复高斯噪声下基于功率谱的频率估计与MATLAB仿真

(2.15)可以表示成为: (2.20) s,Ace1i为求解 的最大似然估计，需要求解: A,,,,11`1 H LAcxsxs,,,,, (2.21) ，，，，，，11 则如果已知,，则可求出使式(2.21)最小化的解Ac,，式中,如果用最大似然估计取代，则Ac,就是正弦1111波复振幅的最大似然估计。式(2.21)的求解即为x(n)的周期图，故有结论:在复高斯白噪声中混有单个复正弦 信号，其频率的最大似然估计可根据数据的周期图的最大值所在的频率位置求出。 下面讨论复高斯白噪声中混有多个复正弦信号的频率估计为题。设S由M个正弦波构成 M s,Ace (2.22) ,1i1,i为求正弦波参数的最大似然估计，必须使以下函数最小化: HMM,,,,LxAcexAce ,,, (2.23) ,,,,,,11ii,,11,,,,ii 令 T，，Eee,,,e;12,M，， T，，,,,,;AcAcAcAc12，，M (2.24) T，，,,,，,,,,12,M，， 这样公式(2.23)可以写成如下的形式: HRR (2.25) LAcxEAcxEAcˆ,,,,，，，，，， 假设E是已知矩阵，上式的最小化问题实际上是一个典型的线形最小二乘方问题，为求频率的最大似然估计，必须求解上式右端二项的最大化问题，即: ,1THHTTH** (2.26) LAcxxEAcxxxEEEExˆ, ,,,,,，，，，，， 这是一个高度非线形的方程，人们提出了用所谓迭代最佳化方法求解，如果各正弦波的频率用周期图能进 [4]行分辨，那么式(2.26)的最大解将对应于周期图中对大值所在的频率。 2.3 MUSIC算法的频率估计 多重分类(MUSIC)算法是由Schmidt R O等人在1979年提出的。由于MUSIC算法具有较好的特性，吸引了大量学者对该算法进行深人的研究与分析。总体说来，对该算法的研究主要集中在以下几个方面: 1)理论性能分析，如角度估计的克拉美一罗(CRB)界限及估计误差的分布、分辨力等; 2)算法的应用及性能推广，如加权MUSIC算法、求根MUSIC算法等; [6]3)存在模型误差时的MUSIC算法性能，如各种误差对MUSIC算法性能的影响。 根据2.1节的信号模型，考虑到用N次采样的观测数据向量X(n)(n=1,2„„N)估计r个参数 ，,i 且噪声向量U与信号向量U统计不相关，令观测数据的向量的协方差矩阵R的特征分解为 nsxx H，，，，O,UHs (2.27) R，，,,UDUUU,,,,2xxsn，，HOI,,,U*r，，wm，，n 式中, 包含了r个大的特征值，U是信号子空间，U是噪声子空间，两个空间相互正交。 sn 由于 H，，U，，O2s (2.28) ,,，，，，,,,,,RUUUUUUU,,,,,，，，，xxnsnnsnwnHIU，，,,，，n 上式中第二个等号成立是因为噪声空间和信号空间是相互正交的。 HH22RAPAIRAPA,，,，,,有，UUU又因为 由(2.28)知道 xxwxxnnwn HAPAUO, (2.29) n HAOU,上式成立的充要条件是: ; n ，，XtAstNt,，,根据信号的DOA模型 ，由于 则有 A,,,,,aa,，，，，，，，，，，，，，，1r，， HTa0,,,,,,,,,U,, (2.30) ，，12nr 将公式(2.30)改写成为标量的形式，定义一种类似于功率谱的函数: 1 (2.31) P,,，，HHUaUa,,，，，，nn 上式取峰值的r个值,,,,,,给出r个信号的频率，公式(2.31)定义的函数P(w)描述了信号的参数分,12r 布。MUSIC算法需要在整个频率轴上进行谱峰搜索，因此，计算量比较大。其推广算法有最小模MUSIC [7](MNM)、最大嫡谱法等多种实现形式。 3 仿真实现Equation Chapter (Next) Section 1 设过程为复高斯白噪声中存在频率非常接近的两个复正弦信号。设复高斯白噪声中存在两个非常接近的复正弦信号。设输入信号为: ,j20.50，，,20.48，j,4 (3.1) xneevn,，，，，，， 2V(n)是方差为,的复高斯白噪声。 s 信噪比定义为 ,,1 (3.2) SNRdB10lg,，，2,,,s,, 3.1 频率的最大似然估计的仿真实现 利用MATLAB强大的数据处理能力及其所提供的信号处理工具箱，对上述介绍的频率估计技术进行仿真。下面的mle . m程序是在最大似然法中利用周期图对频率进行估计，randn函数产生均值为零，标准差为1的高斯白噪声，对两个randn函数进行复组合后乘以系数m，就组成了均值为0，标准差为m的复 2,=m高斯白噪声，即，改变m相当于改变了信噪比。 