【doc】非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度
非理想机构自由度计算理论与方法——广
义自由度
第24卷第11期
2007年11月
机械
JOURNALOFMACHINEDESIGN
Vo1.24
NOV.
No.11
2007
非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度
王艾伦,张友林
(中南大学机电工程学院,湖南长沙410083)
摘要:从对偶或二元性这一自然哲学中最基本而普遍的概念出发,在能量传递
和信号因果分析的基础上,提出
机构自由度可分为运动传递自由度和力传递自由度,这两者不一定相等.在进一步分析构件和运动副的非理想性的基
础上,提出了考虑机构惯性力,弹性变形,摩擦力等因素的非理想机构自由度的概念与计算方法——非理想机构的广义
自由度,现有的理想机构自由度计算方法(计算结果一定是整数,无二元性)是其特殊情况.在这一新的计算方法中,机
械学中的3个基本而经典的概念:传动比,传动效率和自由度W得到了统一,它们是3个相互关联的概念最后定性
和定量分析了几个典型非理想机构的广义自由度.
关键词:对偶性;广义自由度;因果关系;非理想因素
中图分类号:TP24文献标识码:A文章编号:1001—2354(2007)11—0011—06 机构自由度是机构学中的,个重要而基本的概念,也是进
行机构研究时首先要解决的关键问
,机构自由度的计算一直 沿用经典的Rauleaux—Kutzback—Grtibler公式.,如:平面机构 自由度的Rauleaux—Grabler公式:
=
3n一(2p2+P1)
空间机构自由度的Kutzback公式:
!=6n一(5p5+4p4+3+2p2+P1) 式中:n——活动构件数目;
p——约束数目.
100多年来,有许多学者对其进行了大量研究,,并进行 了许多修改和补充,但自由度计算公式的基本格局未变,即假 定各构件是理想的(无质量刚杆),运动副是理想的(无摩擦), 自由度为:机构各理想构件自由度之和减去各理想运动副引入 的约束数之和等于理想机构的自由度,这个结果一定是整数. 但随着对机构自由度和机构结构研究的日益精密和深入,以及 许多广义和特殊机构的产生,由以上理想机构自由度计算方法 得出的机构自由度已不能满足要求,
明了这个公式和方法在 理论上的不完备性,比如下列简单机构即难以用现有的自由度 公式计算出自由度.
(1)考虑构件弹性变形或含有弹性储能构件机构的自由 度,如图1,图10所示;可调机构自由度,如图2所示. ,2
j//
舫
图1弹性变形机构图2可调机构
(2)含大摩擦运动副的运动不可逆机构,如契形机构,螺纹 机构,蜗轮蜗杆机构(如图11),它们在一个方向工作时,运动自 由度为1,而在另一个方向工作时可能发生自锁,自由度为0. (3)含有奇异运动位置的机构.比如机构的死点位置:由
于考虑运动副的摩擦,当运动通过该位置时,机构不能运动,说 明自由度为0,而进,步考虑各构件惯性(储存的动能)时,机构 能顺利通过该位置,自由度不为0,说明了自由度也与构件的惯 性有关.
(4)正常工作时总伴有拉近弹性滑动且靠摩擦力工作的机 构.如带传动,摩擦轮传动,其精确的运动自由度显然不为整 数.
(5)在某些情况下,机构的运动自由度与其原动件数目不 同,如图13所示的机构及汽车后桥差速机构等. (6)各种广义机构,尤其是多能域广义机构(如机,电,液, 气耦合机构)的自由度计算等.
因此,要消除以上经典自由度计算公式遇到的各种逻辑悖 论,必须解除理想构件(无质量,无弹性变形),理想运动副(无 摩擦)等假设,将摩擦力,惯性力,弹性变形力等在一个统一的 理论框架内加以考虑,从而实现对经典或理想机构自由度计算 公式(理论,方法)的全面拓展.
