椭圆的简单几何性质 1-10题
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的
方程( ,,A2,0
分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置(
a,2b,1解:(1)当为长轴端点时,,, ,,A2,0
22xy椭圆的标准方程为:; ,,141
b,2a,4(2)当为短轴端点时,,, ,,A2,0
22xy椭圆的标准方程为:; ,,1416
说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆
的横竖的,因而要考虑两种情况(
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率(
21a2222?c,,,3c,a解: ?, 3c
13?( e,,33
说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a,求c,再求比(二是列
含a和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可(
典型例题三
ABMx例3 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线x,y,1,0交于、两点,
OMAB为中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程(
2x2,y,1解:由题意,设椭圆方程为, 2a
,,1,0xy,,2222由,得, ,,1,ax,2ax,0,x2,y,1,2a,
21x,x1,a12?,y,1,x,, x,,MMM221,a2a
y112M,?, a,4?k,,,OM24xaM
2x2?为所求( ,y,14
说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要
借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题(
典型例题四
22xy9,,例4椭圆上不同三点,,与焦点的,,1,,,,,,Ax,yCx,yF4,0B4,,,11222595,,
距离成等差数列(
(1)求证; x,x,812
ACkTBT(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率( x
a,5b,3c,4
:(1)由椭圆方程知,,(
AFc,由圆锥曲线的统一定义知:, 2aa,x1c
4AF,a,ex,5,x? ( 115
4CF,5,x同理 ( 25
9BF,AF,CF,2BF? ,且, 5
4418,,,,55? , ,x,,x,,,,,12555,,,,
x,x,8即 ( 12
,yy,,12AC(2)因为线段的中点为,所以它的垂直平分线方程为 4,,,2,,
y,yx,x1212 ( ,,y,,x,42y,y12又?点在轴上,设其坐标为,代入上式,得 T,,x,0x0
22y,y12 x,4,0,,2x,x12
又?点,都在椭圆上, ,,,,Ax,yBx,y1122
922? ,, y,25,x1125
922 ,,y,25,x 2225
922y,y,,x,xx,x,,,,? ( 12121225
将此式代入?,并利用的结论得 x,x,812
364x,,, 025
90,55k,, ? ( BT4,x40
典型例题五
22xyMM,,1例5 已知椭圆,、为两焦点,问能否在椭圆上找一点,使到FF1243
lMMNMFMF左准线的距离是与的等比中项,若存在,则求出点的坐标;若不存12
在,请说明理由(
M,,解:假设存在,设Mx,y,由已知条件得 11
1a,2c,1b,3e,,,?,( 2
lx,,4?左准线的方程是, MN,4,x?( 1
又由焦半径
知:
1MF,a,ex,2,x, 1112
1MF,a,ex,2,x( 2112
2MN,MF,MF?, 12
11,,,,2?( x42x2x,,,,,,,,,,11122,,,,
2整理得( 5x,32x,48,011
12解之得或( ? x,,x,,4115
另一方面( ? ,2,x,21
则?与?矛盾,所以满足条件的点M不存在( 说明:
(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程( (2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条
件进行推理和运算(进而根据推理得到的结果,再作判断( (3)本例也可设存在,推出矛盾结论(读者自己完成)( ,,M2cos,,3sin,
典型例题六
2x11,,2P,y,1例6 已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程( P,,,222,,
kk分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求(
11,,k解法一:设所求直线的斜率为,则直线方程为(代入椭圆方程,并y,,kx,,,22,,
整理得
132222,,,,1,2kx,2k,2kx,k,k,,0( 22
22k,2kx,x,由韦达定理得( 1221,2k
1Pk,,x,x,1?是弦中点,?(故得( 122
2x,4y,3,0所以所求直线方程为(
分析二:设弦两端坐标为、,列关于、、、的方程组,从,,,,x,yx,yxxyy11221212
y,y12而求斜率:( x,x12
11,,解法二:设过的直线与椭圆交于、,则由题意得 ,,,,Ax,yBx,yP,,,112222,,
2,x21,y,1,?1,2,2x,22,y,1,? ,22,
x,x,1,?,12,y,y,1.?12,
22x,x2212?,?得,y,y,0( ? 122
1y,y112将?、?代入?得,即直线的斜率为,( ,,22x,x12
所求直线方程为( 2x,4y,3,0
说明:
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点
轨迹;过定点的弦中点轨迹(
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率( (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”(有关二次曲
