n 维球体的
面积与体积
在 维空间中,一个球心在原点、半径为 的 维球体的 维表面,是一n,1rnn个超球面,它的方程可以表示为
2222 。 x,x,?,x,rn12
这个超球面的 维积(即 维球体的“表面积”)为 n,1n
nn,12nr, 。 (),Srnn,(,1)2
维球体的 维积(即 维球体的“体积”)为 nnn
nn2r, 。 V(r),nn,(,1)2
下面,先用数学归纳法证明 维球体的体积公式 n
nn2r,n,1,2,3,? , 。 V(r),nn,(,1)2
2r证 (1)当 时,1维球体就是一条长度为 的线段,而按照体积公式,恰好有 n,1
11122,,rrV(r),,,2r 。 11112,(,1),22所以,n,1 时,体积公式显然成立。
nn2r,(2)假设已知对某个正整数 ,体积公式成立,有 ,下面看 n,1 时V(r),nnn,(,1)2的情形:
,r22222 V(r),V(r,x)dx,V(r,(rsin,))d(rsin,),n1nn,,,,r,2
nn,,,,n1nn22,,,rcosr,n1222 ,,,V(rcos,)rcos,d,rcos,d,cos,d,n,,,,,,,,,nn222,,,,(1)(1)22
nnn,1,(,1),n,1n,122rr,,2,, 。 ,nn,1,1n,(,1),(,1),(,1)222
1
可见,当 时,体积公式也成立。 n,1
(3)所以,对任何正整数 ,体积公式都成立。 n
r 下面再证明 维球体的表面积公式。由于 ,所以有 V(r),S(x)dxnnn,0
nn,,nn,122,,drnrd,,n,1,2,3,? , 。 S(r),V(r),,,,nnnndrdr,,,(,1),(,1),,22,,
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