计算方法 习题第一、二章答案

是不惟一的，类似地，由n+1插值条件构造大于n次的插值多项式，答案也是不惟一的。8我们用sin30°=0.5,sin45°=0.7071,sin60°=0.8660，作Lagrange二次插值，并用来求sin40°的近似值，最后根据插值余项定理估计此误差。分析本题显然是利用Lagrange插值余项定理解设fx)=sinx,f(x)=cosx,f'(x)=一sinx,f"(x)=一cosx令x=30。=0.5236,x=45。=0.7854,x=60。=1.0472,x=40。=0.6981012其插值余项为f⑶(g)R2(x)=3!(x—x0)(x—x)(x—x2)从而R2(40。)I二R2(0.6981)二-曙忆)(0.6981-0.5236)(0.6981—0.7854)(0.6981-1.0472)W£x0.1754x0.0873x0.3491沁0.0008869已知x=0,2,3,5对应的函数值为y=1,3,2,5，作三次Newton插值多项式，如再增加x二6时的函数值6,作四次Newton插值多项式。分析本题是一道常规计算题解首先构造差商表x.i0235f（xi・）一级差商一阶差商三阶差商1312-1-2/353/25/63/10三次Newton插值多项式为N3（x）=1+x一2x（x一2）+-3jx（x一2）（x一3）增加x4=6,f（x4）=6作差商表x.if（xi）一级差商一阶差商三阶差商四级差商0123132-1-2/3553/25/63/10661-1/6-1/4-11/120四次Newton插值多项式为N4（x）=1+x一2x（x一2）+13jx（x一2）（x一3）一x（x一2）（x一3）（x-5）10已知f（x）=x7+x4+3x+1，求f[2°,21,…,27]及九2°,21,…即分析本题f(x)是一个多项式，故应利用差商的性质。解由差商与导数之间的关系f[x0,…,xn]=n_f(n)(g)及f(7)(x)=7!，f⑻(x)=0知*1/•f[Xo,今…,和=(a-x”斗…(a-xj(k=口…,")1九2。,21,…初=^7^=7!=1/[2。,21,…,28]=8^=8!=011若f(x)=a£n+an一]xn-1HHa1x+a0有n个相异的实根x1,x2,…,xn，则有0,ynxk=j=1眄=分析fx)有n个相异实根，故fx)可表示成吓(x-x)，考察本题要证明的结论和i=1f(x)的特点，应考虑利用差商可表示为函数值的线性组合这一性质。证由于xx…,x是f(x)的n个互异的零点，所以12nnni=1f(x)=a(x—x)(x—x)•…(x—x)=aH(x—x)n12ynj=1i=1xkyxk详jH(x-x)jif，(x)j记gk(x)=xk,则j=1ani=1i工jxk7=1H(x-x)jii=1i工j1)由(1)，(2)得12设f(x)=g(n-l)(x)=k2)_1g(n-1)忆)=k—a(n-1)!nk=n一1g(x)1kj=—gk[x,x，x]a12nnij=1H(x-x)i=1i工j1，且a,xxx…,xa一x012n互不相同，证明并写出f（x）的n次Newton插值多项式。分析利用差商的定义可证得证用数学归纳法证明当k=1时f[x,x]=fx0）一fx1）=_^[_^_一_^]01x-xx0一x1a-x0a-x1x-x011(a-x0)(a-xi)假设当k=m时，结论成立，即有11f[x0,勺…,xm]=L,f[x1,心…,耳+1]=—H(a-x)T!a-x...=0i=1那么f[x0,珀，…,x科,x科+1]=九x0,x1,…,？一fx0,x1,…,xm+1]0m+1J_[1-1]xo»+1H(a-x)H(a-x)...=0.=11S-iJ-S-％)炉(a-x.)..=0x一x0m+11H(a-x.)i.=0即当k=m+1时，结论成立。由数学归纳法知对任意k，结论是成立的。f（x）以x0,x1,…,xn为插值节点的n次Newton插值多项式为1（x一x）（x一x）（x一x）…（x一x）N（x）=•+'0丿++101”_Pna一x（a一x）（a一x）（a一x）（a一x）…（a一x）00101n13设f(x)eCi[a,b],x0e(a,b)定义f[x0,x0]=x嗅f[x，x0]0证明：f[x0,x0]=f（x0）。