全等三角形经典模型总结

.PAGE/NUMPAGES全等三角形相关模型总结一、角平分线模型<一角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是cm.2、如图,已知,∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图,在四边形ABCD中,BC＞AB,AD＝CD,BD平分∠ABC,求证：∠A＋∠C＝180°.〔二角平分线＋垂线,等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF∥射线OB例1、如图,在△ABC中,∠ABC＝3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于F.求证：.例2、如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB＝AD,作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：.〔三角分线,分两边,对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使OB＝OA,从而使△OAC≌△OBC.A、例题1、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB＋PC与AB＋AC的大小,并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P是线段AD上任意一点〔不与A重合.求证：AB－AC＞PB－PC.2、如图,△ABC中,AB＝AC,∠A＝100°,∠B的平分线交AC于D,求证：AD＋BD＝BC.3、如图,△ABC中,BC＝AC,∠C＝90°,∠A的平分线交BC于D,求证：AC＋CD＝AB.二、等腰直角三角形模型〔一旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：〔1将△ABD逆时针旋转90°,得△ACM≌△ABD,从而推出△ADM为等腰直角三角形.〔2辅助线作法：过点C作MC⊥BC,使CM＝BD,连结AM.〔二旋转中心为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.〔1使BF＝AE〔或AF＝CE,导出△BDF≌△ADE.〔2使∠EDF＋∠BAC＝180°,导出△BDF≌△ADE.A、例题1、如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC＝90°,点M、N在斜边BC上滑动,且∠MAN＝45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC.试判断△EMC的形状,并证明你的结论.B、模型巩固1、已知,如图所示,Rt△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN＝CM.〔1试判断△OMN的形状,并证明你的结论.〔2当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中,BE＝3,EF＝5,DF＝4,求∠BAE＋∠DCF为多少度.〔三构造等腰直角三角形〔1利用以上〔一和〔二都可以构造等腰直角三角形〔略；〔2利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.〔四将等腰直角三角形补全为正方形,如下图：A、例题应用1、如图,在等腰直角△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB＝PC,AP＝AC,求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型〔弦图模型A、例题已知：如图所示,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,D为AC中点,AF⊥BD于点E,交BC于F,连接DF.求证：∠ADB＝∠CDF.变式1、已知：如图所示,在△ABC中,AB＝AC,AM＝CN,AF⊥BM于E,交BC于F,连接NF.求证：〔1∠AMB＝∠CNF；〔2BM＝AF＋FN.变式2、在变式1的基础上,其他条件不变,只是将BM和FN分别延长交于点P,求证：〔1PM＝PN；〔2PB＝PF＋AF.四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：〔1△ABF≌△AEC.〔2∠BOE＝∠BAE＝60°.〔3OA平分∠EOF.〔四点共圆证拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：〔1AD＝BE；〔2∠ACB＝∠AOB；〔3△PCQ为等边三角形；〔4PQ∥AE；〔5AP＝BQ；〔6CO平分∠AOE；〔四点共圆证〔7OA＝OB＋OC；〔8OE＝OC＋OD.〔〔7,〔8需构造等边三角形证明例、如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN．〔1求证：△AMB≌△ENB；〔2若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；〔3小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便：如图②,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：〔1BE＝CD；〔2BE⊥CD.3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论：〔1BD＝CF；〔2BD⊥CF.变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,AS⊥BC交FD于T,求证：〔1T为FD中点；〔2.变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,T为FD中点,TA交BC于S,求证：AS⊥BC.4、如图,以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时,总有：五、半角模型条件：两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF,注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：〔1MN＝BM＋DN；〔2；〔3AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.2、翻折〔对称辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.A、例题例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN＝BM＋DN,求证：〔1∠MAN＝45°；〔2；〔3AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.变式：在正方形ABCD中,已知∠MAN＝45°,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,AH⊥MN,垂足为H,〔1试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；〔2求证：AB＝AH例2、在四边形ABCD中,∠B＋∠D＝180°,AB＝AD,若E、F分别为边BC、CD上的点,且满足EF＝BE＋DF,求证：.变式：在四边形ABCD中,∠B＝90°,∠D＝90°,AB＝AD,若E、F分别为边BC、CD上的点,且,求证：EF＝BE＋DF.