卫星和飞船的跟踪测控模型

卫星和飞船的跟踪测控模型 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): C 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): Y1305 所属学校(请填写完整的全名): 参赛队员 (打印并签名) :1 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 2009 年 09 月 14 日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号): 卫星和飞船的跟踪测控模型 摘 要 本文就如何设计卫星或飞船的测控站点建立了相应的数学模型，并且对神舟五号的测控站点所测控的范围进行了分析。 ，我们在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，不考虑对于问题一 地球的自转，把卫星的运行轨迹分为三个阶段，并利用阿基米德螺旋线对其每个阶段一一进行分析、计算，进而确定测控站的分布及数量。最终计算出需要最少的测控站为12个。 对于问题二，考虑到地球自转速度与卫星运行速度的不同，且卫星绕地球的运行轨迹与赤道面有一定的夹角，造成卫星在运行的过程中相继两圈的经度有一定的差异，导致卫星运动的星下点轨迹呈字型。这些曲线所形成的区域是环绕在地球表面的带状。, 要想每个地方都能被测控站观测到我们用正六边形来进行覆盖。这样计算出至少需要27个测控站来进行监测。 对于问题三，我们从网上搜集到神舟五号飞船的运行资料和测控点的分布信息，结合对问题一、二的求解，将这些测控站点对该卫星所能测控的范围进行了分析。 关键字 测控站 卫星运行轨迹 阿基米德螺旋线 1 卫星和飞船的跟踪测控模型 一、问题重述 卫星和飞船的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船(特别是载人飞船)进行全程跟踪测控。 测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。 利用模型分析卫星或飞船的测控情况，要求我们解决的具体问题如下 1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控, 2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的, 3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。 二、模型假设 1、卫星在运行的过程中不受外界环境的影响，始终按照所预定的速度运行。 2、对于问题一不考虑地球自转 3、假设测控站的位置不受地形的影响。 4、假设测控站的测控效果不受周围任何信号的影响。 三、符号说明 r 卫星运行至40km高度时距地心的距离 1 r 卫星运行至340km高度时距地心的距离 2 , 卫星从40高度运行到340所转过的角度 0 L 中线长度 K 卫星型下点轨迹的区域宽度 四、模型的假设及求解 问题一 所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面时，至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控, 1、模型建立及求解 2 设卫星运行轨迹是以螺旋式进入正轨，所以根据阿基米德旋线:， r,a,建立如图所示的极坐标系: 图一 卫星从地面D点出发，直线上升至A点，根据资料得:当卫星到达A点时，其进入平流层，且AD=40km时卫星要进行变轨运动。B点为卫星所到达的最高度340km，曲线AB为卫星变轨轨迹。 ,644012280r,6440km根据，可求得在A点即，时，. ,a,,r,a,,1,2, 2 r,6740km又根据卫星运行至B点时的，可求得 2 r6740,2EOB， ，,,,0.5233,,94.1912880a , ,,,所以。 ,,94.19,90,4.190 命题 问题一的假设条件下，一个测控点的范围在地心的夹角大于卫星变轨过, ,程中地心的夹角。 0 在卫星变轨的过程中，它是从40km的高度斜上升至340km的高度。在这个过程中卫星的高度是在不断变化的，我们现在假想若卫星以40km高度，围绕地球作圆周运动，那么按照这个高度计算出，一个测控站所能测控到的范围在地心的夹角。 , ,如图三，在三角形ABC中，可算出。