分析本题应利用差商的概念和微分中值定理将差商与导数联系起来证由微分中值定理有幵x,x]=fx）_fX0）=f（x0+0（x-x0））,0<0<1x-x0所以f[x0,x0]=x叭f[x,x°]=x叭f(x。+0(x-x。))=f(x。)000.9-0.10536114设f(x)=aXn+aXn一1HFax+a，且a丰0，试证兀兀10nAnf(x)=n!a”hn其中h为等距节点步长。分析由于f(X)是多项式，因此应考虑用差商的性质和差商与差分的联系来证明。证记x=x+ih(i=0,1,2,…,n)iAn(f(X)n!hn=f[x0,x1,,xn]=f(")(2)n!an!n!■n=a所以Anf(x)=n!anhn15已知函数y=f(x)的函数表X0.00.10.20.30.40.5f(x)1.001.321.682.082.523.00试列出相应的向前差分表，并写出Newton向前插值公式。分析这是常规计算题，按照公式计算即可。解构造向前差分表X.f(x)Af.AfAf0.01.000.320.040.000.11.320.360.040.000.21.680.400.040.000.32.080.440.040.42.520.480.53.00f(x)的Newton向前插值公式为N5(x)=N5(0.0F0.1t)=f+1t!+咛％=0.02t2+0.30t+1.00,tg[0,1]16给出f(x)=1nx的数据表X0.40.50.60.70.81n(x)-0.91629-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。用Newton向后插值公式求1n0.78的近似值，并估计误差。分析本题属于常规计算题，按照公式计算即可。解(1)线性插值，取％=0・5,Xi=0.6，贝yln0.54沁(-0.693147)x一+(-0.510826)x鬼一0.5—0.60.6—0.5=-0.620219二次插值，取x0=0.5,X]=0.6,x2=0.7，则1n0.54沁(—0.693147)x(0.54—0.6)(0.54—0.7)(0.5—0.6)(0.5—0.7)+(—0.510826)(0.54—0.5)(0.54—0.7)(0.6—0.5)(0.6—0.7)+(°356675)降韻罷罟=-0.6168382也可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6进行二次插值得1n0.54~0.6153198(2)记x0=0.4,x1=0.5,x=0.62,x3=0.7,x4=0.8,x5=0.9，构造向后差分表x.f(x.)Af.AfAfAfAf0.4-0.9162910.5-0.6931470.2231440.6-0.5108260.182321-0.408230.7-0.3566750.154151-0.0281700.0126530.8-0.2231440.133531-0.206200.007550-0.0051030.9-0.1053610.117783-0.0157480.004872-0.0026780.002425由Newton向后插值公式N(x)=N(x+th)xnn=fQf£坦+1)V2乙+…1Ij坦+D…(+n-DVnf由于x=x+th，当x=0.78,n=4时,t=(0.78—0.8)/0.1=—0.2，故n1n0.78沁N4(0.78)=-0.223144+0.133531X(-0.2)+X(—0.2)(—0.2+1)(—0.020620)+(—0.2)(—0.2+1)(—0.2+2)(0.007550)+1(—0.2)(—0.2+1)(—0.2+2)(—0.2+3)(0.005103)5.248453由插值余项f(s)(g)R4(x)=f(x)—N4(x)=补t(t+1)…(t+4)h5IR4(0.78)1<玄丨t(t+1)…(t+4)1maxxe[x0,x4]|f(5)(x)|W贡xI(—0.2)(—0.2+1)(—0.2+2)(—0.2+3)(—0.2+4)I4!0455.985x10—417已知sin30°=0.5,sin45=0.7071sin"（30°）=cos30=0.8660sin"（45°）=cos45°=0.7071，求sin40°。