看2011年广东高考,谈运算求解能力的培养(中山一中李启龙).doc
看2011年广东高考,谈运算求解能力的培养
广东中山市一中 李启龙
一个统计数据
文【1】中
3 理科各大题的相关数据(抽样统计的结果)
题号 平均分 标准差 难度
16 10.22 3.33 0.85 17 10.17 3.35 0.78 18 5.84 3.89 0.45 19 2.53 3 0.18 20 1.6 1.94 0.11 21 0.56 0.91 0.04 这表明一个事实2011年广东省高考数学题——难~
一次特别测试
时间:2011年9月8日下午四点——四点半
地点:中山一中数学竞赛课室
测试内容:2011年广东省高考数学第21题
参加学生:中山一中高二、高三数学竞赛全体同学
编号:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得分:3 7 5 8 4 5 6 7 6 7 7 6
这表明一个事实2011年广东省高考数学题运算量——大~
一个真实故事
22010年9月,我任教高一竞赛班数学。有一个同学解一元二次方程,这位同430xx,,,学没有用十字相乘法,也没有用求根公式,她使用的是她最擅长的方法——配方法。 这表明一个事实,我们的学生运算方法——差~
文【1】中指出,新课程标准对于运算求解能力的要求较传统课程的要求大为降低,这在教学实践中也产生了一定负面影响。在教学实践中,数学教师尤其是初中数学教师对运算要求的降低,学生的运算能力也有一定程度的下降。
文【1】中又指出,针对这一薄弱点,2011年试题加大了对运算求解能力的考查,有利于发挥积极的引导作用。
文【1】提醒我们不得不承认,当前学生的运算能力确实比较弱,从近几年高考答卷情况容易看出。因此,对于运算求解能力的考查,应该呈现出一个逐步加强的过程。
中学数学教师如何迎接——逐步加强运算求解能力的考查的挑战~
1、 代数运算中注意对“形”的理解和应用,是提高运算能力的有效方法。 围棋之战中,双方都十分注意棋形的好坏,好的“棋形”进可攻退可守。做平面几何题尤其要注意“直观”,当直观被隐藏起来以后,要添加辅助线,把原图补成一个“好形”。这样做问题便可以迎刃而解。代数也讲究“形”,什么是代数的形,先看一个例子:设abR,,求,
112的最小值。将上式变形为: a,,abaab(),
1111用均值不等式即可。 aabbaabab()(),,,,,,,,,abaababaab()(),,
培养学生对形的感悟十分重要。代数运算中注意对“形”的理解和应用,是提高运
算能力的有效方法。
高中阶段的代数运算——主要是“变形”,如何在变形的过程中得到“好形”和运用“好形”解决问题值得研究。
例如:2011年广东省高考理科数学第20题
nban,1ab,0,数列满足, 设ab,,,2an,,,,n1n,,22ann,1
a(1) 求数列的通项公式; ,,n
n,1b(2) 证明:对于一切正整数,. ,,1nann,12
一个具有较好数学素养的同学在学习了等差数列和等比数列后,他们获得地应该是一些数学模型:如等差数列模型,等比数列模型,递推模型,迭加模型,累加模型,累乘模型,等差与等比积模型,换元后等差(或等比)模型,可归纳模型等等.在数学运算过程中能走近模型,无疑这些变形会产生”好形”.
