【doc】非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度

【doc】非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度 非理想机构自由度计算理论与方法——广 义自由度 第24卷第11期 2007年11月 机械设计 JOURNALOFMACHINEDESIGN Vo1.24 NOV. No.11 2007 非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度 王艾伦,张友林 (中南大学机电工程学院,湖南长沙410083) 摘要:从对偶或二元性这一自然哲学中最基本而普遍的概念出发,在能量传递分析和信号因果分析的基础上,提出 机构自由度可分为运动传递自由度和力传递自由度,这两者不一定相等.在进一步分析构件和运动副的非理想性的基 础上,提出了考虑机构惯性力,弹性变形,摩擦力等因素的非理想机构自由度的概念与计算方法——非理想机构的广义 自由度,现有的理想机构自由度计算方法(计算结果一定是整数,无二元性)是其特殊情况.在这一新的计算方法中,机 械学中的3个基本而经典的概念:传动比,传动效率和自由度W得到了统一,它们是3个相互关联的概念最后定性 和定量分析了几个典型非理想机构的广义自由度. 关键词:对偶性;广义自由度;因果关系;非理想因素 中图分类号:TP24文献标识码:A文章编号:1001—2354(2007)11—0011—06 机构自由度是机构学中的,个重要而基本的概念,也是进 行机构研究时首先要解决的关键问题,机构自由度的计算一直 沿用经典的Rauleaux—Kutzback—Grtibler公式.,如:平面机构 自由度的Rauleaux—Grabler公式: = 3n一(2p2+P1) 空间机构自由度的Kutzback公式: !=6n一(5p5+4p4+3+2p2+P1) 式中:n——活动构件数目; p——约束数目. 100多年来,有许多学者对其进行了大量研究,,并进行 了许多修改和补充,但自由度计算公式的基本格局未变,即假 定各构件是理想的(无质量刚杆),运动副是理想的(无摩擦), 自由度为:机构各理想构件自由度之和减去各理想运动副引入 的约束数之和等于理想机构的自由度,这个结果一定是整数. 但随着对机构自由度和机构结构研究的日益精密和深入,以及 许多广义和特殊机构的产生,由以上理想机构自由度计算方法 得出的机构自由度已不能满足要求,表明了这个公式和方法在 理论上的不完备性,比如下列简单机构即难以用现有的自由度 公式计算出自由度. (1)考虑构件弹性变形或含有弹性储能构件机构的自由 度,如图1,图10所示;可调机构自由度,如图2所示. ,2 j// 舫 图1弹性变形机构图2可调机构 (2)含大摩擦运动副的运动不可逆机构,如契形机构,螺纹 机构,蜗轮蜗杆机构(如图11),它们在一个方向工作时,运动自 由度为1,而在另一个方向工作时可能发生自锁,自由度为0. (3)含有奇异运动位置的机构.比如机构的死点位置:由 于考虑运动副的摩擦,当运动通过该位置时,机构不能运动,说 明自由度为0,而进,步考虑各构件惯性(储存的动能)时,机构 能顺利通过该位置,自由度不为0,说明了自由度也与构件的惯 性有关. (4)正常工作时总伴有拉近弹性滑动且靠摩擦力工作的机 构.如带传动,摩擦轮传动,其精确的运动自由度显然不为整 数. (5)在某些情况下,机构的运动自由度与其原动件数目不 同,如图13所示的机构及汽车后桥差速机构等. (6)各种广义机构,尤其是多能域广义机构(如机,电,液, 气耦合机构)的自由度计算等. 因此,要消除以上经典自由度计算公式遇到的各种逻辑悖 论,必须解除理想构件(无质量,无弹性变形),理想运动副(无 摩擦)等假设,将摩擦力,惯性力,弹性变形力等在一个统一的 理论框架内加以考虑,从而实现对经典或理想机构自由度计算 公式(理论,方法)的全面拓展. 1理想机构自由度的' 对偶(Duality)拓展 机构自由度的一般定义是:机构中各构件相对于机架所具 有的独立运动数目.由一般经典着作和教科书对该定义的解 释可知,这个定义只具有运动学(或几何学)意义,也即:原动 件,即独立运动源驱动从动件时,通过速度传动比i传递的仅仅 是运动(几何位置的变化)而已,与机构在工作时的力学因素无 关. 下面将这,经典自由度计算公式和定义进行拓展,并主要 针对单自由度机构进行讨论. 