控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果
一、凹口网络传递函数:
上式中参数:
:凹口网络中心频率,;
:二阶微分环节阻尼系数;
:二阶振荡环节阻尼系数; 采用双线性变换公式对上式离散化:
代入H(S)表达式得到:
迭代公式: ;
;
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二、PI调节器
采用双线性变换公式对上式离散化:
代入H(S)表达式得到:
迭代公式:
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三、滞后,超前 调节器
采用双线性变换公式对上式离散化:
代入H(S)表达式得到:
迭代公式:
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四、PID 调节器(形式1)
参数::一阶微分环节时间常数(第二转折频率);
:一阶微分环节时间常数;
:一阶惯性环节时间常数;
K:PID调节器放大系数。
采用双线性变换公式对上式离散化:
代入H(S)表达式得到:
迭代公式: ;
;
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五、PID 调节器(形式2)
采用双线性变换公式对上式离散化:
代入H(S)表达式得到:
迭代公式: ;
;
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六、I型系统期望特性
假设一系统的原始开环传递函数为:
它的波特图如下图:
,——系统截至频率(rad/s)L(w)(dB)c
——第三转折频率(rad/s)w3=1/T3,3-20dB/dec
,3
,(rad/s),c
-40dB/dec
现对其增加串联迟后校正(近似PI控制器)环节:
它的波特图如下:
,——一阶惯性环节频率(rad/s)1L(w)(dB)——一阶微份环节频率(rad/s),2
,,12
,(rad/s)
-20dB/dec
校正后的系统开环传递函数为:
1(I型系统期望特性
I型系统特点:系统的正向通道(即主通道)包含1个纯积分环节。它
的典型开环传递函数的形式为:
式中
——速度常数,即系统开环增益();
——两个惯性环节的时间常数(s);
——一阶微分环节的时间常数(s)。
I型系统的期望特性如下图:
,——系统截至频率(rad/s)L(w)(dB)c-20dB/dec,——第一转折频率(rad/s)w1=1/T11
,——第二转折频率(rad/s)w2=1/T22
,——第三转折频率(rad/s)w3=1/T3320lgKv
-40
-20,(rad/s)
,3,,v,,,1c12a
-40dB/dec
,——速度频率(rad/s)v
,——加速度折频率(rad/s)a
根据直线斜率定义,由上图在范围内得到如下方程:
同理,在得到如下方程:
同理,在得到如下方程:
同理,在得到如下方程:
联立上述四个方程得到如下关系式:
根据Barton公式:
2(I型系统对各种输入信号的稳态误差
假设I型系统的动态结构图如下图:
KS,1,,,KR(S)C(S)E(S)2pn
,,STS,1,,TS,131
-
G(S)G(S)12
系统闭环传递函数为:
系统误差传递函数为:
(1) 输入单位阶跃信号
=0
(2) 输入等速信号
(3) 输入等加速信号
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七、II型系统期望特性
1(II型系统期望特性
II型系统的结构特点:系统的正向通道包含2个积分环节。典型开环传
递函数的形式为:
式中
——加速度常数,即系统开环增益();
——惯性环节的时间常数(s);
——一阶微分环节的时间常数(s)。
-40dB/dec
II型系统的期望特性如下图:
,——系统截至频率(rad/s)L(w)(dB)c
,——第二转折频率(rad/s)w2=1/T22
-40dB/dec,——第三转折频率(rad/s)w3=1/T3320lgKa
-20dB/dec
,(rad/s)
,3,,,1c2a
,——加速度折频率(rad/s)a
根据直线斜率定义,由上图在范围内得到如下方程:
同理,在得到如下方程:
同理,在得到如下方程:
联立上述三个方程得到如下关系式:
