三角形的外心及性质[资料]三角形的外心及性质[资料]
三角形外心及性质
定义
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心(
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
三条中垂线共点证明
?l、m为中垂线
?AF=BF=FC
所以BC中垂线必过F
三角形外心的性质
设?ABC的外接圆为?G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2(
性质1:(1)锐角三角形的外心在三角形内;
(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;
(3)钝角三角形的外心在三角形外.
性质2:...
三角形的外心及性质[资料]
三角形外心及性质
定义
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心(
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
三条中垂线共点证明
?l、m为中垂线
?AF=BF=FC
所以BC中垂线必过F
三角形外心的性质
设?ABC的外接圆为?G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2(
性质1:(1)锐角三角形的外心在三角形内;
(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;
(3)钝角三角形的外心在三角形外.
性质2:?BGC=2?A,(或?BGC=2(180?-?A).
性质3:?GAC+?B=90?
证明:如图所示延长AG与圆交与P
?A、C、B、P四点共圆
??P=?B
??P+?GAC=90?
??GAC+?B=90?
性质4:点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是?ABC外心的充要条件是:
(1)向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)
向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5:三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6:点G是平面ABC上一点,那么点G是?ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)?向量AB= (向量GB+向量GC)?向量BC=(向量GC+向量GA)?向量CA=0.
三角形外心的做法
分别作三角形两边的中垂线交点计作O
以O为圆心OA为半径画圆
圆O即为所求
外心的求法
、b、c,?A、?B、?C 设三角形三边及其对角分别为a
正弦定理有r=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)
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