蚌埠学院11-12高等数学Ⅰ下-本科-A卷-答案

装 订 线 内 不 要 答 题 蚌埠学院11～12学年第二学期 《高等数学Ⅰ(下)》期末考试（A）  参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共12分） 1. A    2. D    3. D    4. B 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.   2.   3.   4. ---------------------------------------------------------------------------- 三、解答题（每小题7分，共35分） 1．设 ， ， ，利用复合函数求导法求偏导数 、 . （u，v可不代入）        ……………… 4分 （u，v可不代入）        ……………… 3分 ---------------------------------------------------------------------------- 2．求函数 在点 处沿 到 的方向导数. ， ， ， ， ， ，                ……………… 2分 ， ， ， ，……………… 2分 所求方向导数为：         ……………… 3分 ---------------------------------------------------------------------------- 3．求方程 确定的隐函数 的偏导数 、 . 令                           ……………… 2分 ，  ，                ……………… 2分 ，                  ……………… 3分 4. 判断级数 的敛散性，若收敛，是条件收敛，还是绝对收敛？ ……………… 1分 ，由比值审敛法知 收敛      ……………… 4分 所以 收敛，且为绝对收敛                ……………… 2分 ---------------------------------------------------------------------------- 5. 把 展开为 的幂级数并指出收敛区间. ……………… 3分 ……………… 2分 ，                       ……………… 2分 ---------------------------------------------------------------------------- 四、计算题（每小题6分，共24分） 1．计算二重积分 ， 由 、 、 和 围成. ……………… 3分 ……………… 3分 ---------------------------------------------------------------------------- 2．计算三重积分 ， 由 及 围成. ……………… 3分 ……………… 2分 ……………… 1分 3. 计算曲线积分 ， 由直线段 与 组成，路径 方向为从点 经点 到点 . …… 1分 ……………… 3分 ……………… 2分 ---------------------------------------------------------------------------- 4. 计算曲面积分 ，其中 为球面 内侧在第一卦限部分. ……………… 3分 ……………… 3分 ---------------------------------------------------------------------------- 五、应用与证明题（第1、2小题每小题6分；第3小题5分，共17分） 1. 求曲面 在 处的切平面和法线方程. 令 ，  则 ， ， 所以该点处的法向量为：                       ……………… 2分 切平面方程为： 即                       ……………… 2分 法线方程为：                       ……………… 2分 ---------------------------------------------------------------------------- 2. 利用偏导数求函数 的极值. ……………… 1分 由 得驻点为 和           ……………… 1分 ……………… 1分 对 ，由 知： 不是极值点  ……………… 1分 对 ，由 且 知： 为极小值点，极小值为       ……………… 2分 3．若正项级数 收敛，证明级数 也收敛. 由正项级数 收敛，则                 ……………… 1分 所以， ，当 时，有           ……………… 2分 此时有：                                 ……………… 1分 由比较审敛法知 也收敛                        ……………… 1分 ----------------------------------------------------------------------------