大学一年级高等数学试题及

期末总复习题一、填空题1、已知向量aij2k，b2ijk，则ab=-1。2、曲线zx2绕z轴旋转所得曲面方程为z=x2+y2。3、级数11的敛散性为发散。1n3nn4、设L是上半圆周x2y2a2（y0），则曲线积分Lx21y2ds=a022dx0f(x,y)dy5．交换二重积分的积分次序：dyf(x,y)dx＝111y1-x．级数1的和为1。61n(n1)n二、选择题1、平面(x1)3y(z1)0和平面(x2)(y1)2z0的关系（B）A、重合B、平行但不重合C、一般斜交D、垂直下列曲面中为母线平行于z轴的柱面的是（C）A、x22z21B、y22z21C、x22y21D、x22y2z213.设D:x2y24(y0),则x3ln(x2y21)dxdy（A）x2y21DA、2B、0C、1D、44、设D:x2y24(y0)，则dxdy（A）DA、16B、4C、8D、25、z50x24y2在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（A）A、2i16jB、2i16jC、2i16jD、2i16j6、微分方程(y)2(y)2y20的阶数为B）A、1B、2C、4D、67．下列达式中，微分方程y4y3y0的通解为大学数学（D）A、yexe3xCB、yexCe3xC、yCexe3xD、yC1exC2e3x8．limun0为无穷级数un收敛的nn1B）A、充要条件B、必要条件C、充分条件D、什么也不是三、已知a1，b3，ab，求ab与ab的夹角.P7解：abab0ab（a2(103)2b）a-b(ab)2(103)2(ab)(ab)132cos(ab)(ab)21aba-b42120O解：设平面方程为AxByCzD0依题可得，-2AB3C0D0又，，A-4B5C0n1-45故有：47x13yz0四、一平面垂直于平面x4y5z10且过原点和点2,7,3，求该平面方程.（参照课本P7例题）解：由全微分方程的不变性，得dzzduzdvuvevduuevdvexyd(x2y2)(x2y2)exyd(xy)exy(2xdx2ydy)(x2y2)exy(ydxxdy)exy(2xx2yy3)dxexy(x32yxy2)dy五、设zuev,ux2y2进而可得,vxy,求，zzxy23xy(x32)xe(2xxyy)ye2yxy大学数学zzdz,,.P19六、求由xyzsinz所确定的函数zzx,y的偏导数z,zxy解：由xyzsinz得xyzsinz0两边对求偏导数得：coszzyzxyz0xxx解得：zyzxcoszxy两边对求偏导数得：coszzxzxyz0yyy解得：zxzycoszxy七、求旋转抛物面z2x22y2在点M01处的切平面和法线方程.1,,22解：令f(x,y)2x22y2,则：fx(x,y)4x,fy(x,y)4y所以：n4x,4y,1,nM04,2,1故曲面在点M0处的切面方程式为：4(x1)2(y1)(z2)02即：2yz304x法线方程式为：x1y1z22421x12y1z2即：44大学数学八、求函数fx,yxysin(x2y)在点P0,0处沿从点P0,0到点Q1,2的方向的解：这里的方向即向量PQ，的方向，12易知上单位向量01，2PQ55方向导数。又fx(x,y)ycos(x2y),fy(x,y)x2cos(x2y)fx(0,0)1,fy(0,0)2故ffx(0,0)?1fx(0,0)?2(0,0)551?12?2555九、计算二重积分xydxdy，其中D是由x轴，y轴与单位圆x2y21在第一象D限所围的地域.解：画出微积分地域D的草图，如下列图，从D的草图可判断D既是X型地域也是Y型地域，把D看作Y型地域，则先对x积分，后对y积分，此时D可用不等式组表示：1xy,1y2y故x2yx12(y19dsdydy1dxy3)dy16Dy1yy21大学数学十、计算yds，其中L是极点为A1,0，B0,1和O0,0的三角形边界.（参照LP79例2）解：的方程分别为：AB,OB,OAy1x,0x1,x，0y1,0y0,0x1,则：(xy)ds1x1x1(1)2dx0AB12dx20(xy)ds10)102dx1xdx1,OA(x002(xy)ds1y)021dy11,OB(00ydy02故得：(xy)ds(xy)dsAB(xy)ds(xy)ds21LOAOB十一、求微分方程sinxcosydxcosxsinydy0知足初始条件yx0的特解.P1674解：将方程分别变量得：sinxdxsinydy,cosxcosy两边积分：sinxdxsinydy,cosxcosy得：lncosxlncosylnC,简化得：cosyCcosx将条件yx0带入，4得：C2,2故所求方程的特解为：22cosycosx,或yarccos(cosx)22大学数学