分析本题不仅给出两点上的函数值，而且还给出了导出数值，因此应利用两点三次Hermite插值。解利用两点三次Hermite插值sin40。沁H3（40。）二H3（2兀）(1+2x黑訣）（2船阱）2x0.5+(1+22兀/9一兀/4)(兀/6—兀/4八2兀/9一兀/6兀/4一兀/6■)2x0.7071/9—兀/4/6—兀/4)2x0.8660■)2x0.7071（2兀一兀）（2兀/9一兀/6兀八兀/4一兀/6=0.6428|R(著)|=害警-W24(18)2(—36)2<0.0010118已知自然对数1nx和它的导数1/x的数表0.400.500.600.701nx-0.916291-0.693147-0.356675-0.2231441x2.502.001.431.25(1)利用Lagrange插值公式，求1n0.60。(2)利用Hermite插值公式，求1n0.60。分析本题属常规计算题，按有关公式计算即可。解记x0=0.40,X］=0.50,x2=0.70,x3=0.80。首先列表计算1(0.60,l'(x.)(i=0,1,2,3)r—l11i1；(x)/(0.60)1：(x；)0冋x-xx-xj=00jj+0-0.166667工一1一=-15.833333x-xJ=00Jj土01j1v冋x-x.x-xj=01Jj“00.666667工一1—=1.666667x-xJ=01JJf12JJlMyx-x.x-xJ=02Jjf20.666667丿"丄工一1一=1.666667x-xJ=02JJf23x-x.x-xj=03J-0.166667£—1—=15.833333x-xJ=03J1)利用Lagrange插值公式，有1n0.60沁L3(0.60)=工1((0.6)fx)i=0=-0.166667X(-0.916291)+0.666667X(-0.693147)+0.666667X(-0.356675)+(-0.166667)X(-0.223144)=-0.509976(2)利用Hermite插值公式，有H_(x)=工{[1-2(x-x.)1(x.))]12(xfx.)+(x-x.)12(xf(x.)}7iiiiiiiii=0从而1n(0.60)沁H7(0.60)=-0.510889。注：本题的真值1n0.60=-0.510825623…，可以看出Hermite插值所得结果要比Lagrange插值结精确得多。19设已知x0,X］,x2是［a,b］上三个互异的节点，函数fx)在［a,b］上具有连续的四阶导数，而H3(x)是满足下列条件的三次多项式：H(xi)=f(xi)(i=0,1,2)H匸)=f(和(1)写出H3(x)的表达式。(2)证明：fx)-H3(x)=争(x-x0)(x-x1)2(x-x2)gw(a,b)分析这是带导数的插值问题，但又不是Hermite插值问题，要求我们灵活运用插值方法，解决这类问题的方法较多，常用的有以下两种解法。(1)解法一用插值法加待定系数法来做。设N2(x)为满足插值条件N'x)=f(xi)(i=0,1,2)的二次式，由插值条件可设H3(x)的形式为H3(x)=N2(x)+A(x-x0)(x-xi)(x-x2)=f[x0]+(x-x0f[x0,xi]+(x-x0)(x-X]f[x0,X],x2]+A(x-x0)(x-x])(x-x2)(1)其中A为待定系数，显然由(1)确定的H3(x)满足H3(x.)