理论力学答案

思考题1.5、dr和dr有无不同？dV与dv有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论。dtdtdtdt答："即反应位矢r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而dt了直线的正方向后，上=dtdrdtTOC\o"1-5"\h\z竺只示r大小的改变。如在极坐标系中，dr二ri+roj而dr二r。在直线运动中，dtdtdt。且空的正负可表示空的指向，二者都可表示质点的运动速度；在曲线运动中竺丰dtHYPERLINK\l"bookmark2"\o"CurrentDocument"dtdtdr，且竺也表示不了dr的指向，二者完全不同。dtdtdtdV表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而只是质点运动速度大小dtdt的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，——=a+a,而=a。HYPERLINK\l"bookmark6"\o"CurrentDocument"dt十ndt十2.5、水面上浮着一只小船。船上一人如果向船尾走去，则船将向前运动。这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。2.9、秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。2.10、在火箭里的燃料全部烧完后，2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？.答：火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质量不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故§2.7（2）中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。3.4简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？答主矢F是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢r也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为i力系对简化中心的主矩。分别取O和O'为简化中心，第i个力F对O和O'的位矢分别为rii和r'，则r=r'+OO'，故TOC\o"1-5"\h\ziiiM二工(r'xF)卫，-OOJxFxF)-OO^xEFOriiiiiiiiiii二M+OOxEfoii即M鼻M主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力oo系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。设O和O'对质心C的位矢分别为r和r'，则r'=r+OO'，把O点的TOC\o"1-5"\h\zCCCC主矢F=EF.，主矩m移到C点得力系对重心的主矩MC=M+rCxEFioCoCiii把O'为简化中到的主矢F=EF和主矩M移到C点可得i.oiM=M'+rxEF=M+(r'-OO')xEF=M+rxEFCoCioCioCiiii简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。习题3.19长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？解如题3.19.1图，固定坐标系Oxy。杆从水平位置摆到竖直位置过程中只有重力做功，故机械能守恒。设此时的角速度为O,0则mga+——ma2右边第一项为质心运动动能，第二项为杆绕质心转动的动能。解上式得：0在杆脱离悬点后，根据动量定理和动量矩定理：mx=0①my=—mg②I(6=M③cczz③式中I为杆绕质心的转动惯量，M为沿过质心平行于z轴的合力矩，易知zM=0，又®，代入③式得①=.，3gzz(00z(i)02a即杆将作匀速转动。解①②得x（）—a亟c（0）02yc（0）二0,yc（0）i；3ga,x二0c（01y二一x2一ac3ac：2h\g所以质心的轨迹为一抛物线。故当y二—a-h时，杆的质心下降h，代入④式得c故t时间内杆的转数n=^L=丄旦=丄：亚2兀2兀飞2吐g2兀计a3.26棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为X。如任时，棒将与墙分离，试证明其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为sin-(2sinx13之。如题3.26.1图所示题3.26.1图坐标系Oxyz。设杆的长度为2a，质量为m。受到墙和地面的作用力分别为N,N，当杆与地面的倾斜角为0时，质心C的坐标为：21x二acos0cy二asin0cX=-asin00