高一数学：集合的含义及表示

佛山学习前线教育中心 升高一数学（新课）班讲义（67期） 第一讲 集合的含义及表示 目标导航 1、 理解集合的含义。                    2、掌握集合的表示方法。 3、能判断元素与集合的关系。        4、理解集合中元素的特征 探索新知 探究以下实例： （1）1—20以内的所有质数；          （2）我国古代的四大发明； （3）所有的正方形；                  （4）方程的所有实数根； 思考：这4个实例的共同特征是什么？ 新知一：集合的含义 1、集合的含义：指定的某些对象的全体就构成一个集合。 2、集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合一般用大写字母表示，如集合,…等，元素一般用小写字母表示。如…等。 3、元素与集合的关系： （1）属于：如果是集合的元素，就说属于，记作            （2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作        常用数集及其记法： 实数集    正实数集      有理数集；整数集        ； 自然数集      ；  正整数集。 经典精讲（一） 【例1】下列研究的对象能否构成集合？ （1）世界上最高的山峰；                  （2）我国的小河流； （3）中国国旗的颜色；                    （4）著名的数学家； （5）立方等于本身的实数；              （6）不等式的正整数解。 温馨 提示 变式1、下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数                        B．高中数学的所有难 C．被3除余2的所有整数                    D．函数图象上所有的点 【例2】由三个实数构成一个集合，若是集合中元素，求实数的值。 变式2、由三个实数构成一个集合，求实数的取值范围。 新知二：集合的表示法 1、 列举法：将集合的元素一一列举出来，并写在大括号内。 2、 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。 经典精讲（二） 【例3】用列举法表示下列集合 （1）不大于10的非负偶数：                                        （2）我国古代的四大发明：                                          （3）方程组的解集：                          【例4】用描述法表示下列集合 （1）：                  （2）大于3的全体偶数构成的集合：                    （3）由所确定的点组成的集合：                         变式3：用列举法表示下列集合 （1）；（2）；（3）。 温馨提示 变式4、用描述法表示下列集合 （1）偶数集； （2）； （3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合。 温馨提示 魅力加油站 1、已知集合，，求实数的值。 2、若集合， ，则中元素的个数为（    ） A．              B．            C．                  D． 高手过招 【例1】三个元素的集合，，，也可表示为，，，求的值。 【例2】已知，试用列举法表示集合A。 练习、已知集合，若中的元素最多只有一个，求的取值范围。 今天的收获 自我提升 1、下列研究的对象能构成集合的是（    ） A．本班个子高的同学                        B．约等于2的数 C．所有的数学难题                          D．中国的直辖市 2、给出下列命题    ①中最小的元素是1；②若，则；③若，，则的最小值是；  其中正确的命题个数是（    ） A．                B．                C．                D． 3、给出下列关系：①；②；③；④。其中正确的个数是（    ） A． 1              B． 2                C． 3                D． 4 4、用或填空 （1）                    （2）      （3）                    （4）      5、说出下列集合的元素 （1）小于12的质数构成的集合；                  （2）平方等于本身的数组成的集合；          （3）由所确定的实数的集合；              （4）抛物线（为小于的自然数）上的点组成的集合。                  6、试选择适当的方法表示下列集合： （1）一次函数与的图象的交点组成的集合； （2）二次函数的函数值组成的集合。 7、已知集合，，已知且，求实数的值。 升高一数学（新课）讲义第一讲参考答案（67期）  经典精讲一： 【例1】解：（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能；（5）能；（6）能 【点评】判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性。 变式1、B 【例2】解：当时，解得，而此时与集合中的元素具有互异性矛盾， 当时，解得或（舍去），∵时，符合题意， ∴。 【点评】要认清集合中元素的属性，特别要注意元素的无序性和互异性。 变式2、解：由集合的互异性可知：，得且且。 经典精讲二： 【例3】解：（1）； （2）；（3） 【例4】解：（1）；（2）｛大于3的全体偶数构成的集合｝； （3）。 【点评】用描述法表示集合的步骤为： ①在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， ②画一条竖线， ③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意对比（1）与（3）中的两个集合，一个是数集，一个是点集，有着本质上不同，时一定要细心。 变式3、解：（1）； （2）； （3） 变式4、解：（1）；（2）；（3） 加油站： 1、解：∵，∴或或， 当时，则，，符合题意； 当，即时，则，与集合中元素互异性矛盾， ∴不合题意； 当，即或，上面已讨论不合题意； 当时，则，符合题意； 综上可知：符合题意的或。 【点评】求解后一定要检验，关键是要兼顾集合中的元素具有互异性这一特征。 2、C 高手过招： 【例1】分析：三个元素的集合也可表示另外一种形式，说明这两个集合相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论。 解：依题意得，则，∴，则， 由集合中的元素具有互异性知，∴。 【点评】从特殊元素入手，灵活运用集合的三个特征． 【例2】解：当时，；        当时，； 当时，；        当时，； 当时，；            当时，； ∴。 【点评】对于含参数的集合问题通常运用分类讨论的思想。本题实际上是要求满足被整除的整数的值，若将题目改为，则集合。 练习、解：当时，，中的元素有一个，符合题意， 当，∴的取值范围是或。 自我提升： 1、D    2、A    3、C  【解析】①③④正确，②错。 4、（1）； （2）； （3）； （4） 5、解：（1）；（2）；（3）所确定的实数的集合；（4） 6、解：（1）； （2） 7、解：∵，∴，解得， 当时，，，，符合题意， 当时，，，与矛盾，∴，综上：