1理想机构自由度的'
对偶(Duality)拓展
机构自由度的一般定义是:机构中各构件相对于机架所具 有的独立运动数目.由一般经典着作和教科
对该定义的解 释可知,这个定义只具有运动学(或几何学)意义,也即:原动 件,即独立运动源驱动从动件时,通过速度传动比i传递的仅仅 是运动(几何位置的变化)而已,与机构在工作时的力学因素无 关.
下面将这,经典自由度计算公式和定义进行拓展,并主要 针对单自由度机构进行讨论.
下面的讨论中,会涉及到很多诸如因果关系,能量流,广义 力和广义速度等概念,而功率键合图(Bondgraph)正是研究,分 析这些概念的有力工具,因此,为了讨论方便,将会不可避
免地用到这一方法.
可将任何一个单自由度理想机构或传动视为一个能量转 换器,可用键合图表示如下:
收稿日期:2007,Ol一17;修订日期:2007—06一o6 基金项目:国家自然科学基金资助项目(50475139) 作者简介:王艾伦(1959一),男,湖南长沙人,教授,研究方向:机械学和机电系统动力
学,发表论文3O余篇,专着2本.
12机械设计第24卷第11期
???
(a)(b)
圈3理想单自由度机构键合圈
图3中,e(effort)为广义力或势(力,力矩,压强,电压 ……
),f(flow)为广义速度或流(速度,角速度,流量,电流 ……
),i为转换比或称传动比.它可以是定常的,如圆柱齿轮 传动,也可以是非定常的,如一般四杆机构.下标1,2分别表 示能量的输入,输出,半箭头表示能量流的方向,与半箭头垂直 的竖线为"因果线",TF转换器仅有两种因果选择,如图3a和 图3b所示.这表明,机构在工作时,其一端输入速度源,另一 端则可输入力源;反之,其一端输入力源,另一端则可输入速度 源.它既传递广义速度如一般自由度所描述的那样,也传递 广义力e,它们的传递关系,或传动比为:
is==ie1=亡,且e=e
表明能量守恒,其中,,i一般由几何尺寸确定.
所谓运动传递自由度为1,即是说输出构件的运动规律 (t)通过单个传动比而唯一决定于输入构件运动规律 .
(t);同理,输出力规律e:(t)通过单个传动比i而完全取决于 输入力规律e.(t).因此,对机构自由度的描述应具有对偶性或 二元性(Duality),即任何对机构自由度的定义,描述和分析都 既应具有运动学含义,也应具有力学的含义,认识这一点对解 决上述一般自由度公式遇到的各种逻辑悖论是非常必要的,因 此,可认为对任何机构自由度的描述实际上都有两种:一种是 运动学描述,称为速度传递自由度;一种是力学描述,称为力传 递自由度.且这两者不一定相等.
2非理想构件及非理想
运动副的描述
在机电液系统动力学中,由键合图理论可知,一般可将能 量元件分为广义惯性元件,,广义容性元件C,广义耗能元件. 前两类为储能元件,不损耗能量,第三类为耗能元件. 在储能元件上,有广义动量和广义位移:
P=
=t
且有关系:
e=g(g),f=^(p)
特别是对于线性系统,有:
e=q/C,f:p,|
在机械力学中,前者为胡克定律,后者即为动量定理.因 为,理想构件和理想运动副的一个基本特征为:它既不储存和 释放能量,也不消耗能量,所以,打破构件和运动副的理想假设 就是考虑它们的能量特性.
2.1无质量弹性变形构件C
C称为元件的容性或柔度,不同能域有不用的物理意义, 如:电容,液容,柔度(刚度的倒数1/k)等,它又可进一步分成两 种类型:
运动约束型,如图4所示.
,,
一e.P2
—C—^
,.
(a)物理模型(b)键合图模型
圈4无质量弹性变形构件描述
考虑因果性和归一性,该类构件的非理想程度可描述为:
:::
孚(1)-了『_7『【J
=l一=争(2)
其中=e:,=Cb为构件的变形速度,;:,z:1,
2,…,为机构中非理想构件或运动副的数目. 力约束型,如图5所示.
ce
1,?