=f(x)(i=0,1,2)，待定系数A可由插值条件H；(X])=f(x1)来确定，为此对(1)式两边求导数H；(x)=fx0,x1]+(x-X]f[x0,X],x2]+(x-x0f[x0,X],x2]+A[(x-x1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1)]令x二x1，并利用插值条件H3(x1)=f(x1)有f(x1)=f[x0,x1]+(x1-x0f[x0,x1,x2]+A(x1-x0)(x1-x2)于是A=f(x1)—fx0,叩—乩-%^%，x1，x2]从而(x1-x0)(x1-x2)H3(x)=f[x0]+(x-x0f[x0,x1]+(x-x0)(x-xfx0,x1,x2]+f(叫)―九x0,止s―x0f[x0,%,x2](x1-x0)(x1-x2)•(x-x0)(x-x1)(x-x2)解法二用插值基函数来构造。首先构造四个三次插值基函数h0(x),h1(x),h2(x),h1(x)，使其满足条件ho(xo)二1,h0(x1)二0,h1(x0)二0,h1(x1)二1,%(%)二0,响)二0,%x0)二0,h^(x1)二0,h0(x2)二0,h1(x2)二0,h2(x2)-1,h1(x2)二0,h0(x1)二0h©)二0h；(x1)二0hr(x1)二1由h0(x)所满足的条件，可设h0(x)二A(x-x1)2(x-x2)，其中A为待定系数。1(x0-x1)2(x0-x2)故有由h0(x0)二1，(x-x1)2(x-x2)h(x)—12-0(x-x)2(x-x)0102同理可得h2(x)二(x-x1)2(x-x0)(x2-x1)2(x2-x0)由曾仗)满足的条件，可设％x)二C(x—x0)(x—x1)(x—x2)，其中C为待定系数，由甲冲二1,得C二戶廿二可，故有h(x)=(X-X0)(XN-®(X1-X0)(X1-X2)下面求沟(兀),由沟(兀)满足条件，设h=(x)=(ax+b)•((xxo)(xx2)、，其中111(X-x)(x-x)a,b为待定系数，利用h］(x］)=1,h］(x］)=0得a+(ax+b)—1——+(ax+b)——1——=01x-x1x-x1012由此得(%+B)—2xia~(X1-xo)(xi-x2)b=1-[(Xo+X2)—2X1]X1(X1-xo)(xi-x2)所以h(x)={[(x0+x丿-2x1](x-x1)(x1-x0)(x1-x2)}(x-x0)(x-x丿1()=(x1-x0)2(x1-x2)2易验证H3(x)=f(x0)h0(x)+f(x1)h1(x)+f(x2)h2(x)+f(xjh^x)(2)证当x为插值节点x0,叫,x2中任一点时，结论显然成立，下面设x异于x0,叫,x2。由于R3(x)=f(x)-H3(x)满足R3(x0)=0,R3(x1)=0,R3(x2)=0,R3(x1)=0故可设R3(x)=K(x-x0)(x-x1)2(x-x2)，其中K为依赖于x的待定系数。固定x，作辅助函数G(t)=/(t)一H3(t)一K(t-x0)(t-x1)2(t-x2)显然G(t)在［a,b］上有四个零点x,x0,x1?x2，其中x1为二重零点。利用Rolle定理，知G(t)在x0,x1?x2,x组成的三个小区间内至少各有一个零点，记为%耳2,耳3，加上％,G(t)在［a,b］［a,b］上至少有4个零点，反复利用Roily定理：G〃(t)在［a,b］内至少有3个零点。G(3)(t)在［a,b］内至少有2个零点。G(4)(t)在［a,b］内至少有1个零点，即存在一点2,使&(4)忆)=0。f⑷(g)由于G⑷(t)=f⑷(t)-4!K，从而求得K=—耳，所以R3(x)=fx)-H3(x)=(x-x0)(x-x1)2(x-x2)20对于给定插值条件，试分别求出满足下列边界条件的三次样条函数S(x)：S'(0)=1.S'(3)=2S〃(0)=1.S〃(3)=2012011Xf(x)30分析这是三次样条插值问题，给出了两种边界条件，我们按样条插值的求解方法即能求得问题的解。