§4.5 复数
复数具有代数形式、三角形式、几何形式等多种
示方法,这些表示所蕴含的实际意义,以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系。由于复数与复平面上的点,与以原点为起点的平面向量之间有着一一对应的关系,复数运算有着明确的几何意义,因而有关复数的问
在解法上有着构思巧妙、方法灵活的特点。
一、 复数知识
1. 复数的表示形式与运算
代数形式
,
称为
的实部,记
;
称为
的虚部,记为
。
三角形式,
,
称为
的模,
称为
的辐角,记辐角主值为
。
指数形式
,注意到
,指数形式即三角形式。
三种表示形式之间可以互化:
。
在复平面上,用点
表示复数
,每个复数z与向量
一一对应。两个复数的和与差,对应这两个向量构成的平行四边形的两条对角线;复数的乘法与除法于对应平面向量的伸缩与旋转。
例1 复平面上动点
的轨迹方程为
,
为定点,
;另一动点Z满足
,求点Z的轨迹,并指明它在复平面上的形状和位置。(高中联赛,1988)
图4.5.1
解:由
知
,所以
,代入
得
。变形为
,表示Z是以
为中心,
为半径的圆周,但应除去原点。
例2 设复数
在复平面上对应点分别为A,B,且
,O为坐标原点,则△OAB的面积为
(A)
(B)
(C)
(D)
(高中联赛,1992)
图4.5.2
解:由已知得
,故
。故在复平面上等式两边的复数
和
所对应的向量互相垂直,即
(如图4.5.2),
故
故选(A)
例3 设
都是复数,且
,
,
,则
的值是______。(高中联赛,1992)
图4.5.3
解:设
在复平面分别对应于点
(如图4.5.3),则
,所以
,
于是
,或
,
因此
例4 x的二次方程
中,
均是复数,且
。设这个方程的两个根
满足
,求
的最大值和最小值。(高中联赛,1994)
图4.5.4
解: 根据韦达定理有
由
,所以
,
即
,故复数
在以A(4,5)为圆心,以7为半径的圆周上(如图4.5.4)。又因为
<7,故原点O在⊙A内,连接OA,延长交⊙A于两点B,C则
为
的最大值,
为
的最小值。
2. 复数的模与共轭复数
如果
,则
称为
的共轭复数,
称为复数
的模。
共轭复数有以下运算法则和性质:
;
;
;
;
。
模的运算法则及其性质:
;
;
;
。
例5 设复数
满足条件
,试求
的最大值和最小值。
解:
又∵
, ∴
,
令
,则
,故
当且仅当
,即
时,等号成立,此时
,故
时达到最大值,最大值为
;当
是达到最小值零。
例6 设
为复数,满足
,求证:上述
个复数中,必存在若干个复数,它们的和的模大于六分之一。(CMO,1986)
证明: 设
,
,有
,求和,
故
;
;
;
中至少有一个不小于
,不妨设
,
则
3. 复数的单位根
方程
称为1的
次单位根。由棣莫弗定理,全部
次单位根可表示为
。
关于单位根,有如下常用性质:
;
任意两个单位根
的乘积仍为一个
次单位根,且
;
设
为整数,
,则
若
是全部
次单位根,则由
得
。
例7 集合A=
和B=
都是1的复数根的集合,集合C=
也是一个1的复数根集合,集合C中有多少个不同的元素。(美国)
解:
令
(1) 设
(2) 任取
;
;
。
∴
,故Z=P,故集合C有144个不同元素。
4. 复数综合知识
例8 考虑复平面上的正方形,它的四个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程
的四个根。求这种正方形面积的最小值。(西部奥林匹克。2002)
解: 设正方形的中心对应的复数为
,则将复平面上的原点平移到
后,该正方形的顶点均匀分布在一个圆周上,即它们是方程
的解,这里
是某个复数,于是
对比
各次项系数,可知
为有理数,再结合
为整数,可得
为整数。这样利用
为整数,可知
是整数。
上述讨论表明:该正方形顶点是整系数方程
的根,于是其外接圆半径
不小于1,所以此正方形的面积不小于
。而方程
的四个根在复平面上对应于一个正方形的顶点。因此所求正方形的面积的最小值为2。
注: 利用上述方法可以证明:若一个正
