以属,即乞危三奄。, ,,幺】以,,后】【以,,向】,其中确,三囱, 以,,忍】【以,,岔】【以,,毛】,其中三础,即幺三, ,,乞】【以,,后】,,毛】,其.,即色乞兰局, 以,,白】【以,,白】以,,属。】,其中。。嵋。,即%三局。. 易知,以‘句‘/.,,后,,?,关于乘法构成一个群,记为?,此群的单位 元为【以,,】,’.‘【以,,】【以,,】【以,,,以,,//,,】【,,】, ?,由数学归纳法知【以,,句】,,,?,?一,均可由【以,,】生成;同理 以,,】【以,,】【以, 】,【以,,】【以,,】【,,】,【,,//,,】 【以,,】,?,由数学归纳法知【以,,句】,,,?,一,均可由【以,,】,【以,,】 生成;【,,】【以,,】以,,】,【垠,,】【以,,【以,,】,【以,,】 【以,,】【以,,】,?,由数学归纳法知【以,,句】,,,?,,均可由【以,,】 以,,】生成.【以,,】【以,,】:以,,】,,,】以,,,,】, 以,,】【以,,】【以,,】,【以,,//,,】【,,】,?,由数学归纳法知 【以,,句】,,,?,一均可由【以,,】,【以,,】,以,,】生成,故群‖的生 成元为【以,,】,【以,,】, 【以,,】且 :。,.口 下面,我们探讨一下,当,为奇数时,广义二面体群上的不可约表示的张量积 分解. 定理.当,肼,历?时,广义二面体群瓯.。的表示环局嚷.。有一组基 【以‘石形/,,,,?,一【彤?后?‖一,,,,?,,/ 且局。的乘法结构由下式给出: 一维表示和一维表示的乘积 扬州大学硕士学位论文 , 其中局三忍 以,,毛】【‖,,毛】‖,,色】, 其中毛兰吃, /,,属】【‖,,乞】/,,吃】, , 其中局忍白 ,,局【‖,,乞】,,白】, , 其中局白三忽 ,,毛】‖,,允】,,农】, , 其中局兰允 ,,向】‖,,乞】,,毛】, , 其中乞色三局 【,,向】‖,,色】,,向。】, , 其中幺幺兰厩 【,,乞】‖,,厶】【‖,,幺,】, , 其中幺三磊 ,,色?‖,以】,,属:】, , 其中色允三属 【,,白】【‖,,白】,,局,】, 们. 其中幺兰属 ,,厶,,幺】以,,局。】, 一维表示和二维表宗的乘积 假设向,,?,一,/,,?,,/,,?,刀一,后,,?,?一,后 , 盘,,,,,,?一,一。 ?【,,毛】【拟?句】拟?功】,加, ?【以,,岔】【拟句】【?力】,乞后三, ?以,,危】【拟?句】【似力】,忍后三砷, ?【,,幺】【拟?句】【拟刀一/,力】,幺. 二维表示和二维表示的乘积 ?么?五且彳另刀,不妨设彳另,有 【拟彳,毛【似,幺】:【‖;,力卜【以,,力】以,,力】, 其中局幺三,‖,,?,一 ?/;?石且/石?,,不妨设彳以,有 ‖,毛】彤?,后】彤石,力】【坝一五,力】, 其中局色三,‖,,,?,一. ?/石且彳?刀,有 【拟./.,毛】【肜?,后】【/.另,刃卜‖,力】以 ,力】, 朱婷婷:广义二面体群上表示的张量积分解 其中磊幺三,‖,,?,一. ?彳另且爿么刀,此种情况不存在. 证明参见定理.口 例. ,:乃,,,‖,‖,‖,舭旷,,历加,的表示环代,: 有一组基【以‘句】‘/,,,以,,,】,【砍,】且局,:的乘法结构 由下式给出: 一 一维表示和一维表示的乘积 其中/厂 ,/.// , 【以‘属】【以厶/,乞】【以厂,/,忍】, 属幺色 ,其中局,幺,忍,,. 一维表示和二维表示的乘积 , 肜 , .刃肜 , ,矗’、 硼 ,髟 ? , . , ‖ 矿 斫 肜屈 以以以 拟坝拟 拟坝拟 ?劲铆 ”? , 以所以 、 、 川门 叫叫叫 ,? ? ? ? , ?川川 ?? 州 ,‖ 】,不 极掀拟 以以以 、,、,、, 拟坝坝 、,、、, 坝似似 以以以 、,、,、, 拟麒拟 、,、,、 以以以 吣动 似掀似 叫叫纠吣叫纠