nban,1由 联想 ,,2an,,n,,22ann,1
nn121,1.递推模型: ———“好形” ,,abbann,1
12AA,,,nn,1bbAA,n2,nn,12.等比模型:令, , ———“好形” A,,,naAAb,12nnn,,12,AA,,nn,,12bb,
an,1baba,1nnn,13.换元模型: ———“ 好形” ,,a,,21nan,,n,1n,1,2,1n
4.归纳模型: ab, 1
22b a,2b,2
33b a,3222bb,,22
nnb 猜想: ———“好形” ,an,,,,1221nnnn222,,,,,,,bbb
我们在课堂教学中注意引导学生认识什么是"好形",总结好形在运算中的作用, 学生的运算能力会不断增强。
2、 加强"通性”“通法”的训练,是提高运算能力的有效途径
(1) 数学归纳法是数学的基本方法,与自然数的无限子集有关的命题可以使用
数学归纳法。运用第一数学归纳法证明等式、不等式是高中数学教学的基
本要求。
教学片段一:能否用数学归纳法
111用数学归纳法证明: ,,,,122223n
学生:不能用数学归纳法
教师:为什么,
学生:做不了
教师:不可能,与自然数有关的命题都可以使用数学归纳法 学生:真的做不了,不能用归纳假设
教师:为什么不能用归纳假设,
学生:不等式右边不含 n
1111学生:顿悟~啊~可以在不等式右边补含的式子 ,,,,,1n22223nn
1111,,,,再看一个例子:06高考题有一问是——要证: (1)(1).....(1)2n3332
1111111,,,,,,,, 加强命题: (1)(1).....(1)(......)22nn3332333
先证引理:(1)(1).....(1)1(...),,,,,,,,xxxxxx 1212nn
(0,1,1,2,...,)xin,, ,,i
(2) 换元法———化繁为简,透析本质
22Cxnxyn:20(1,2,),,,,2009广东高考理数21:已知曲线(从点向P(1,0),n
Ckk(0),lPxy(,)曲线引斜率为的切线,切点为( nnnnnnn
{}{}xy与(1)求数列的通项公式; nn
1,xxnnxxxx,,,,,,2sin(2)证明:. 13521,n1,xynn
x1,x1nn,,f(x),x,2sinx简析:由于,可令函数,则有y2n,11,xnn
1,xx11nn,2sin,2sin,即. 1,xy2n,12n,1nn
又2011年全国高中数学联赛一试:4.如果
5533cossin7(sincos),0,2,,,,,,,,,,,,那么的取值范围是 ,,
5533cossin7(sincos),0,2,,,,,,,,,,简析: 不等式等价于 ,,
113535,,,,,,, sinsincoscos77
135R又是上的增函数,所以 fxxx(),,sincos,,,7
(3) 导数法
导数是研究函数的有力工具。既可以研究函数的局部性质,例如,函数在某点的切
线的斜率,函数的极值等等;也可以研究函数的整体性质,例如,函数在某个区间
上的单调性等等。既有定量也有定性。利用导数是研究函数的方法是——表格法。
然而,列表格的关键是导函数的零点可求。如果导函数不是初等函数,是超越函数,
导函数的零点不能量化,怎么办,我们在训练中要注意:用“二分法”估计零点。
利用函数的单调性,可以选择其单调区间的子区间,或定义域的子集.
(4) 分类法
解不等式重点是一元一次不等式(组),一元二次不等式(组)和可化为一元一次
不等式(组),一元二次不等式(组)的不等式都需要分类,处理含有绝对值的问题的一
般方法——分类讨论去掉绝对值符号。教学中注意总结分类标准,如按余数分类(分
奇偶等);按性质分类(如等比数列的公比,直线的斜率等);按零点分类;按判别式分类
等等。
3、 “重予规”, “示以巧”,让学生在运算过程中——苦中有乐~
教学片段二:如何化简
2222师生:由椭圆的定义得到 ()()2xcyxcya,,,,,,
2222师生:移项,有利于两边平方 ()2()xcyaxcy,,,,,,
2222师生: 可以直接两边平方 ()()2xcyxcya,,,,,,
2222师生:观察方程,令 , 分别平方 ()xcyatx,,,,()xcyatx,,,,
