多项方程式多项多项方程式方程式化学方程式快乐方程式
3-5多項方程式 by幸鵑老師
2一. 多項方程式,為整數,若的兩根,1,設a,0,b,0a,bax,bx,31,01.次方程式,設是次多項式, 為相異的整數,則數對 f(x)(a,b),___________nn
則稱方程式為次方程式。 f(x),0n
若,則稱為方程式的一個根。 f(,),0f(x),0,
2.實係數次方程式的實根可用圖形交點來解 nfx()0,
釋,
32一般的次多項式函數圖形是一條平滑的連續曲線。,2,設是方程式的三根,n,,,,,3x,5x,10x,4,0
( , () )xfx若該曲線與軸相交於點, 則下列何者正確,,,,, x00
51012,,,,,,,? ? ,,,,,,,,,則稱坐標為方程式的一個根。 xf(x),033
35111522234,,,,? ? ,,,,,,,若該曲線與軸不相交,則稱方程式無實根。f(x),0x,,,29
55545(,,)(,,)(,,),? ,,,,,,3333
3.根與係數的關係,
1?二次方程式根與係數的關係,
2f(x),ax,bx,c,0若為一個二次多項式,
b,,,,,,,,a且,,,為其二根, 則。 , c,,,,,a,
2?三次方程式根與係數的關係,
32,,,,,,3,設是方程式的三根,則,x,2x,4x,5,0
32f(x),ax,bx,cx,d,0若為一個三次多項式,
1(1,,)(1,,)(1,,),________? b,,,,,,,,,a,2(2,,)(2,,)(2,,),________? c,,,,,,,,,,,,且為其三根,則。 ,,,,a,
d,3,,,,,(,,,)(,,,)(,,,),________? ,a,
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32,4,設方程式有兩根互為相反數, x,ax,2x,6,0
求方程式的解及的值。 a
432有三重根為-2,,7,設方程式2x,9x,ax,bx,c,0
求。 (a,b,c),________
32 ,5,設方程式的三根成等差數列,x,6x,4x,k,0
求值。 k
32,6,設方程式的三實根成等比數2x,13x,26x,c,0
c列,求值。
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432,8,設方程式有三重根,求。 a2920240xxaxx,,,,,
二. 代數基本定理
1.代數基本定理,
每一個次方程式,只要,就至少有一個複數根。nn,1
推論,次方程式恰有個複數根。(重根記作個根)nnkk
2.有理根共軛,設為一個有理係數次方程式,f(x),0n
32a,bc,9,設是方程式的三根, 若已知為的一根,其中, ,,,,,f(x),0a,b,c,Q2x,x,3x,5,0c,Q
a,bc試求以為三根的新方程式。 則為方程式的另一根。 2,,1, 2,,1, 2,,1
3.虛根共軛, 設f(x),0為一個實係數次方程式, n
為的一根,其中, 若已知f(x),0a,b,c,Ra,bi
則為方程式的另一根。 a,bi
推論,實係數次方程式之複數根必出現偶數次。 n
(0個、2個、4個…..,不可能奇數個)
2f(x),2kx,(k,1)x,5 ,10,設,k,R,k,0,若
f(3,4i),2i,9,則f(3,4i),________
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。 的一根,則a,b,___________
432,11,試求方程式的解。 x,4x,x,4x,1,0
422,14,,是方程式 a,b,R2x,17x,53x,ax,b,03,2i
的一個複數根,求其他三根為________。
5432,12,試求方程式的解。 x,2x,5x,5x,2x,1,0
422 ,15,a,b,R,實係數方程式2x,17x,53x,ax,b,0
1,ai, b,2i有兩虛根,則下列何者正確,,,,,
123 ? ? ? a,2b,,1k,1
345?實根為 ?此方程式無實根。 2
422,1a,b,13,為有理數,且是方程式 x,8x,ax,b,0
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12三. 勘根定理 ? ?f(1,i),0f(2,i),0
3勘根定理,設為一實係數次方程式,,?沒有實數滿足 f(x),0a,b,Rf(x),xnx
34f(x),0若,則之間至少有一個實?沒有實數滿足 f(a),f(b),0a,bx
5根。 ?若且,則 f(0),0f(2),0f(4),0,16,設為實係數三次多項式,若已知, f(x)f(2,i),0
的函數圖形與軸有幾個交點,___ 則y,f(x)x
,20,設為實係數方程式,則下列何者正確,f(x),0
1?若,則區間必無實根 0,f(1),f(2)(1,2),17,設為實係數四次多項式,若已知,f(x)f(3,i),0
2?若,則區間必有實根 f(1),0,f(2)(1,2)
3且,則的函數圖形與軸?若,則區間必無實根 f(5),0, f(10),0y,f(x)f(1),f(2),0x(1,2)
4有幾個交點,___ ?若區間有實根,則 (1,2)f(1),f(2),0
5?若區間無實根,則f(1),f(2),0 (1,2)
,18,設f(x)為實係數三次多項式,若已知f(0),0,
,21,設f(x)為實係數多項式,和是兩個相異的實數,mn
f(2),0, f(5),0 ,則y,f(x)的函數圖形與軸有x
則下列何者正確,,,,,
幾個交點,___
1m,?f(m)f(n),0f(x),0若,則在n之間恰有一實根
2m,?若f(m)f(n),0,則f(x),0在n之間恰有一實根
3m,f(x)f(1,i),0f(m)f(n),0f(x),0,19,設為實係數三次多項式,若已知,?若,則在n間至少有一實根
4m,f(m)f(n),0f(x),0則下列哪些敘述是正確的,,,,, ?若,則在n之間沒有實根
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23是唯一的實根 ?P(x),2
5m,?若在間至少有一實根,則f(x),0f(m)f(n),0n
3 ?不能被整除 P(x)(x,4)
4 ?一定有小於3的實數 P(x),0
5 ?除以的餘式也是2 P(x)(x,3)(x,3)
32f(x),2x,7x,x,9,22,設,則在下列哪些區f(x),0
域內至少有一根?,,,,
123?-1與0之間 ?0與1之間 ?1與2之間
45?2與3之間 ?3與4之間
2fxkxkxkRk()2(1)5,,0,,,,,, ,24,設,若f(x),0
在0與1、-1與-2之間各有一實根,求的範圍。a
P(x) ,23,設是一個五次實係數多項式。
若P(x) 除以的餘式是2, x,3
且商Q(x)是一個係數均為正數的多項式,
則下列何者正確,
21fxaxaaRa()2(25),,0,,,,,P(x),0Q(x),0fx()0, ?與有共同的實根 類,設,若方程式有
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一根在-2與-1之間,求的範圍。 a
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,25,, f(x),(x,2)(x,4)(x,6),(x,3)(x,5)(x,7),0
23(x,x,1),1,0則下列哪兩個整數之間有此方程式的實根, 有幾個相異實數解。,28,試問方程式
123 ?2與3之間 ?3與4之間 ?4與5之間
45?5與6之間 ?6與7之間
123,29,設, f(x),,,,1,26,fxxaxbxbxcxcxa()()()()()()()0,,,,,,,,,,x,1x,2x,3
的正根有幾個?________ f(x),0若,且有兩實根且,試比較,,,,,,abc,,
的大小。 abc,,,,,,
5432fxxxxxx()56138310,,,,,,,,27,設
5432gxxxxxx()51628310,,,,,,
試找出fx()0,與gx()0,兩方程式所有共同實根
的位置,它們分別是在哪兩個相鄰整數之間,
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3f(x),x,2x,1 , ,31,設a四. 正數的正次方根 試証在1,2之間必存在一實數使得。ancf(c),c
n1.設,是不小於2的正整數,所有滿足的nxa,a,0
。
解叫做的次方根,其中的正實數解恰有一個,an
na的正次方根,記做。 稱an
nnnn12aa,02. 滿足下列兩個條件,? ?aa,,,
,30,設是一個固定的正數, a
n試証,恰有一個正實根。 xa,
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