手
(a)键合图模型(b)键合图模型
圈5无质量弹性变形构件描述
同理,构件的非理想程度可描述为: :==
?
叶f=l一f=l一堑
Cei
(4)
其中:e.,e:为机构的输入,输出广义力,e:鱼C为变形构
件上的广义变形抗力,i:1,2. 2.2含质量刚体,
,称为元件的惯量,不同领域具有不同的意义,如电感,液
感,质量等,也分为两种类型.
力约束型:
鳝
(a)物理模型(b)键合图模型
圈6含质量刚体描述
同理,考虑因果性和归一性,可描述构件的非理想程度为: .
eI—e2Ae/f?『_
:-一等=詈
其中:Ae:/f为构件的惯性力:df/dt,:.
速度约束型:
?}l}2
(5)
(6)
(a)键合图模型(b)键合图模型
圈7含质量刚体描述
:::
2007年11月王艾伦,等:非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度13
一一一?一一一()
其中为机构输出构件或输入构件上的广义速度为 构件上的速度增量=,i=1,2.
上述储能元件非理想分析讨论中,西表示构件的非理想度, 或者速度/或力e的传递失真度;77表示理想构件隶属度,或者 广义速度/,广义力e的传递有效度.当西>0,77<1时,构件储 存能量,体现为约束;当西<0,77>1,构件释放能量,类似为原 动机,体现为补充自由度.显然对于理想构件.恒有西=0,77= 1.
2.3含摩擦的非理想运动副(耗能元件R)
运动副的非理想性一般由摩擦产生,从对偶的角度考虑, 有摩擦阻力型(e损失)和摩擦泄漏型(_厂损失),可用键合图表
示,如图8b和图9b.由键合图理论可知,图8b和图9b两图都具 有3种因果选择,图中只列其一.
含摩擦运动副的非理想性可描述如下:
摩擦阻力型运动副(一般转动副和移动副):
一/I,
(a)物理模型(b)键合图模型
圈8摩擦阻力型
咖:1一(9)
叩,:一咖,:_e21(1O)叩一咖ef一(
摩擦泄漏型运动副(带传动,摩擦传动中的滑动,油缸,油 泵中的泄漏等):
(a)物理模型(b)键合图
圈9摩擦泄漏型
=
一(11)
=
1一f=等(12)
显然,77即为运动副的机械效率,它表征了运动副的理想程 度或自由程度.西即为损失率,表征了运动副的非理想程度或约 束程度,且不同于储能元件,耗能元件总有:
0<西<1,0<"<1 显然对理想运动副总有:
"=1,西=0.
3考虑非理想因素的机构自由度
计算——广义自由度
在经典自由度计算方法中,构件无质量,无弹性变形,运动 副无摩擦,机构不具有储能,耗能特性,这是产生整数自由度的 基本原因,该方法已不能解决诸多实际机构(如前所述的问题 1,6)的自由度汁算问题.在前面对自由度的对偶描述和非理
想构件,非理想运动副描述的基础上,提出以下方法,以解决这 一
问题.
如图3键合图所示,单自由度理想机构可视为一能量转换 器,分别实现对广义速度/和广义力e的转换,设e和e:分 别为输入和输出构件上的广义力和广义速度,对于图3a所示因 果关系:
,2=,(13)
el=e2/i(14)
对于图3b所示因果关系:
e2:ieel(15)
=
,2/fr(16)
对于理想机构,i,,完全由机构的几何尺寸决定,且: e=e,=1,这是能量守恒的必然结果.当构件为非理想 时,由于能量元件组成的多样性,上述因果关系的二元性已不 存在,且e?e,其转换比也必发生变化,机构运行偏离了原 有的理想情况.其传动关系可由下式表达:
,2f17)
,1:
.2.
f181
C2eI
/,e表示输入恒定,输出发生变化:.e;表示输出恒定, 输入发生变化,两者结果是一样的.