教学说明:上式从几何意义上讲是“好形”,但是方程不能叫椭圆的标准方程,需要化简。学生比较害怕含有两个根号的式子,按定势思维一般变形为式,然后两边平方不难得到椭圆的标准方程。培养运算能力就是要在难受的地方让学生多吃点苦。老师千万不能包办代替,此时此刻教师的责任就是——等待~教师建议不移项直接两边平方看看行不行。让学生在吃点苦~学生演算过后很惊奇,过程并不麻烦~这样做给学生一些积极的心理暗示和一些战胜两个根号的勇气。其实,事情并没有结束,方程式不仅从几何意义上讲是“好形”,从
2222代数上看是一个对偶式,作, 变换可以简()xcyatx,,,,()xcyatx,,,,
化运算。教学中,教师既有“重规”,也有“示巧”,让学生在运算过程中——苦中有乐~
解析几何问题的运算量特别大,造成运算量大原因是在坐标化的过程中,用怎样的代数形式表达几何图形。例如,直线有一般式、两点式、点斜式、斜截式、截距式。还有xmyb,,什么都不是。
教学片段三:妙在一“设”
MABO中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线交于两点,为的中xy,,1AB,
2点,直线的斜率为,且,求椭圆的方程。 OMOAOB,2
教师:求曲线方程一般分两类,曲线未知用“五步”法;曲线已知用待定系数法;本题要设椭圆方程。
2222xyyx学生甲:先设 再设 运算量大 ,,1,,12222abab
22xy学生乙:设 避免了讨论 ,,,,1(0,0)mnmn
22学生丙:设 避免了讨论,运算量小 AxByAB,,,,1(0,0)
解析几何问题的运算有句名言:设而不求。为什么设了不求呢,这是个非常有意识的问题,是求不出来,还是难得求出来,还是不需要求出来。事实上,这里有一个窍门,对称式都可以用基本对称式表示。显然二元对称式都可以用二元基本对称式表示。几何条件许多是可以转化为二元对称式,这是解析几何问题的基本特征。只有这样我们的课堂教学才会——有效、高效~
“同理可得”是数学的一大特点,在数学问题中有些问题“同态“,有些问题“同构”。准确地使用同理是简化运算的一种手段。教学片段四:可不可以“同理”,
ABBCEFGH,,8,6.,,,BABCD人教版选修2,1第50页组4.如图,矩形中,分
,,,OFCF别是矩形四条边的中点,是线段的四等分点,是线段的四等分RST,,RST,,
22xy,,,ERETESGRGSGT点,请证明直线与、与、与的交点都在椭圆上。 ,,1169
113,,略解:设t,,,故当时, QLMN,,,PtPtEPGPQ(4,0),(4,33),,,424
33t,EPyx:3,,GPyx:3,,, 直线 直线 4t4
3,yx,,3,,4t 联立方程组 ,3t,yx,,,3,,4
22xy将联立方程组中的消去就是椭圆. t,,1169
教学中在运用“同理可得”的时候也存在风险。还有一些如“类似地可得”,“不妨设”等等,也是很值得注意。
4、 运算能力的培养,要防止在重要关节处马虎草率,囫囵吞枣
新课程指出高中数学课程的基础性,包括,在义务教育阶段之后,为学生适应现代
生活和未来发展提供更高水平的数学基础,使他们获得更高的数学素养。有价值的思维
活动依赖于好的数学问题。思维活动的展现依赖于好的运算。一个含有思维活动的运算
恰恰这些是提高学生数学素养之所在。
教学片段五:教还是不教——渐近线的证明——“夹逼原理”
22bxy为什么是双曲线的渐近线 yx,,,,122aab
22bxy教师:为什么是双曲线的渐近线 yx,,,,122aab
22xyb学生:当时,与无限接近于零 yx,,,,1x,,,,22aab
b教师:计算点到直线的距离 Mxy(,)yx,,00a
22axxa,,00bd,学生甲: 22aab,
学生乙:“变形”得到的不是“好形”
22,,axa,,1,,b0,,学生丙: d,2222aab,axxa,,,,00
学生丁:“变形”得到的也不是“好形”
Mxy,NxY,师生共同探讨:设在双曲线上,在直线上,,,,,
abMN ,这是“好形”~当时,无限接近于零。 x,,,,MNYy,,,22xxa,,
0,,dMNd注意到: 这里根据“夹逼原理”可得,当时,无限接近于x,,,,
零。“夹逼原理”在技巧上使用了不等式的“放缩”,在思想方法上是“转化”。当我们的教学已经走进了学生的“最近发展区”的时候,要把握机遇。往往这种机遇比我们刻意去营造的效果更好~
参考文献
J1 吴有昌.回归传统 回归课本---2011年高考数学广东卷试题和答卷分析[]中学数学研
究,2011(8)
S2 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[]人民教育出版社,2003.