下面的讨论中,会涉及到很多诸如因果关系,能量流,广义 力和广义速度等概念,而功率键合图(Bondgraph)正是研究,分 析这些概念的有力工具,因此,为了讨论方便,将会不可避 免地用到这一方法. 可将任何一个单自由度理想机构或传动视为一个能量转 换器,可用键合图表示如下: 收稿日期:2007,Ol一17;修订日期:2007—06一o6 基金项目:国家自然科学基金资助项目(50475139) 作者简介:王艾伦(1959一),男,湖南长沙人,教授,研究方向:机械学和机电系统动力 学,发表3O余篇,专着2本. 12机械设计第24卷第11期 ??? (a)(b) 圈3理想单自由度机构键合圈 图3中,e(effort)为广义力或势(力,力矩,压强,电压 …… ),f(flow)为广义速度或流(速度,角速度,流量,电流 …… ),i为转换比或称传动比.它可以是定常的,如圆柱齿轮 传动,也可以是非定常的,如一般四杆机构.下标1,2分别表 示能量的输入,输出,半箭头表示能量流的方向,与半箭头垂直 的竖线为"因果线",TF转换器仅有两种因果选择,如图3a和 图3b所示.这表明,机构在工作时,其一端输入速度源,另一 端则可输入力源;反之,其一端输入力源,另一端则可输入速度 源.它既传递广义速度如一般自由度所描述的那样,也传递 广义力e,它们的传递关系,或传动比为: is==ie1=亡,且e=e 表明能量守恒,其中,,i一般由几何尺寸确定. 所谓运动传递自由度为1,即是说输出构件的运动规律 (t)通过单个传动比而唯一决定于输入构件运动规律 . (t);同理,输出力规律e:(t)通过单个传动比i而完全取决于 输入力规律e.(t).因此,对机构自由度的描述应具有对偶性或 二元性(Duality),即任何对机构自由度的定义,描述和分析都 既应具有运动学含义,也应具有力学的含义,认识这一点对解 决上述一般自由度公式遇到的各种逻辑悖论是非常必要的,因 此,可认为对任何机构自由度的描述实际上都有两种:一种是 运动学描述,称为速度传递自由度;一种是力学描述,称为力传 递自由度.且这两者不一定相等. 2非理想构件及非理想 运动副的描述 在机电液系统动力学中,由键合图理论可知,一般可将能 量元件分为广义惯性元件,,广义容性元件C,广义耗能元件. 前两类为储能元件,不损耗能量,第三类为耗能元件. 在储能元件上,有广义动量和广义位移: P= =t 且有关系: e=g(g),f=^(p) 特别是对于线性系统,有: e=q/C,f:p,| 在机械力学中,前者为胡克定律,后者即为动量定理.因 为,理想构件和理想运动副的一个基本特征为:它既不储存和 释放能量,也不消耗能量,所以,打破构件和运动副的理想假设 就是考虑它们的能量特性. 2.1无质量弹性变形构件C C称为元件的容性或柔度,不同能域有不用的物理意义, 如:电容,液容,柔度(刚度的倒数1/k)等,它又可进一步分成两 种类型: 运动约束型,如图4所示. ,, 一e.P2 —C—^ ,. (a)物理模型(b)键合图模型 圈4无质量弹性变形构件描述 考虑因果性和归一性,该类构件的非理想程度可描述为: ::: 孚(1)-了『_7『【J =l一=争(2) 其中=e:,=Cb为构件的变形速度,;:,z:1, 2,…,为机构中非理想构件或运动副的数目. 力约束型,如图5所示. ce 1,? 手 (a)键合图模型(b)键合图模型 圈5无质量弹性变形构件描述 同理,构件的非理想程度可描述为: :== ? 叶f=l一f=l一堑 Cei (4) 其中:e.,e:为机构的输入,输出广义力,e:鱼C为变形构 件上的广义变形抗力,i:1,2. 2.2含质量刚体, ,称为元件的惯量,不同领域具有不同的意义,如电感,液 感,质量等,也分为两种类型. 力约束型: 鳝 (a)物理模型(b)键合图模型 圈6含质量刚体描述 同理,考虑因果性和归一性,可描述构件的非理想程度为: . eI—e2Ae/f?『_ :-一等=詈 其中:Ae:/f为构件的惯性力:df/dt,:. 速度约束型: ?}l}2 (5) (6) (a)键合图模型(b)键合图模型 圈7含质量刚体描述 ::: 2007年11月王艾伦,等:非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度13 一一一?一一一() 其中为机构输出构件或输入构件上的广义速度为 构件上的速度增量=,i=1,2. 上述储能元件非理想分析讨论中,西表示构件的非理想度, 或者速度/或力e的传递失真度;77表示理想构件隶属度,或者 广义速度/,广义力e的传递有效度.