显然一般情况下:
i?i,?/j,且?1
前述机构自由度定义为:机构中各构件相对于机架所具有 的独立运动数目,所谓独立运动是指:从动件运动规律通过"从
动件一主动件运动转换关系",即传动比i,而完全取决于主动 件运动规律.这种转换关系可表达为式(13),式(16),当机构 为非理想时,i变为i,这种独立性发生了变化.即i不再仅仅由 几何尺寸决定,可能还与能量因素,,C,R有关,转换关系式为式 (17)和式(18).
由以上分析,再考虑到理想机构自由度的整数性,可定义 单自由度非理想机构的广义自由度为(定义一): 力传递自由度:
:/i(19)
速度传递自由度:
"=(20)
因为力和速度的瞬时传递效率分别为:
=e2/e2(21)
或:叩=el/el(21')
以及:=(22)
或:叩,=(22')
由式(19),式(20),式(21),式(22)可得下述关系: :三:—e—2:—e.1:叩:1.叩:o叩(23We)一
e2
叩e'仉.叩
wf=善==且:=1?=.(24'flwf一..L
式中:o,ro——对应的理想机构自由度,o=ro:1. 式(23)和式(24)表明,对于单自由度情形,机构广义自由 度,即等于机构的瞬时传递效率乘以理想机构自由度. ?
上0
14机械设计第24卷第11期
又因为:
Wr=W0r0仉(25)
所以,机构的瞬时传动效率为:
,7=叶=}=J…/We0WfoLe
(26)叼=仉=一=e叶=_?
即机构的传递效率叼可直接由机构的非理想传递比i,,得 出.
上述讨论中,当不考虑机构的储能特性(弹性变形,质量), 仅考虑摩擦时,总有:
i<i,仉?1
<,?1
,7=仉'=ie?1
显然由式(26)可知,传动效率叼,传动比i及广义自由度 是相互关联的.
也可直接定义非理想机构的广义自由度为(定义二): =w0一?(27)
=0一?(28)
?,?,即是各种非理想因素的总括.
上述两种非理想机构的广义描述和定义可相互转换: 由式(23)和式(24)得:
We=
告=~eWeo=e2=-】一垒e2=Weo一一…一
或::一eI::1W一掣:W0一?域:t?——一一?一? eIc1l
同理:w/=w/0一Aw/
其中,?e,与能量因素,,C,R有关.
实际计算中,式(27)和式(28)非常清楚地表明了理想机 构的经典(整数)自由度W.和非理想机构的广义自由度W(或 ,)之间的关系.
式(27),式(28)可由一般力学理论,键合图理论等得出,
也可直接由非理想构件的描述式(1)一式(10)得出,即: 由于1w=we0,7.,叶=wfo~f
记:tb=1一,7,tb,=1,,7,
所以:=w0(1一tb.),叶=叶0(1一)
机构中的诸非理想元素(非理想构件,非理想运动副)可能 以串联,并联,混联的形式出现,比如,设以串联形式存在,则: =0仉=We0n,7=We0兀(1一咖):We0一Aw(27')l:ll:l 同理:=w/o兀(1一咖,f)=w/o一?叶(28')
显然,以上各式中,当i>i(即叼>1,Aw<0),>
0(即叼r>1,?<0)时,由前述非理想构件描述可知,机构工 作处于能量释放阶段,各能量元件整体上相当于原动件,加大 机构自由度;反之,机构工作处于能量储存阶段,能量元件整体 上相当于阻抗或约束,减少机构自由度.
4几个典型非理想机构广义自由度
算例分析
(1)对于图10所示机构,设1为输入构件,3为输出构件,忽 略运动副中摩擦和各构件质量,显然非理想构件5为力约束型 弹簧,它的引入不影响构件1,3的运动关系,即:
,:::1
00)3
4
图10含有弹性储能构件机构
但它改变了力矩的传递关系,即:
无构件5时,i=
l
含构件5时,i=
】
?