s 利用周期图法估计频率和功率谱密度的函数:[Pxx ,f ] = periodogram(x，window, nfft, fs, `range') , x为输人数据向量,nfft是FFT的长度，fs是取样频率，向量window为用于计算输人信号x的改进周期图的窗函数系数，默认值为矩形窗(boxcar),`range’若取值为twosided则计算双边功率谱，若为onesided则计算单边功率谱，此函数返回功率谱密度向量Pxx和归一化频率向量f , Pxx:和f有相同的长度，等于nfft。 下面列出利用周期图法估计频率和功率谱密度的函数的程序 %最大似然法利用周期图估计频率:mle. m randn('state',0);n=0:99;%取样点数为100 m=0.05;%设置噪声的标准差 Fs=1000;%设置采样频率为1000 x=exp(i*2*pi*0.48*n)+exp(i*(2*pi*0.50*n+pi/4))+m*(randn(size(n))+i*randn(size(n)));%定义输入的数据向量，加号前面的是信号，后面的是复高斯信号 [pxx,f]=periodogram(x,[],512,Fs,'twosided');%利用周期图进行最大似然估计，空向量[]为默认的矩形窗 P=10*log10(pxx);%取出pxx，并且对数化 plot(f,P);%图形显示 title('最大似然法利用周期图估计频率N=99，fl=0.48,f2=0.5,m=0.05');%加标题 其仿真图形为 3.2 频率的MUSIC 算法的仿真实现 MATLAB信号处理工具箱提供一种功率谱估计函数pmusic，可以实现多信号分类法。该函数将数据自相关矩阵看成由信号自相关矩阵和噪声自相关矩阵两部分组成，即数据自相关矩阵R包含有两个子空间信息:信号子空间和噪声子空间。这样，矩阵特征值向量也可分为两个子空间:信号子空间和噪声子空间。 为了求得功率谱估计，函数pmusic计算信号子空间和噪声子空间的特征值向量函数，使得在周期信号频率处函数值最大，功率谱估计出现峰值，而在其他频率处函数值最小。 其调用格式为:[Pxx,f]=pmusic(x,p,Nfft,Fs, `corr', `range') 式中,x为输入信号的向量或矩阵;输人参数p有两种情况:一种情况是一个整数标量，表示信号子空间维数标识信号子空间的维数为P，即单独利用信号子空间来估计频率。另一种情况是一个两个元素向量。P(l)指定信号子空间的最大维数。P的第二个元素p(2)和信号相关矩阵最小特征值的乘积表示一个阈值。如果特征值在阈值之下，则分配到噪声子空间，否则分配到信号子空间。‘corr’指定输入为一个相关矩阵，而不是信号数据矩阵。‘range’若为‘whole’则在频率区间[0,fs」上计算伪谱，这是x为复数时的默认值，若为‘half’则在指定的频率范围内计算伪谱，这是x为实数时的默认值。函数返回信号的伪谱S和频率向量f 。 下面列出以MUSIC算法估计信号频率的程序 %以MUSIC算法估计信号频率:music.m randn('state',1); fs=1000;n=0:99;M=2;m=0.01; %设置噪声的标准差,设置采样频率为1000,取样点数为100,M为信号空间维数，m为噪声方差 x=exp(i*2*pi*0.48*n)+exp(i*(2*pi*0.50*n+pi/4))+m*(randn(size(n))+i*randn(size(n))); %定义输入的数据向量，加号前面的是信号，后面的是复高斯信号 [X,R]=corrmtx(x,M,'mod'); %返回M+1阶的x的自相关矩阵 pmusic(R,M,'whole',512,fs,'corr');%图形显示 图(3- 2)以MUSIC算法估计信号频率 图(3- 3)以MUSIC算法估计信号频率 4 结果分析 通过对上面两幅图片的分析对比，当正弦波的频率能用周期图加以分辨时，则根据周期图谱峰的位置来估计正弦波的频率，这是一种最简便的方法，同时可避免最大似然估计遇到的困难。但在在加入一定噪声以后，正弦波频率很接近的情况下，以周期图为基础的最大似然估计方法就受采样点数的限制，周期图就无法分辨。因而采用频率分辨率更高的现代谱估计方法进行估计。可以看出多信号分类法是一种比较理想的方法。 参考文献 [1] 王立乾，赵国庆，郑文秀(基于现代谱估计的PSK信号频率估计方法[J](现代电子技术，2003(23): 44-47( [2] 张晓菲，刘振兴，陈栋(频率估计综述[J](信息技术，2011(11):58-62( [3] 赵媛媛(信号模型中若干参数估计问题的研究[D](合肥:中国科学技术大学，2011( [4] 邹建彬，张炜(复高斯白噪声下基于多种方法的频率估计[J](现代电子技术，2006(17):1-3+6( [5] 杨萃(噪声环境下频率估计算法研究[D](广州:华南理工大学，2010( [6] 汪琼，陈万培(基于MUSIC的含噪声信号频率估计[J](国外电子测量技术，2010(02):20-22( [7] 陈明(基于解相干信号的空间谱估计算法的研究[D](成都:电子科技大学，2011(