广东省专插本 高等数学 2012年 历年题集(含
)
广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》(公共课)试题
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。每小题只有一个选项符合题目
要求)
+limlim1(已经三个数列{a)、{b)和{c)满足abc(n?N),且a =a,c =c(a、b ,nnnnnnnn,n,,n,,
为常数,且a
计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)
11lnx11(计算( lim(),,,xx1,
2,dy,x,ln(3,t,t)12(设函数y=f(x)由参数方程所确定,求(结果要化为最简形式). ,2dx,y,3,t,
,,arctanx4e13(确定函数的单调区间和极值( f(x),(x,1)
214(求不定积分( ln(1,x)dx.,
4,111,x3xex,,,,,2,22f(x,1)dx15(设f(x),,利用定积分的换元法求定积分( 1,,112,x,,2,2x,
16(求微积分方程y’’一4y'+13y=0满足初始条件特解( y,1,y',8x,0x,0
2,zx17.已知二元函数z=x(2y+1),求( x,1,y,xy,2
2xy,xd,18(计算二重积分,其中D是由曲线y=及直线y=1,x=0围成的闭区域( ,,D
四、综合题(大题共2小题,第19小题12分,第20小题10分,共22分) 19(已知C经过点M(1,0),且曲线C上任意点P(x,y)(x?0)处的切线斜率与直线OP(O
为坐标原点)的斜率之差等于ax(常数a>0)(
(1)求曲线C的方程;
3(2)诚确a的值,使曲线C与直线y=ax围成的平面图形的面积等于( 8
x33,,ttaf(x),2dt20(若当x?0,函数与x是等价无穷小量; ,0
1,f(2),8(1)求常数a的值;(2)证明:( 2
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《高等数学》参考答案及评分
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1(A 2(C 3(D 4(B 5(C
二、填空题(本大题共5小题,每个空3分,共15分)
1 6(-6 7( 8(3 9(ln2 10(4dx - 2dy ,
三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)
-Wl+x) (2分)
,,ln(1x)
lnxlime1l(解:原式=, (2分) ,,,x
1,x,ln(1,)x1,?lim,lim (4分) x,,,x,,,1xln
x
-1?原式,e. (6分)
,,dx111,,?,,1,12(解: ;,,222dt3,t,t3,t3,t,,
dyt,. (3分) 2dt,t3
'ydyt ?,,t(结果没有化简扣2分). (6分) 'dxxt
13(解:函数的定义域为, f(x)(,,,,,)
,,arctanarctan,x,x144f'(x),e,(x,1)e, 21,x
x(1,x),,arctanx241,x,e , (2分)
令f'(x),0,解得x=0,x=-1
f'(x),0f'(x) 因为在区间(-?,-1)内,;在区间(-l,0)内,<0;
在区间(0,+)内,, f'(x),0,
所以的递增区间是(-,-1)及(0,+),递减区间是(-1,0), (4分) f(x),,
,
4 的极大值是的极小值( (6分) f(x)f(,1),,2,f(x)f(0),,e
22x22ln(1,n)dx,xln(1,x),dx14(解: (2分), 2,,1,x
12,xln(1,x),2(1,)dx 2,1,x
2 (6分) ,xln(1,x),2x,2arctanx,C
21,,x1tf(x,1)dx,f(t)dt15(解: (2分) 11,,,22
111122 ,f(t)dt,f(t)dt,f(x)dx,f(x)dx1111,,,,,,2222
1141,3x12 (4分) ,xedx,dx11,,2,x22
11 . (6分) ,0,,11x2
216(解:由微分方程的特征方程r - 4r +13=0解得r=2?3i, (2分)
所以此微分方程的通解为
2x . (4分) y,e(Ccos3x,Csin3x)12
22xx因为, y',2e(Ccos3x,Csin3x),e(,3Csin3x,3Ccos3x)1212
y,C,1及y',2C,3C,8由 解得C=1,C=2, 12x,01x,012
2x 故所求特解为. (6分) y,e(cos3x,2sin3x)
,z2x,117(解:?,2x(2y,1), (2分) ,y
2,xx,12x,1 ?,4x(2y,1),2x(2y,1)ln(2y,1) , (4分) ,y,x
2z, 故 (6分) ,4,2ln3x,1yx,,y,1
18(解:积分区域D如图:
122 (3分) y,xd,,dyy,xdx2,,,,00
321y222[,(y,x)]dy = ,030
1213 = (6分) ydy,,036
四、综合题(本大题共2小题,第19小题12分,第20小题10分,共22分) 19(解:(1)设曲线C的方程为y=厂O),由题意知
y y',,ax,且y,0( (2分) x,1x
y 由y',,ax得 x
11dx,dx,,lnx,lnxxxy,e(axedx,C),e(axedx,C) (4分) ,,
,, ,x(adx,C),x(ax,C),
C,,ay,a,C,0 因为,解得 x,1
2 故曲线C的方程为( (6分) y,ax,ax,ax(x,1)
(2)如图,
2ax,ax,ax 由解得x=0,x=2, (10分)
288aa23()4 即, ax,x,a,,0333
解得a=2( (12分)
282(axaxax)dx,,,由题意知, ,03
x3t,3t,adt23,x,3x,aa020(解:(1)解:由题意知, (4分) lim,lim2,2,1x,0x,0x
?a,0 (
2233t,tx,x33 (2)证:, f(2),2dt,2dx,,00
33x,3xx,3x2 设,则, (6分) g(x),2g'(x),2(3x,3)ln2
令,在区间(0,2)内解得x=l, g'(x),0
1 因为g(0)=1,g(1)=,g(2)=4, 4
1 所以g(x)在区间[0,2]上的最大值为4,最小值为( (8分) 4
231x,x3 由定积分的估值定理可得,edx,8, ,02
1,f(2),8 所以有( (10分) 2