,r
故:==?l
式中:1,r】,3,'F3——构件1,3的角速度和转矩. (2)对于图11所示蜗轮传动机构,仅考虑该类机构运动副 中的摩擦,忽略质量和变形.显然,摩擦的引入不影响机构主从 动件之间的运动关系.
图ll蜗杆传动机构
因此运动传递自由度为:
,==1(29)
Lf
但由于:睾(不考虑摩擦),ie:(考虑摩擦),故力传 递自由度为(蜗杆作主动件):
We::
导:|一(30)了|一
而在另一个传递方向有(蜗轮作主动件):
::
(31)Tt
an1,
各参数y,卢,T,F如图11所示.
?y为蜗杆螺旋升角,卢为涡轮螺旋角,对于正交式蜗杆传 动时y:J8.
?蜗轮主动时自锁与摩擦角咖有关,当<咖时机构自锁, 即W=0.
此例说明,自由度具有方向性,即对于非理想机构,原动件 选择不同,自由度不同.
(3)依靠摩擦传递能量的机构.
图12摩擦轮传动机构
这类机构主要有带传动(机构),摩擦轮传动等,它们都存 在打滑,不能100%有效传递运动,其速度传递自由度显然为: ,r
式中:=:軎;
2007年11月王艾伦,等:非理想机构自由度计算理论与方法——广义自由度15
==
鲁(1;
——
滑动率,:二.
1)I
因此运动传递自由度为:
ws::1一=(32)
VI
而力传递自由度为:
W=1
同理,对于摩擦轮机构:
ws?e_1
以上分析讨论中..,:分别表示轮1,2边缘的线速度. (4)在某些情况下,机构的运动自由度与其原动件数目不 同,如图13所示.
图133轮理想机构
该机构运动自由度为1,但可以有2个原动件(力源)e,e,. 经典的机构自由度理论认为,为了保证机构具有确定的运动, 机构的自由度(实质上是速度自由度)应等于机构的原动件数 目,这一描述在"广义意义"上并不正确,比如:对图13所示理 想机构,(某些机器中的多轴驱动系统即是如此),设轮3为输 出,完全可以在轮1,2上各施加一个独立力源(即配置原动件 e(t),e:(t)),则输出e,=ie(t)+i2e:(t),这是因为该机构的 力传递自由度为2,而速度(即运动)传递自由度为1.而汽车后 桥差速机构则相反,其速度自由度为2,力传递自由度为1,它只 有一个原动件.这也说明,即使是对于理想机构而言,速度传递
自由度和力传递自由度也不一定相等. (5)精确计算如下曲柄滑块机构广义自由度. 曲柄滑块机构如图14所示,考虑滑块的质量,质量块与地 面的摩擦及弹簧的作用等非理想因素,利用广义自由度计算公
式计算如下:
图l4曲柄滑块机构
广义速度转换比为:
if=J3
=r-等](33)一菰
理想机构广义力转换比为:
i==_1(34)
I
r,l和如图14所示,其中,e,,e分别为构件3,1的广 义速度和外作用力.
以上3个非理想因素的弓l入并不影响机构主从动件之间的
运动关系,但改变了广义力(力矩)的传递关系,即: :
善:?1le3
记:Ae=e3一e3
因此有1we::1一垒:
e1e1
.(35)
.sgn(sin)..N+K'Ax+m. 勺
式中:?——机架对滑块的支持力;
?——弹簧的伸长量;
m——滑块质量.
由平衡受力分析可知:
,.
l'丁?
=mg+—————=====-—一
洒?卜舌n+舌
/r2cOS2,_=_+
(36)
4_=7
=r+z—rCOs一,
60一
i
式中:n——电机输出转速.
(37)
(38)
(39)
将以上公式代入广义力自由度计算公式(36),取r=50
cm,z=150cm,,z=30r/rain,进行仿真结果如下: (b)
(C)
图l5曲柄滑块机构力传递自由度曲线图
16机械设计第24卷第11期
注意到式(35)实际上是式(27')的具体表达形式,其中,
=,=,=
mf
,2种方法得出同一结果.