线问题也适用(
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程(
,,(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点2,,6;
x(2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6(
22xy2,,1a,148分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由求出,22ab
2222xyyx2,,1,,1b,37,在得方程后,不能依此写出另一方程( 1483714837
2222xyyx解:(1)设椭圆的标准方程为或( ,,1,,12222abab
a,2b由已知( ? 又过点,因此有 ,,2,,6
2222,622,6,,,,或( ? ,,1,,12222abab
2222由?、?,得,或,(故所求的方程为 a,148b,37a,52b,132222xyyx或( ,,1,,1148375213
22xy2c,3b,c,3(2)设方程为(由已知,,,所以(故所求方程,,1a,1822ab
22xy为,,1( 189
说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”(关键在于焦点的位置
2222xyyx,,1,,1是否确定,若不能确定,应设方程或( 2222abab
典型例题八
22xyFM,,1AM,2MF例8 椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当,,A1,31612
M为最小值时,求点的坐标(
1Me,2MF分析:本题的关键是求出离心率,把转化为到右准线的距离,从而得2
1AM,MF最小值(一般地,求均可用此法( e
1a,4c,2e,解:由已知:,(所以,右准线2
l:x,8(
AM过作AQ,l,垂足为Q,交椭圆于,故
MMQ,2MFAM,2MFAQ(显然的最小值为,即
为所求点,因此,且在椭圆上(故(所以( M,,y,3x,23M23,3MM
1说明:本题关键在于未知式中的“2”的处理(事实上,如图,,AM,2MFe,2即是到右准线的距离的一半,即图中的,问题转化为求椭圆上一点,使MMMMFMQ
到的距离与到右准线距离之和取最小值( A
典型例题九
2x2例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值( ,y,1x,y,6,03
分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值(
,,x,3cos,解:椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为,则点到,,3cos,,sin,,y,,sin.,
直线的距离为
,,,2sin,,6,,,3cos,sin,6,,3,,( ,,d
22
,,,当时,( d,22sin,,,,1,,最小值3,,
说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程(
典型例题十
33,,例10 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在xe,轴上,离心率,已知点到P0,,,22,,
7P7这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标(
d分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求的最大
b值时,要注意讨论的取值范围(此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的
,提高逻辑推理能力(
22xya,b,0解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是,其中待定( ,,122ab
2222ca,bb2由可得 e,,,1,222aaa
31b2a,2b11,,e,,,,即( 42a
d设椭圆上的点到点P的距离是,则 ,,x,y
22,,39y,,2222,,13d,x,y,,a,,y,y, ,,2,,24b,,,,
291,,222 ,4b,3y,3y,,,3y,,4b,3,,42,,
其中( ,b,y,b
12db,d如果,则当时,(从而)有最大值( y,,b2
223131,,b,7,,b,由题设得,由此得,与矛盾( 7,b,,,,,2222,,
112dy,,b,d因此必有成立,于是当时,(从而)有最大值( 22
22b,1a,2,,7,4b,3由题设得,可得,(
22xy,,1?所求椭圆方程是( 41
111,,,,y,,由及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点,点到点,3,,3,,,,,,222,,,,
3,,7的距离是( P0,,,2,,
,,xacos,a,b,0解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是,其中,待定,,y,bsin,,
0,,,2,,,为参数(
2222ca,bb,,2由可得 e,,,1,,,22aaa,,
31b2a,2b11,即( ,,e,,,42a
3,,d设椭圆上的点到点的距离为,则 ,,x,yP0,,,2,,
2233,,,,2222 ,,,,cos,sin,dxya,b,,,,,22,,,,
922243sin3sin ,b,b,,b,,4
21,,22 ,,3bsin,,,4b,3,,2b,,
112sin,,,1d,1如果,即,则当时,(从而)有最大值( b,d2b2
2231311,,b,7,,,1由题设得,由此得,与b,矛盾,因此必有7,b,,,,,2222b2,,
成立(
12dsin,,,时d(从而)有最大值( 于是当2b
22b,1a,2,,7,4b,3由题设知,?,(
,,x2cos,?所求椭圆的参数方程是( ,y,sin,,
3111,,,,,cos,,sin,,由,,,可得椭圆上的是,( ,3,,3,,,,,,2222,,,,