两元一次方程组A

两元一次方程组A 太奇教育深圳分校沙井校区 两元一次方程组(A) 一、知识归纳 1、二元一次方程:每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程( 2、二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组( 3、二元一次方程的解:一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解( 4、二元一次方程组的解:一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解( 二、二元一次方程组的解法 1、代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解(这种方法叫做代入消元法，简称代入法( ,变形:从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。 ,代入:将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程。 ?解方程:解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 ?求值:将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。 2x，3y,7,例:用代入法解二元一次方程组 ,3x,5y,1, 7,3y7,3yx,解:由方程,得 ?，将?代入,得，解得y=1，将y=13，,5y,122 x,2,7,3，1代入?得，所以原方程组的解是 x,,2,y,12, 1 太奇教育深圳分校沙井校区 2、加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程(这种方法叫做加减消元法，简称加减法( 用加减法解二元一次组的一般步骤: ,变形:先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反的数。 ,加减:用加减法消去系数互为相反数或系数相同的同一未知数，把二元一次方程转化为一元一次方程。 ?解方程:解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 ?求值:将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。 4x，3y,3,例:用加减法解二元一次方程组 ,3x,2y,15, 解:,2得8x+6y=6 ? ， ,×3得9x-6y=45 ?+?得17x=51，解得x=3 把x=3代入,得4×3+3y=3，解得y=-3. x,3,所以原方程组的解是 ,y,,3, 三、列二元方程组解应用题的常见题型 (1)和差倍总分问题:较大量,较小量，多余量，总量,倍数×倍量 (2)产品配套问题:加工总量成比例 (3)行程问题:路程,时间×速度 ?相遇问题:路程和,相遇时间×速度和 ?追及问题:路程差,追及时间×速度差 2 太奇教育深圳分校沙井校区 (4)航速问题:此类问题分为水中航速和风中航速两类 ?顺流(风):航速,静水(无风)中的速度，水(风)速 ?逆流(风):航速,静水(无风)中的速度,水(风)速 (5)工程问题:工作量,工作效率×工作时间 的工程 一般分为两种，一种是一般的工程问题;另一种是工作总量是单位1问题 (6)增长率问题:原量×(1，增长率),增长后的量，原量×(1，减少率),减少后的量 (7)浓度问题:溶液×浓度,溶质 (8)银行利率问题: 免税利息,本金×利率×时间 税后利息,本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率 (9)利润问题:利润,售价—进价，利润率,(售价—进价)?进价×100% (10)盈亏问题:关键从盈(过剩)、亏(不足)两个角度把握事物的总量 (11)数字问题:首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 (12)几何问题:必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 (13)年龄问题:抓住人与人的岁数是同时增长的 例1、请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何,”诗句中谈到的鸦为_________只、树为_________棵( 解析: 设鸦为x只，树为y棵， 3 太奇教育深圳分校沙井校区 根据题目条件可得方程组 :20;5 例2、小明给小刚出了一道题:如果将原方程组第1个方程y的系数遮住，第2个方程x的系数覆盖，并且告诉你是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗, 解、 例3、甲、乙两同学解方程组，已知甲的正确解答是，乙由于看错了c，求出的解是，求a，b，c的值( 解:把代入原方程组，得 得( 由满足，得( 4 太奇教育深圳分校沙井校区 和2a，4b,2组成方程组，得 解得 ?所求的值分别为5，,2，1( 例4、现有布料25米，要裁成大人和小孩的两种服装，已知成人每套用布2.4米， 小孩每套用布1米(问各裁多少套恰好把布用完, 解: 设成人裁x套，小孩裁y套，则 2.4x，y,25， ，y,25， 12x，5y,125， 5y,125,12x， y,25,( 因为x，y为正整数，所以 ?x,5时，y,13; ?x,10时，y,1( 所以成人裁5套，小孩裁13套，或成人裁10套，小孩裁1套恰好把布用完( 例5、(1)若关于x的方程m(2x，1),n(x，5)，3(x,1)无穷多解，求(n,m) 2010的值( 5 太奇教育深圳分校沙井校区 (2)已知关于x、y的二元一次方程(a,1)x，(a，2)y，5,2a=0，a每取一个值就得到一个方程，而且这些方程有一个公共解，求出这个公共解( 答案: (1)解:m(2x，1),n(x，5)，3(x,1) ?(2m,n,3)x,5n,3,m( ?x有无穷多个解， 20102010,(1,2) ?(n,m),1( (2)解:这个公共解为 将a看作未知数，将方程变形为(x，y,2)a=x,2y,5( ?a是任意数，即上面关于a的一元一次方程有无数个解， ?x、y的值与a无关， ?a取任何值方程都成立( 例6、对于X、Y定义一种新运算“*”:X*Y=aX，bY，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算(已知:3*5=15，4*7=28，求2*3的值 6 太奇教育深圳分校沙井校区 解:?X*Y=aX，bY，3*5=15，4*7=28， ?， 解得( 所以X*Y=,35X，24Y( 即2*3=2×(,35)，3×24=2( 例7、对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定( =(,2)×5,(,4)×3,2(根据这一规定，解答下列 如: 问题: (1)化简; (2)若x、y同时满足=5，，求x、y的值( 22解:(1)原式=(x，3y)(2x，y),2x?3y=2x，xy，3y; (2)根据题意，满足=5，可化为3x，2y=5; ，可化为2x,y=8; 7 太奇教育深圳分校沙井校区 即可得， 解得( 例8、“5?12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷(某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区(若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶( (1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶? (2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感? 解:(1)设平均每天各生产x、y顶，则 (2)由3×(4×41，5×32)=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务(可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献( 例9、(1)“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮 8 太奇教育深圳分校沙井校区 食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12,，玉米超产10,，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨? (2)某公司接受一批产品定货，按定额预计划30天可以完成，经管理改革和技术革新后，劳动生产效率提高了120,，结果提前16天完成任务，并超产32件，求该公司接受的加工任务是多少件?原来每天的定额是多少件? 答案: (1)解:设去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，则 1.12x,11.2，1.1y,8.8( 所以该专业户去年实际生产小麦11.2吨，生产玉米8.8吨( (2)解:设该公司接受的加工任务为x件，原来每天的定额是y件，则 所以该公司接受的加工任务为1200件，原来每天的定额是40件( 例10、温州皮鞋畅销世界，享誉全球(某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图(如图)(由于三月份开展促销活动，男、女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40,、64,(已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元( 9 太奇教育深圳分校沙井校区 (1)一月份销售收入_________万元，二月份销售收入_________，三月份销售收入_________万元; (2)二月份男、女皮鞋的销售收入各是多少万元? 解:(1)由扇形统计图可知,第一季度的三个月销售收入占总收入的25%、30%、45%，所以一、二、三月份的销售收入分别为200×25%=50万元、200×30%=60万元、200×45%=90万元; (2)设二月份男、女皮鞋的销售收入分别为万元，万元， 根据题意，得 解得( 答:二月份男、女皮鞋的销售收入分别为35万元、25万元 10