因'7=,==,故以上3个图也是机构的瞬时传动 效率图.
由图15可知:
?自由度是周期变化的;
?自由度随,K,m变化而变化.
5补充和讨论
(1)前述分析结果仅为单自由度情况,但其结论式(19)一 式(20),式(23)一式(28)均可推广到多自由度机构,具体分析 将另文讨论.
(2)机构结构学和运动学中的经典自由度表明,机构必须 配有几个独立运动源(即原动件,(t)),而广义自由度则多提示 出另外几个信息:
?其对偶(Duality)性可同时提供该机构应有几个独立力 源e(t)和独立流源.厂(t);
?其非整数性提供了原动机所应具有的力一速度特性信 息;
?机构在一个运行周期中竹,i,w的变化信息. (3)对于某些没有力负载的机构,如机构的非工作行程(即 回程),仪表(指示)机构,只有运动自由度,,力自由度w.没有 意义.相反,对于某些静力压紧机构,只有力传递自由度w,速 度传递自由度,没有意义,两者都属…0'功率机构. 6结论
(1)从对偶概念出发,提出任何机构都具有2种类型的自 由度,即运动传递自由度和力传递自由度,对于理想机构,它们 可能相等,也可能不相等,对于非理想机构而言,则必定不相 等.
(2)提出了非理想构件和非理想运动副的描述和度量方 法,即叩.,咖.,叩,,咖,,,,它们分别考虑了惯性力,弹性变形 力和摩擦力对构件的影响,它们均是无量纲的和归一的,对于 任何理想构件,均有=1,=0.
(3)在上述结论基础上,提出了非理想机构的广义自由度 计算方法与公式,现有的理想机构自由度公式仅是其特殊情 况.
(4)由计算公式(26)可知,机械学中3个非常基本而经典
的概念:传动比,传动效率竹和自由度w在广义自由度计算方
法与公式中可以相互表达,它们是3个相互关联的概念.
(5)在广义自由度概念下,机构运动自由度数目,与机构
原动件数目不一定相等.
(6)以上讨论均采用广义概念,符号和方法(如键合图),故
文章结论,公式对于具有多能域特点的各种广义机构同样适
用.
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(SchoolofElectro—MechanicalEngineering,Central-SouthU-
niversity,Changsha410083,China)
Abstract:Startfrom山emostbasicanduniversalconceptin
naturalphilosophyofantithesisordualityandonthebasisofenergy transmissionanalysisandsignalcauseandeffectanalysis,anidea hasbeenputforwardthatthemechanism'sdegreeoffreedomcan bedividedintodegreeoffreedomofmovementtransmissionandde- greeoffreedomofforcetransmissionandthistwoarenotalwayse- qua1.Onthebasisoffurtheranalysisonthenon-idealityofcompo- nentpartsandkinematicpairs,theconceptofdegreeoffreedomof non—idealmechanism(generalizeddegreeoffreedomofnon-ideal mechanism),Whichtakesfactorsoftheinertialforceofmecha. nism,theelasticdeformation,thefrictionalforceetc.,intoconsid- eration,andthecomputationmethodwereputforward,thenowex? istedcomputationmethodondegreeoffreedomofidealmechanism (theresultofcomputationwillcertainlybeanintegerandwithout duality)wasitsspecialsituation.Withinthenewcomputation method,threebasicbutclassicalconce:ptsinmechanics:transmis. sionratioi,transmissionefficiency,anddegreeoffreedomw havegainedaunity;theywerethreemutuallyinterrelatedconcepts. Finallythegeneralizeddegreesoffreedomofseveraltypicalnon??i?? dealmechanismswerequalitativelyandquantitativelyanalyzed. Keywords:duality;generalizeddegreeoffreedom;cause
andeffectrelationship;non—idealfactors
Fig15Tab0Ref11"JixieSheji"7051 ]]]]i]O1
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