解记X0=0,X1=1,X2=2,X3=3,y0=0,y1=1,y2=1,y3=0,计算二阶差商iX・f(x)一阶差商一阶差商000111112210-2330-11X1-X0=X2-X1=X3-X2=h=1三次样条插值函数的表达式为S(e[X/,Xj+1],j=0,1,2(1)d0=6x{fx0,xi]-1}=6x(1-1)=0d3=6x{2-f[x2,x3]}=6x(2+1)=18d1=6fx°,X],x2]=6x(-2)=-3d2=6f[x1,x2,x3]=6x(-1)=-3关于M0,M1，M2,M3的方程组为)=£Mj(xj+1-x)3+6Mj+1(x-j+5-6M)g+1-x)+5+1-6Mj+1)(X-Xj)j+11)解得M0=0.2667,M1=-0.53301221011-22MMM-0-3-3183,M2=-4.1333,M=11.0667(2)将数据(2)代入(1)得所求三次样条插值函数为：当xe[0,1]时，S(x)=£x0.2667(1—x)3+£x(—0.5333)(x—0)3+(0—1x0.2667)(1—x)+(1—1x(—0.5333))(x—0)66=0.4445(1—x)3—0.08888x3—0.0445(1—x)+1.08888x当xe[1,2]时，S(x)=1x(—0.5333)(2—x)3+1x(—4.1333)(x—1)3+(1—1x(—0.5333))(2—x)+(1—1x(—4.1333))(x—1)=—0.08888(2—x)3—0.68888(x—1)3+1.08888(2—x)+1.68888(x—1)当xe[2,3]时，S(x)=1x(—4.1333)(3—x)3+6x(—11.0667)(x—2)3+(1—舌x(—4.1333))(3—x)+(0—舌x(—11.0667))(x—2)=—0.68888(3—x)3—1.84445(x—2)3+1.68888(3—x)—1.84445(x—2)(2)M0=1,M3=2(3关于M]和M2的方程组为7-24--=--12MM_一1-2221-2解得M=—1.3333,M=—1.6667(4)12将(3)和(4)代入(1)得所求三次样条插值函数为：当xe[0,1]时，S(x)=1(1—x)3+1X(—1.33333)(x—0)366+(0—6)(1—x)+(1—1x(—1.6667))(x—1)=0.16667(1—x)3—0.22222X3—0.16667(1—x)+1.22222x当xe[1,2]时，2S(x)二6(-1.3333)(2-x)3+6x(—1.6667)(x-1)3+(1-*x(-1.3333))(2-x)+(1-*x(-1.6667))(x-1)=—0.22222(2—x)3—0.27778(x—1)3+1.22222(2—x)+1.27778(x—1)当xe［2,3］时，S(x)=6(-1.6667)(3-x)3+6x2(x-2)3+(1-1x(-1.6667))(3-x)+(0-1x2)(x-2)66=-0.27778(3-x)3—0.33333(x-2)3+1.27778(3-x)-0.33333(x-2)21求超定方程组|2x+4x=11121)3x1+5x2=3x1+2x2=62x+x=712的最小二乘解，并求误差平方和。分析求解超定方程组AX=b，可直接求解正则方程组AtAX=ATb解方程组(1)写成矩阵形式为24「1「3-5x12x1212一一正规方程组为3-523124-53-5xx12241118-3-346xx1解得x1=3.0403,x2=1.2418误差平方和E=(11-2x1-4x2)2(3-3x1+5x2)2+(6—X]—2x?)2+(7—2X]—x?)2=0.3406622已知4=2,9=3,T6=4,求7的近似值。23有下列正弦数表Xsinx0.50.60.70.479430.564640.64422试分别用线性插值与二次插值求sinO.57891的近似值，并估计误差。24利用反插值法求方程x4-6x2+12x-8=0在区间[1，2]内的根。25设/（x）=2x4+x3-1，试用Lagrange插值余项定理写出以-1,0，1，2为插值节点的三次插值多项式。26证明：对于fx）的以x0,x1为节点的一次插值多项式p（x），插值误差为|f（x）-P（x）匕^8^X衆Xx1]|广（x）LXe[x0,x1]27若f(x)=X7+X3+1，求[20,21,,2s]。28对任意的整数n>0,0