当西>0,77<1时,构件储 存能量,体现为约束;当西<0,77>1,构件释放能量,类似为原 动机,体现为补充自由度.显然对于理想构件.恒有西=0,77= 1. 2.3含摩擦的非理想运动副(耗能元件R) 运动副的非理想性一般由摩擦产生,从对偶的角度考虑, 有摩擦阻力型(e损失)和摩擦泄漏型(_厂损失),可用键合图表 示,如图8b和图9b.由键合图理论可知,图8b和图9b两图都具 有3种因果选择,图中只列其一. 含摩擦运动副的非理想性可描述如下: 摩擦阻力型运动副(一般转动副和移动副): 一/I, (a)物理模型(b)键合图模型 圈8摩擦阻力型 咖:1一(9) 叩,:一咖,:_e21(1O)叩一咖ef一( 摩擦泄漏型运动副(带传动,摩擦传动中的滑动,油缸,油 泵中的泄漏等): (a)物理模型(b)键合图 圈9摩擦泄漏型 = 一(11) = 1一f=等(12) 显然,77即为运动副的机械效率,它表征了运动副的理想程 度或自由程度.西即为损失率,表征了运动副的非理想程度或约 束程度,且不同于储能元件,耗能元件总有: 0<西<1,0<"<1 显然对理想运动副总有: "=1,西=0. 3考虑非理想因素的机构自由度 计算——广义自由度 在经典自由度计算方法中,构件无质量,无弹性变形,运动 副无摩擦,机构不具有储能,耗能特性,这是产生整数自由度的 基本原因,该方法已不能解决诸多实际机构(如前所述的问题 1,6)的自由度汁算问题.在前面对自由度的对偶描述和非理 想构件,非理想运动副描述的基础上,提出以下方法,以解决这 一 问题. 如图3键合图所示,单自由度理想机构可视为一能量转换 器,分别实现对广义速度/和广义力e的转换,设e和e:分 别为输入和输出构件上的广义力和广义速度,对于图3a所示因 果关系: ,2=,(13) el=e2/i(14) 对于图3b所示因果关系: e2:ieel(15) = ,2/fr(16) 对于理想机构,i,,完全由机构的几何尺寸决定,且: e=e,=1,这是能量守恒的必然结果.当构件为非理想 时,由于能量元件组成的多样性,上述因果关系的二元性已不 存在,且e?e,其转换比也必发生变化,机构运行偏离了原 有的理想情况.其传动关系可由下式表达: ,2f17) ,1: .2. f181 C2eI /,e表示输入恒定,输出发生变化:.e;表示输出恒定, 输入发生变化,两者结果是一样的. 显然一般情况下: i?i,?/j,且?1 前述机构自由度定义为:机构中各构件相对于机架所具有 的独立运动数目,所谓独立运动是指:从动件运动规律通过"从 动件一主动件运动转换关系",即传动比i,而完全取决于主动 件运动规律.这种转换关系可表达为式(13),式(16),当机构 为非理想时,i变为i,这种独立性发生了变化.即i不再仅仅由 几何尺寸决定,可能还与能量因素,,C,R有关,转换关系式为式 (17)和式(18). 由以上分析,再考虑到理想机构自由度的整数性,可定义 单自由度非理想机构的广义自由度为(定义一): 力传递自由度: :/i(19) 速度传递自由度: "=(20) 因为力和速度的瞬时传递效率分别为: =e2/e2(21) 或:叩=el/el(21') 以及:=(22) 或:叩,=(22') 由式(19),式(20),式(21),式(22)可得下述关系: :三:—e—2:—e.1:叩:1.叩:o叩(23We)一 e2 叩e'仉.叩 wf=善==且:=1?=.(24'flwf一..L 式中:o,ro——对应的理想机构自由度,o=ro:1. 式(23)和式(24)表明,对于单自由度情形,机构广义自由 度,即等于机构的瞬时传递效率乘以理想机构自由度. ? 上0 14机械设计第24卷第11期 又因为: Wr=W0r0仉(25) 所以,机构的瞬时传动效率为: ,7=叶=}=J…/We0WfoLe (26)叼=仉=一=e叶=_? 即机构的传递效率叼可直接由机构的非理想传递比i,,得 出. 上述讨论中,当不考虑机构的储能特性(弹性变形,质量), 仅考虑摩擦时,总有: i<i,仉?1 <,?1 ,7=仉'=ie?1 显然由式(26)可知,传动效率叼,传动比i及广义自由度 是相互关联的. 也可直接定义非理想机构的广义自由度为(定义二): =w0一?(27) =0一?(28) ?,?,即是各种非理想因素的总括. 上述两种非理想机构的广义描述和定义可相互转换: 由式(23)和式(24)得: We= 告=~eWeo=e2=-】一垒e2=Weo一一…一 或::一eI::1W一掣:W0一?域:t?——一一?