泛函分析练习题
一名词解释:
1.范数与线性赋范空间
2.无处稠密子集与第一纲集
3.紧集与相对紧集
4.开映射
5.共轭算子
6. 内点、内部:
7. 线性算子、线性范函:
8. 自然嵌入算子
9. 共轭算子
10. 内积与内积空间:
11. 弱有界集:
12. 紧算子:
13. 凸集
14. 有界集
15. 距离
16. 可分
17. Cauchy列
18.自反空间
二、定理叙述
1、 压缩映射原理
2. 共鸣定理
3.逆算子定理
4. 闭图像定理
5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理
6、Baire纲定理
7、开映射定理
8、Riesz表现定理
三证明题:
1.若
是度量空间,则
也使
成为度量空间。
证明:
显然有 (1)
,
当且仅当
。
(2)
(3)由
,
关于
单调递增,得
故
也是
上的度量。
2, 设
是内积空间,
,则当
时,
,即内积关于两变元连续。
证明:
已知
,即
。
故有
即
。
5.设
若
是从
的算子,计算
若
是从
的算子再求
。
解:(1)当
是从
的算子。
所以
。
取
,则
所以
。
故有
(2)当T是从
的算子时
所以
取
,则
。
又
所以
故有
6.若
是
上的另一完备范数(原范数记为
),并且当
时必有
,
,则
与
等价.
证明: 定义
,
因为
与
完备,显然
是一一的到上的线性算子,故只须证明
是连续算子.
由已知
时,必有
,
.
,即
一致收敛到
.由收敛的唯一性知
.
所以
为闭算子,又
与
完备, 由闭算子定理得,
是连续算子.
四论述题:
1、 证明
完备,并叙述证明空间完备的一般步骤。
2、 证明
为
上范数,并论述证明范数的一般步骤。