2(II型系统对各种输入信号的稳态误差
假设II型系统的动态结构图如下图:
K,,KS,,1R(S)C(S)E(S)np2
,,STS,1S3
-
G(S)G(S)12系统闭环传递函数为:
系统误差传递函数为:
(4) 输入单位阶跃信号
=0
(5) 输入等速信号
(6) 输入等加速信号
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八、期望特性参数的选择和确定
期望特性设计,就是选择各频段的斜率;常数的确定及截至频率和转折频率的选择。
期望特性反映了系统的各项性能指标。低频段的斜率与系统的无静差阶次一致。对于I型系统,它反映了速度常数,决定了系统的静态误差
和速度误差;对于II型系统,它反映了加速度常数,决定了系统的加速度误差。中频段与性能指标的关系有:
1) 截至频率的大小反映了伺服带宽的宽窄; ,n
2) 相角裕量由中频段的长度和对称度确定; ,,()c
3) 当一定时,转折频率的大小反映了常数的大小。 ,K2a
高频段反映了系统限制高频干扰及防止机械结构谐振的能力。然而,实际系统最后确定的高频段转折频率,以及斜率应由闭环速度回路和反谐振回路的传递函数确定。这样,期望特性就将系统的位置回路和速度回路联系起来。
当系统的无静差阶次确定后,低频段的斜率是固定的,可变部分在中频段和高频段。这样,就形成了两类不同型式的期望特性。 1、 的选择
的选择受伺服带宽的限制。一般取: ,n
2、 ,的选择 2
,K保证必须对加速度常数提出要求。一般取: rmsa
2,,a( 当;,有;这是nn
保守的取法。
2,,b( 当;,有;nn
这是一般能达到的水平。
2,,c( 当;,有;这nn
是经过努力可能达到的高水平。
3、 的选择 ,1
的选择在I型系统进行。一般小则大,反之亦然。但不是愈K,,,V111小则愈大。建议的最小值取在对应在500~1000处。 KK,VV1
4、 的选择 ,3
A、 根据选择:3。这种选择能保证至少为45?。 ,,,,()ccc
B、 根据如下关系式:
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九、正割函数校正
正割函数校正用于单脉冲雷达跟踪下的方位伺服系统(俯仰机构叠加于方位机构式的天线座)。跟踪目标时的几何关系如下图:
y
目标CB
o
x,Dxβε
A
z
由上图看出,在存在俯仰角ε时,目标由B点移动到C点,雷达天线轴线从AB线转动到AC线。这时,ABC平面转过的角度为。要使天线转过,伺服方位支路必须带动天线在AOD平面内转过角度。由于方位角和横扫角是在两个不同的平面内,因而存在坐标转换问题。可以证明,坐标转换的结果使得方位支路伺服系统的开环增益,随着俯仰角ε的余弦而变化。为保证在不同俯仰角ε跟踪时,方位伺服系统的开环增益保持不变,确保不断精确地跟踪目标就必须进行补偿。为此,要在方位伺服系统的位置回路的前向通路上,串接一个正割律的校正电位器。而正割律校正就称为正割函数校正。
由上图几何关系得到:
在天线正常跟踪目标的情况下,很小,也很小,则有,
,于是得到:
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十、前馈校正
(一) II型系统前馈校正
K,Sq
G(S)3
+
K,,,,1KSR(S)C(S)E(S)np1
,,STS,1S1
-
G(S)G(S)121(前馈环节的表达式推导
系统闭环传递函数为:
系统误差传递函数为:
假设:
由于二型系统对单位阶跃信号和等速信号的稳态误差为零,故这里仅讨论输入信号为等加速信号时的情况。等加速信号即:
那么系统的稳态误差为:
如果使,即系统对等加速信号跟踪误差为0,则需要的条件是:
所以前馈环节传递函数形式为:
2(前馈环节的表达式中的微分环节离散化形式讨论
1R(S)C(S),S
Kn
G(S)3
(1) 向后差商变换
那么离散化后的迭代方程为:
(2) 向后三点位置二阶逼近
这是基于拉格朗日n次插值多项式得到的数值微分公式。拉格朗日n次插值多项式公式如下:
假设三个等距节点 , ,则有如下关系:
那么通过这三点得拉格朗日2次插值多项式是:
那么的导数为:
那么在的导数为:
迭代:
这就是以后向等距三点位置表示的导数近似公式,利用该公式代替前馈
环节中的微分,其中T为采样周期。
同理, 可以得到以前向三点位置表示的导数近似公式:
(3) 双线性变换
那么离散化后的迭代方程为: