周传雄向北飞歌词

[知识]泛函分析讲义01 泛函分析讲义 第一讲:距离空间 关 键 词:距离、距离空间、三角不等式、收敛 主要内容:介绍距离空间的定义、点列收敛及其性质 定义1. 设是一个非空集合，若对于中的任意两点和，有唯一确定的XXyx实数与之对应且满足条件: ,(x,y) (1). ，= 0 (非负性) x,y,(x,y),0,(x,y), (2). = (对称性) ,(x,y),(y,x) (3). + (三角不等式) ,(x,y),(x,z),(z,y), X那么称是以为距离的距离空间，记为，为间的距离。条件(1) ,x,y(X,,),(x,y)—(3) 常称作距离公理。 为的子空间，仍以,为距离。 Y,(X,,)(X,,) nn例1(维欧氏空间，对于R中任意两点n,,R,x,(x,x,...,x):x,R12ni x,(x,x,...,x)，y,(y,y,...,y) 12n12n n2规定距离 ,(x,y),(x,y),iii,1 CC例2(={:在上连续}，，规定 ff[a,b],f,g,[a,b][a,b] ,(f,g),maxf(t),g(t)t,[a,b] ,(x,y),sup|x,y|m,{x,(x):，M,0,|x|,M}例3(使. ,x,y,m，令.iiiii E,,例4(设E,R,E,,, 0 < mE < S(E)示定义在上的几乎处处有限的 ,S(E).可侧函数全体(当f~g时，f、g不加区别)。任取f、g规定 ,|f(t)g(t)| ,,(f,g)dt,E，,1|f(t)g(t)| 则为距离空间. S(E) 例5(设表示一切实数列全体所组成的集合，任取，x,(x,x,...,x,...)s12n ,|x,y|1ii，规定距离，则为距离空间。(x,y),,y,(y,y,...,y,...)s,12ni1，|x,y|2i1,ii bppp例6 L={f: } (，对于, 规定距离|f(t)|dt,,Lp,1),f,g,[a,b][,]ab,a b1pp ,(f,g),(|f(t),g(t)|dt),a ,ppp例7 ，对于 规定距离,x,y,l,l,{x,(xx......}:|x|,,}1.2,i1i, 1,p,,p,(x,y),|x,y|,, ,iii,,1, 有了距离空间概念，下面引入点列收敛的概念。 X,定义2 设是一个距离空间，, 若时, x,x,X,(x,x),0,n,,(X,,)nn则称{x}按距离收敛于, 记作limx,x. 这时称{x}为收敛点列, 称xx,(x,y)nnn为{x}的极限. n 下面是距离空间中关于点列收敛的简单性质。 定理1 距离空间中收敛点列的极限是唯一的。 x,x.x,x,x}定理2 若则{的任何子列 nnnk X(X,,),x,X,rS(x,r),{x:,(x,x),r}定义3 给定x>0. 叫作内以为0000 XSx,r),{x:,(x,x),r}x中心, 以为半径的开球. (叫作内以为中心, 以rr0o0为半径的闭球。 x}x}定理3 设{是(X,,)中的收敛点列, 则{是有界集. nn 下面讨论一些距离空间中点列收敛的具体含义: nR1. ( k(k)(k)(k)(k)(k)()令，，则，x,xx,(x,x,...,x)x,(x,x,...,x)x,x,12nii12n n(即点列的收敛相当于依坐标收敛((证略) Ri,1,2,...,n 2. C[a,b] 设,则在上一致收敛于f,f,Cf,f,f(t)[a,b]f(t).n[a,b]nn 证明: (略). 3. S(E). m设则 f,S(E),f,S(E),f,f,f,,,f.nnn4(s空间. nn(n)(n)(n)(n)()()设，，则，x,(x,x,...,x,...)x,(x,x,...,x,...)x,x,x,x12nii12i i,1,2,...