高等数学一-微积分

高等数学（一）微 积 分 导数 微分学 微分 微积分 不定积分 积分学 定积分 无穷级数 第一章 函数及其特性 1.1 集合 一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。 二、表达方式： 集合A，B，C……（大写字母） 元素a，b，c……（小写字母） A=｛a，b，c｝ 元素的排列无重复，无顺序。 a属于A记作a A，1不属于A记作1 A或1 A 三、分类 有限集 无限集 空集Ф 四、集合的运算 1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A B或B A（空集是任何集合的子集）。 2、交集： 存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。A B，A B A，A B B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。 3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。A B，A B A，A B B，Ф B=B。 4、补集：存在A、B两个集合，且A B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。记作AB或 ， AB A=Ф， AB A=B 五、数、数轴、区间、邻域 1、数 实数 虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位， 2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 3、区间 (1)闭区间a≤x≤b,x [a, b] (2)开区间a< x< b, x (a, b) (3)半开区间 a≤x< b, x [a, b) a< x≤b, x (a, b] (4)无限区间 x≤a, x (-∞, a] x≥b, x [ b, +∞) x R, x (-∞, +∞) 4、邻域：以x = x0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A、B两点，x0 -δ< x0 < x0 +δ叫x0的δ邻域。 例1 已知A=｛x -2≤x< 3｝，B=｛x -1< x≤5｝，求A B， A B 解：A、B集合中x的取值范围在数轴表示如下 所以A B=｛x -1< x< 3｝， A B=｛x -2≤x≤5｝ 例2 已知A、B为两非空集合，则A B=A是A=B的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件 注：如果A成立，那么B成立，即“A B”，那么条件A是B成立的充分条件；如要使B成立，必须有条件A，但只有A不一定能使B成立，则称A是B成立的必要条件；如果“A B”，又有“B A”，则称条件A是B成立的充分必要条件。 例3 已知集合M=｛0,1,2｝，则下列写法正确的是[ D ] A、 ｛1｝ M B、 1 C、 1 M D、｛1｝ M 1.2 函数及其几何特性 一、定义：在一过程中，存在两个变量x、y，y是按照某一对应规则f随x的变化而变化，y就叫做关于x的函数（一元函数），表达式：y=f (x) x叫自变量，定义域Df （x取值范围） y叫因变量，值域DR （y取值范围） 二、求定义域 例1 求 的定义域。 解： 例2 求 的定义域 解： 例3 求 的定义域 解： 注：真数等于1时，对数值等于0。 三、图象 四、几何特性 1、单调性。对于y=f(x), x Df, if y随x的增加而增加，则y=f(x)在Df内单调增。 y随x的增加而减少，则y=f(x)在Df内单调减。 2、有界性。对于y=f(x), x Df, 对于任一x Df，满足A≤f(x)≤B，则y=f(x)在Df内有界，A叫下界，B叫上界。 3、奇偶性。对于y=f(x), x Df, 且Df为对称区间, if f(-x)=f(x)，则y=f(x)为偶函数。 f(-x)= -f(x)，则y=f(x)为奇函数。 如两者均不符合，则y=f(x)为非奇非偶函数。 注：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。 4、周期性。（三角函数的周期性） 对于y=f(x), x Df, if 存在T>0，满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数，T叫最小正周期。 例1 讨论 的奇偶性（x R） 解： 原函数是奇函数 例2 讨论 的奇偶性(x R)。 解： 原函数是奇函数 1.3 五种基本的初等函数 一、幂函数 1、形如 ，a为常数。 2、幂函数的定义域、值域、几何特性依a的取值而定。 如a取以下值： Df x R x≠0 x≥0 x R DR y≥0 y>0 y≥0 y R 几何特性 偶函数 偶函数 单调增 奇函数，单调增 3、运算法则 （a, b为正整数） 二、指数函数 1、形如 且 2、x R，y>0 3、当x=0时，y=1，则图象一定过点（0，1） 4、几何特性。单调性 01 单调增 5、图象 6、运算法则（同幂函数） 三、对数函数 1、形如 且 2、x>0，y R 3、当x=1时，y=0，则图象一定过点（0，1） 当x=a时，y=1 4、几何特性。单调性 01 单调增 5、图象 6、两种特殊的对数 (1) 当a=10时，y=log10x=lgx(常用对数) (2) 当a=e时，y=logex=lnx(自然对数，e≈2.718) 7、运算法则 四、三角函数（掌握其几何特性、特殊三角函数的图象、基本运算） y=f(x)= sinx正弦 cosx余弦 tanx正切 cotx余切 secx 正割 cscx 余割 Df x R x R (90o的奇数倍） (90o的偶数倍） DR -1≤y≤1 -1≤y≤1 y R y R 单调性 无 无 单调增 单调减 有界性 有 有 无 无 奇偶性 奇 偶 奇 奇 周期性 2π 2π π π 特殊角的三角函数值 角度 0o 30o 45o 60o 90o 弧度 0 sinx 0 1 cosx 1 0 tanx 0 1 不存在 图象： sinx cosx 1 1 -1 -1 tanx 常用公式： 两种特殊的三角形式求周期： (1) y=Asin(ωx+θ), (2) y=|sinx|, T=π 五、反三角函数 arcsinx arccosx arctanx arccotx Df -1≤x≤1 -1≤x≤1 x R x R DR - ≤y≤ 0≤y≤π -