三角学的发展历史

三角学的发展历史摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问并提出解决的方法。关键词：三角学发展史教育1．三角学的兴起1.1古希腊天文学中的三角学古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的详细，需要对天体的距离和角度十分熟悉。他们采用日晷仪指针。一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。如图1，表示杆的高度，表示它影子的长度，当太阳与地平线成角时，,然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。后来，这种简单的方法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里表示弧长，表示对应的弧长，如图2因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。已知单位圆的周长为,取的六十进制近似值为3；8,30，他算得近似到最接近整数的半径R的度数为：，则在该圆中任意角的度数（其对应的圆弧长除以圆的半径等于它对应的弧长的度数。为了制作弦表，希帕霍斯从角所对应的弦长等于半径值，即。而角所对应的弦长。为了计算其他角度的对弦，他利用两个几何结果，如图3，因为，而且角所对的弦与其正弦之间有下述关系：所以(1)的结果就相当于其次，希帕霍斯利用一种半角算出了,得出半角公式的过程如下：假设角被OD平分。如图3为了用来表达,在AC上选一点E，使得AE=AB.那么与全等，从而,而。如果从D作EC的垂线DF，则有.但由于与DCF相似，因而,因此,将上式用现代符号表示即得:,如果用代替得：，这便是标准的半角公式。希帕霍斯在运算过程中得到的三角学公式不仅是以上两个，还包括，这些三角形角与边之间关系公式都是用纯粹的几何学知识推导而得。用这样的方法算出来的弦表虽然所含元素数量有限，但足以使希帕霍斯在求三角形问题上取得一定进展，并利用他们完成天体模型。以上的，，这三个公式是高中数学课程标准所要求的内容，多数教师没有对公示的推导进行展示，仅仅只是教学生记忆公式，如果按照公式的推导进行讲解，学生会更加容易记住公式，为学生减负。希腊天文学家、数学家克劳蒂乌斯.托勒密，长期居住在亚历山大，并在那里进行大量的天文观测。托勒密最享盛名的着作是《大成》，中对希腊人的宇宙模型给出了完整的数学描述，包括有太阳、月亮和行星的各种运动参数。给出了计算行星位置所必需的相关平面三角学与球面三角学的数学知识。托勒密创造出比希帕霍斯弦表更完整的弦表，托勒密列出从到，且以为间隔的弦表，并且找出了能在两个值之间的插值方法，同时考虑到原来的在计算中很不方便，他采用了。这是六十进制中的单位值。托勒密弦表的计算大体可以分为三部分，首先他根据欧几里得《原本》中的定理计算出一些基本弦值；其次根据前人的三角学公式的方法，如希帕霍斯的半角公式计算出一部分弦值；最后，他证明了一个新定理并根据从中推出来的和角与差角公式完成了他的弦表。首先托勒密计算了的对弦，即圆内接十边行的边长，如图4AC是以D为圆心的圆的直径，BD垂直于ADC，E平分DC，取点F使得EF=EB.根据《原本》得，所以，从而D以黄金分割比分割CF，又根据《原本》，若将同一个圆的内接正六边形和正十边行的边排成一直线，则其交接点分割这条直线段成黄金分割比。因为半径CD与圆的内接正六边形的边长相等，因此托勒密证明了DF是正十边行的边长，也就是；且再根据《原本》，正五边行的边长的平方等于正十边行的边长的平方与正六边形的边长的平方之和，又因为因此由于存在公式,因而对于任何一个已知其对弦值的角度，托勒密也能算出其补角的对弦值。接下来的弦表制作过程中除了借鉴希帕霍斯的三角学公式外，托勒密还运用了“托勒密定理”。定理的内容是：给定一个圆内接四边形，对角线的乘积等于两对边乘积之和。如图5.应用三角形相似和等式的变换，易得出定理对的证明，为了推导两条弧长之差对弦公式，托勒密在上述定理中令,将定理的结论应用于四边形ABCD有：由于则（1）式变为又由于公式crd与则（2）式变为.令，即得到差角正弦公式：类似可以证明和角余弦公式：弦表方便与三角计算，推动三角学的发展。托勒密定理是几何学上伟大的定理，在此为几何学和三角学搭建了桥梁，差角正弦公式、和角余弦公式并不是简单的公式而已，它是三角学发展的产物。托勒密定理在高中数学课程标准中是不做要求的，但是差角正弦公式和和角余弦公式均是在托勒密定理的基础上推导出来的，所以应该向学生介绍托勒密定理，以便于讲解差角正弦公式和和角余弦公式。2.三角学的发展与改进如同希腊和印度三角学的发展情形一样，阿拉伯地区也是紧密与天文学联接在一起，三角学的内容总存在于天文学着作的某个章节中。而且阿拉伯地区的数学家十分热衷于解球面三角形，因为伊斯兰法律要求穆斯林在祈祷时必须面向麦加的方向。这就需要在地球这个球面上解三角形，并且平面和球面三角形的解对于确定祷告者的正确时刻也十分重要。比鲁尼曾到印度考察，整理和总结了这个国家的科学成就，特别是数学方面的成果，并分别研究过平面三角学和球面三角学。比鲁尼在他的《测影通论》中对正、余切和正、余割函数进行讨论。正影子（余切）的一个例子是：设A为太阳，BG为垂直于EG的日晷指针，EG平行水平面，而ABE为通过顶头的日光光线，EG就是那个被称作正影子的线段，他的基点为G而尾端为E。连接影子与指针顶端的直线EB是这个影子的斜边（余割）。比鲁尼说明了三角函数之间的各种关系。他指出“指针与斜边之比同于高的正弦与正弦之比。”比鲁尼说的“总正弦”是指弧的正弦即取的那个圆的半径，那么此公式可以翻译成（这里表示指针的长度），或者表示为(1)比鲁尼进一步指出，“如果我们已知在某时刻的影子，而想要求在那个时刻的太阳高度，我们将影长的等量又将指针乘以它的等量并取和（的平方根），他就是余割。