边形的顶点对应的复数是某个整系数方程
的
个复根,则该正
边形的面积的最小值为
(参见§4.4例9)
例9 给定实数
已知复数
满足
求
的值。(高中联赛,1999)
解1 设
,
,
,则
,且
,于是
,及
构成一个菱形,或者两个退化的菱形。无论哪种情况,在
中只存在一个,其值为1.若
,则
,故
;同理,若
或者
,则
的值为
或
。
解2 因为
,所以
(*),
即
,又
,所以
带入(*)得到
,整理得
,分解因式得到
故
或者
或者
,若
,代入
得到
,这时
,类似的若
有
,若
,
。
解3 由复数为实数的充要条件和
得
(* *),因为
,所以
,代入(* *)得到
,即
,(* * *)又
(* * * *),
由
和(* * *)、(* * * *)知复数
为方程
的三个根,解得
,以下的步骤同解2。
二、 复数方法
1. 在代数中的应用
构造适当的复数,可以解决或化简某些代数问题的求解,开拓新的思路和方法。
例10 对自然数
,令
为
的最小值,其中
为正实数,其和为17,若存在唯一的
使
也为整数,求
。
解:
可视为复数
的模,
故
由题设条件,应用
,可以化为
,所以
,解得
。
例11 设
为自然数,求证方程
①
有模为1的复根的充要条件是
可被6整除。(CMO,1987)
图4.5.5
证明: 设方程有根
,且
,则因
,两边取模得
,即
。故
为圆
和圆
的交点(如图4.5.5),也可以说
三点连成等边三角形,故
,当且仅当
被6整除时成立。又因为
,故
。因
,故
,即
,代入方程①,得
,所以
可被6整除。
反之。若
可被6整除,令
,易验证
,
,代入方程①,适合该方程,故
是方程①的解,从而
,充分性得证。
例12 已知
,
求证
。
证明: 根据题设,
构造复数
,
则
由棣莫弗定理
得
。
由
得到
,推得
即
,
所以
,
而
,
所以
。
2. 在几何问题中的应用
复数的几何意义,为我们解决几何问题提供了有效的方法。
例13 如图4.5.6,△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形。现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转。试证:不论△ADE旋转到什么位置,线段EC上必存在一点M,使△BMD为等腰直角三角形。(高中联赛,1987)
图4.5.6
证明1: 首先探索M点的位置,为此让△ADE绕A点旋转
,使E点落在AB边上,不难证明,在这一特殊位置时,M点恰好是EC的中点。
下面再用复数证明一般情况下,M点仍是EC的中点(图4.5.7)。
建立如图4.5.8的复平面,使
。不妨设
,
则
,
则
。
由中点
,
又因为
,
,
故
且
。故△BMD是以点M为直角顶点的等腰直角三角形。
图4.5.8 图4.5.7
证明2 通过复数方法直接计算后确定M点的位置。为此仍将△ABC置于复平面,设A,B,C所对应的复数分别为0,
,AD长为1,则D,E对应的复数分别为
(这里
是AD的旋转角)。再以DB为斜边作等腰直角三角形DMB(如图4.5.8)
于是
.
,
所以
。
由此可知M点是线段EC的中点,命题得证。
证明3 通过建立恰当的坐标系简化证明。由于AB>AD,因而不论△ADE旋转到什么位置,B,D均不会重合,因而可取BD所在的直线为横坐标,BD中点为原点(如图4.5.9),设
,
于是
,故
,
同理
,则线段EC的中点M的值为
,
而
,恰好对应等腰三角形的三个顶点,即三角形BDM是等腰直角三角形。
图4.5.9
例14 若四边形ABCD内部有一点P,使四个三角形△PAB,△PBC,△PCD,△PDA等积,求证P点必在对角线AC或BD上。(瑞典,1982)
分析 用复数表示三角形面积,形式非常简单。设
,
则
。
由于
。
本题取P为复平面的原点,A、B、C、D对应复数
,则由四个三角形等积,
得
,
又因为
,
所以
,即
。
同理可得
,
若
,则
,这说明P点为AC的中点,
若
,则
,这说明P点为BD的中点,所以P点必在AC或BD上。