一? eIc1l 同理:w/=w/0一Aw/ 其中,?e,与能量因素,,C,R有关. 实际计算中,式(27)和式(28)非常清楚地表明了理想机 构的经典(整数)自由度W.和非理想机构的广义自由度W(或 ,)之间的关系. 式(27),式(28)可由一般力学理论,键合图理论等得出, 也可直接由非理想构件的描述式(1)一式(10)得出,即: 由于1w=we0,7.,叶=wfo~f 记:tb=1一,7,tb,=1,,7, 所以:=w0(1一tb.),叶=叶0(1一) 机构中的诸非理想元素(非理想构件,非理想运动副)可能 以串联,并联,混联的形式出现,比如,设以串联形式存在,则: =0仉=We0n,7=We0兀(1一咖):We0一Aw(27')l:ll:l 同理:=w/o兀(1一咖,f)=w/o一?叶(28') 显然,以上各式中,当i>i(即叼>1,Aw<0),> 0(即叼r>1,?<0)时,由前述非理想构件描述可知,机构工 作处于能量释放阶段,各能量元件整体上相当于原动件,加大 机构自由度;反之,机构工作处于能量储存阶段,能量元件整体 上相当于阻抗或约束,减少机构自由度. 4几个典型非理想机构广义自由度 算例分析 (1)对于图10所示机构,设1为输入构件,3为输出构件,忽 略运动副中摩擦和各构件质量,显然非理想构件5为力约束型 弹簧,它的引入不影响构件1,3的运动关系,即: ,:::1 00)3 4 图10含有弹性储能构件机构 但它改变了力矩的传递关系,即: 无构件5时,i= l 含构件5时,i= 】 ? ,r 故:==?l 式中:1,r】,3,'F3——构件1,3的角速度和转矩. (2)对于图11所示蜗轮传动机构,仅考虑该类机构运动副 中的摩擦,忽略质量和变形.显然,摩擦的引入不影响机构主从 动件之间的运动关系. 图ll蜗杆传动机构 因此运动传递自由度为: ,==1(29) Lf 但由于:睾(不考虑摩擦),ie:(考虑摩擦),故力传 递自由度为(蜗杆作主动件): We:: 导:|一(30)了|一 而在另一个传递方向有(蜗轮作主动件): :: (31)Tt an1, 各参数y,卢,T,F如图11所示. ?y为蜗杆螺旋升角,卢为涡轮螺旋角,对于正交式蜗杆传 动时y:J8. ?蜗轮主动时自锁与摩擦角咖有关,当<咖时机构自锁, 即W=0. 此例说明,自由度具有方向性,即对于非理想机构,原动件 选择不同,自由度不同. (3)依靠摩擦传递能量的机构. 图12摩擦轮传动机构 这类机构主要有带传动(机构),摩擦轮传动等,它们都存 在打滑,不能100%有效传递运动,其速度传递自由度显然为: ,r 式中:=:軎; 2007年11月王艾伦,等:非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度15 == 鲁(1; —— 滑动率,:二. 1)I 因此运动传递自由度为: ws::1一=(32) VI 而力传递自由度为: W=1 同理,对于摩擦轮机构: ws?e_1 以上分析讨论中..,:分别表示轮1,2边缘的线速度. (4)在某些情况下,机构的运动自由度与其原动件数目不 同,如图13所示. 图133轮理想机构 该机构运动自由度为1,但可以有2个原动件(力源)e,e,. 经典的机构自由度理论认为,为了保证机构具有确定的运动, 机构的自由度(实质上是速度自由度)应等于机构的原动件数 目,这一描述在"广义意义"上并不正确,比如:对图13所示理 想机构,(某些机器中的多轴驱动系统即是如此),设轮3为输 出,完全可以在轮1,2上各施加一个独立力源(即配置原动件 e(t),e:(t)),则输出e,=ie(t)+i2e:(t),这是因为该机构的 力传递自由度为2,而速度(即运动)传递自由度为1.而汽车后 桥差速机构则相反,其速度自由度为2,力传递自由度为1,它只 有一个原动件.这也说明,即使是对于理想机构而言,速度传递 自由度和力传递自由度也不一定相等. (5)精确计算如下曲柄滑块机构广义自由度. 曲柄滑块机构如图14所示,考虑滑块的质量,质量块与地 面的摩擦及弹簧的作用等非理想因素,利用广义自由度计算公 式计算如下: 图l4曲柄滑块机构 广义速度转换比为: if=J3 =r-等](33)一菰 理想机构广义力转换比为: i==_1(34) I r,l和如图14所示,其中,e,,e分别为构件3,1的广 义速度和外作用力. 以上3个非理想因素的弓l入并不影响机构主从动件之间的 运动关系,但改变了广义力(力矩)的传递关系,即: : 善:?1le3 记:Ae=e3一e3 因此有1we::1一垒: e1e1 .