然后以它去除指针长和总弦的乘积，便得到高度的正弦。再由正弦表查出它对应的弧，就得到了在影子的那个时刻太阳的高度。”比鲁尼用了以下关系式：这个公式与前面的公式（1）确定了以特定半径值R的正弦函数，然后参照正弦表从逆向定出，类似的比鲁尼给出了等价于以下两个公式的规则：并且比鲁尼还制作了一张正切和余切表，在表中它使用了关系。3.文艺复兴以后三角学的完善和深化文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，迎接一个新时代的到来，各方面科学文化都取得了突破性进展，三角学也随之发展成相当成熟的科目。法国数学家韦达首先在平面三角和球面三角中使用了6个三角函数，他的第一本三角学着作是《应用三角形的数学定理》，是较系统论述平面和球面三角学的专着之一，其中第一部列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔，书中给出精确到5位和10位小数的三角函数表，还整理了了解平面直角和斜三角行的公式，还附有与三角值有关的乘法表、商表等。第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式。除总结前人的成果外，还补充了自己发现的新公式。如正切定律、和差化积公式等等。他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值。1951年韦达得到多倍角关系式，对球面三角形，韦达介绍了一套完整公式及其记忆方法，他还提出涉及球面钝角三角形的余弦定律：以及他首次发现的正切定理：由于韦达等人的工作，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个分支，并获得独立的发展。这门科学在天文、航海、测量等方面发挥了越来越大的作用。3.2三角学的分析化哥白尼提出的地动学说后，他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数以为刻不容缓的事，于是令半径等于，做出每隔的正弦、正切及正割表。这项工作全靠手算，花了12年的时间，知道雷蒂库斯死后才由其弟子奥托于1596年完成刊行于世。1613年皮蒂楚斯加以修订，从新出版。至此为止，三角数表已精密的算出，但他的效用和必要性知道对数的发现之后才完全显露出来。17世纪，数学从运动的研究中引出了一个基本概念，在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，三角函数变得越来越系统化，牛顿和莱布尼茨给出了三角函数的级数展开式。约翰.伯努利等人在和差公式的基础上推导了解析三角的一般恒等式。欧拉的《无穷小分析引论》是一部划时代的着作，即使仅就三角学来说也是这样。欧拉在他的着作中把三角学解析的叙述，并从不多的几个基本公式推导出全部三角公式。欧拉提出的三角函数是对应的函数线与圆半径的比值，这种数学思想是他的重要功绩之一。他还令圆的半径等于1，并引入弧度制，从而使三角公式的计算大为简化。他认为如果半径是一个单位，那么半圆周的长就是，所对圆心角的正弦是0，即。同样圆周的长是；所对圆心角的正弦值等于1，计作。欧拉指出：展开式它使三角学从静态的只是研究三角形的狭隘天地中解放出来，可以去描述现实世界中一切能用三角函数反映的运动或变化，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析学的分支，欧拉在1748-1749年推广了“棣莫弗定理”n是实数。19世纪的法国数学家傅里叶发现相当广阔的一类函数都可以展开为三角级数：这一发现，使得三角函数成为表示一般函数的基础。此后的傅里叶积分，傅里叶变换，调和分析等学科相继发展起来。现代数学中，傅里叶分析的价值越发凸现。4.三角学的教育4.三角已成为中学数学教学的重要组成部分，是一门基础性学科，与其他知识的联系非常紧密，应用及其广泛，因此三角学具有十分重要的教学意义。了解三角学的教学内容，以及教学中存在的问题十分必要，进而才能够从问题的出发点找到更有效的教学方法，更完善的教学思路。三角函数相关知识其中包括三角函数的性质和图像，三角函数式的恒等变换和角三角行等等，这些构成了现代中学三角学的主要内容。三角学知识，主要以三角函数形式表示，是我国现行高中数学的重点，也是继续学习的必备基础。在历年中，解答题的三角题要么独立成题，要么与其他知识（如向量、不等式、数列等内容）综合，且主要考察三角知识，作为一名教师，掌握一定教学教学技能并做好三角学知识的教学工作极其重要。4.2三角学教学内容与存在的问题根据课程标准要求，高中知识从三角比定义扩展开始，导出大量的三角恒等变化公式，公式多，记忆强度大，变形灵活。这一部分知识很少有实际背景支持，完全在抽象的数学符号层面展开。而且三角比恒等变换只是为后续的三角函数、微积分做准备，一时无法领略它的重要作用，所以许多学生感到枯燥，难以理解，缺乏学习动力。学生记不住公式的原因归咎为以下几点：首先是学生不注重公式推导，一味的硬记公式。公式读起来不顺口，看上去冷冰冰，一串符号而已，感觉就是枯燥，不生动，很难激起学生的兴趣。其次是学生缺乏一定量的习题训练。公式的记忆只有在做题的讨论过程中才能得到巩固，而有些学生因为公式不熟悉而惧怕做题，反过来题目做的少就更加不熟悉公式。结语：从三角学的兴起——三角学的发展与改进——三角学完善和深化——现行三角学的教育，这条路线是作为一名未来的中学数学教师应该清楚、明白的路线，为今后的教学工作做准备。参考文献：[1]李文林.数学史概论（第三版）.高等教育出版社.2011.2[2]萧文强.数学史与数学教育：个人的经验和看法[J].数学传播（台湾）.1992.56[3]教育部.数学课程标准.人民教育出版社.2011[4]孙宏安.三角学的历史.中学数学教学参考.2002[5]教材.数学史教程.高等教育出版社.施普林格出版社.2000.29