(35) .sgn(sin)..N+K'Ax+m. 勺 式中:?——机架对滑块的支持力; ?——弹簧的伸长量; m——滑块质量. 由平衡受力分析可知: ,. l'丁? =mg+—————=====-—一 洒?卜舌n+舌 /r2cOS2,_=_+ (36) 4_=7 =r+z—rCOs一, 60一 i 式中:n——电机输出转速. (37) (38) (39) 将以上公式代入广义力自由度计算公式(36),取r=50 cm,z=150cm,,z=30r/rain,进行仿真结果如下: (b) (C) 图l5曲柄滑块机构力传递自由度曲线图 16机械设计第24卷第11期 注意到式(35)实际上是式(27')的具体表达形式,其中, =,=,= mf ,2种方法得出同一结果. 因'7=,==,故以上3个图也是机构的瞬时传动 效率图. 由图15可知: ?自由度是周期变化的; ?自由度随,K,m变化而变化. 5补充和讨论 (1)前述分析结果仅为单自由度情况,但其结论式(19)一 式(20),式(23)一式(28)均可推广到多自由度机构,具体分析 将另文讨论. (2)机构结构学和运动学中的经典自由度表明,机构必须 配有几个独立运动源(即原动件,(t)),而广义自由度则多提示 出另外几个信息: ?其对偶(Duality)性可同时提供该机构应有几个独立力 源e(t)和独立流源.厂(t); ?其非整数性提供了原动机所应具有的力一速度特性信 息; ?机构在一个运行周期中竹,i,w的变化信息. (3)对于某些没有力负载的机构,如机构的非工作行程(即 回程),仪表(指示)机构,只有运动自由度,,力自由度w.没有 意义.相反,对于某些静力压紧机构,只有力传递自由度w,速 度传递自由度,没有意义,两者都属…0'功率机构. 6结论 (1)从对偶概念出发,提出任何机构都具有2种类型的自 由度,即运动传递自由度和力传递自由度,对于理想机构,它们 可能相等,也可能不相等,对于非理想机构而言,则必定不相 等. (2)提出了非理想构件和非理想运动副的描述和度量方 法,即叩.,咖.,叩,,咖,,,,它们分别考虑了惯性力,弹性变形 力和摩擦力对构件的影响,它们均是无量纲的和归一的,对于 任何理想构件,均有=1,=0. (3)在上述结论基础上,提出了非理想机构的广义自由度 计算方法与公式,现有的理想机构自由度公式仅是其特殊情 况. (4)由计算公式(26)可知,机械学中3个非常基本而经典 的概念:传动比,传动效率竹和自由度w在广义自由度计算方 法与公式中可以相互表达,它们是3个相互关联的概念. (5)在广义自由度概念下,机构运动自由度数目,与机构 原动件数目不一定相等. (6)以上讨论均采用广义概念,符号和方法(如键合图),故 文章结论,公式对于具有多能域特点的各种广义机构同样适 用. 参考文献 [1]机构学编写小组编.机构学[M].北京:第一机械工业部科学技 术情报研究所,1981. KennethJWaldron,GaryLKinze1.Kinematics.dynamicsandde- signofmachinery[J].HamiltonPrinting,JohnWiley&Sons,New York.1999:1—42. DanBMarghitu.MalsolmJCroker.Analyticalelementsofmecha— nism[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,2001. ByunYK,ChoHS.Analysisofanovel6-DOF,3-PPsPparallel manipulator[J].TheInternationalJournalofRoboticsResearch, 1997,16(6):859—872.. 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Finallythegeneralizeddegreesoffreedomofseveraltypicalnon??i?? dealmechanismswerequalitativelyandquantitativelyanalyzed. Keywords:duality;generalizeddegreeoffreedom;cause andeffectrelationship;non—idealfactors Fig15Tab0Ref11"JixieSheji"7051 ]]]]i]O1 _一