再根据正弦定理得: ，ACB,93 ,sin93sin,, 6400406400， 3 ,,,,,,,,,,82.75解得，。所以，。又因为， ,180,93,82.75,4.25,,8.5,,4.1902 ,所以>,由此可得出结论:从卫星起初发射到开始变轨再到变轨完成，这个过程中,0 完全可以由一个测控站来监控。证毕。 观测点若能观测到40km高的范围，则它必定能监测到340km高的范围。所以我们将问题更加简化，以340km为高度绕地球做圆周运动，计算出所需最少测控站数。 ,sin93sin,,,,71.5,同理: 解得。 64003406400， ,,,,，，180,71.5,93，2,31所以，一个测控站所能监测到的范围在地心的夹角为 ,360,11.612测控点的数目为个，每个监控点可控的地表区域直径为,31 31(公里)。 d,,,6400,3462180 0360,11.6所以在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，由，容031易推知至少应该建立12个测控站才能对其进行全程跟踪测控.此时控制区域覆盖方式如图二所示可以覆盖到以赤道为中线的一条带形区域。 图二 问题二 如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的, 1、模型的建立及求解 ,如图三卫星在高度为340km上空绕地球做匀速圆周运动，地心角对应的球,31,冠为一个测控站所能观测到的范围。我们以神舟七号飞船的运行为例:经查资料可得， ,神七的运行轨迹所在的面与赤道面的夹角为42，绕地球转一圈的时间为90分钟(1.5 24小时)。地球自转一圈用时24小时，所以说卫星运行速度是地球自转速度的倍，,161.5且二者的方向是同向的。 4 图三 当前卫星运行的同时地球同时也在自转，所以说地球自转时该卫星在运行过程中相 ,360,,,22.5继两圈是我经度出现度漂移。又根据文献[1]可知卫星的星下点轨迹呈字16 ,状(类似于正、余弦曲线)，所以卫星的星下点轨迹由16个状的正余弦曲线依次交织而形成。如下图四(仅显示其中三条其它线条未画出)为卫星在地球上的星下点轨迹，构成一个以赤道为中线的带形区域。结合图三的启发，我们想到用一些大小相同的圆形对该区域进行覆盖，以使得圆的个数最少，即所设观测点的个数最少。 图四 卫星星下点轨迹 (来源于) 0根据文献[2]知神州七号运行轨道与赤道夹角为42，可得区域宽度为公里，K,9383 ,中线长度为公里，两侧边线长度公里。 L,40212L,21446.4 5 图五 另一方面，不难证明圆覆盖区域时，以六等分点为圆两两相交时的焦点时，覆盖效果最佳，或者说用正六边形来进行覆盖。由于每个监控点可控的地表区域直径为 31(公里)，从而对应正六边形如下图。 d,,,6400,3462180 图六 d,3000由此我们可以进行以下近似的计算，首先正六边形对边距离约为公里，0 ,再由，，，，推知，至少需要三层，所用圆总数为K/3000,3L/3000,13L/3000,7 ，则需要安排27个测控站。 N,13，7，7,27 问题三 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。 6 1、模型的建立及求解: 根据调查资料[3]神舟五号的测控分布点及运行资料如下: 神舟五号”飞船将于10月发射升空，据香港《文汇报》报道，目前以北京为轴心，在全国8个中心城市布置了共20个监控点以及三大洋布下多个测控点和出动测控船，全面监测“神舟五号”发射、运行、回收情况。目前，北京总部和11个分点正在做最后的准备，监测工作已经到了最后准备阶段。 据介绍，中国共拥有“远望一号”、“远望二号”、“远望三号”和“远望四号”4艘航天测控船。在神舟飞船运行期间，它们分别在太平洋、大西洋等布阵，执行境外对“神舟五号”的测控与通信任务。其中将由“远望三号”船向“神舟五号”发出返回指令。按照飞行计划，“神舟五号”届时建立返回姿态，返回舱与轨道舱分离，制动发动机点火，开始从太空向祖国大地返回. 目前，神舟飞船的测控点为12个，陆上是北京、西安、渭南、青岛、厦门、喀什、卡拉奇和纳米比亚，海上是日本海、南美南端海域、大西洋和澳大利亚海域，分别由4艘“远望号”测控船承担。 资料[4]神舟五号飞船运行过程时间表: 09:00 “神舟”五号飞船成功发射升空 10月15日 10月15日 09:10 “神舟”五号与“长二F“火箭分离 10月15日 09:34 航天员杨利伟向地面报告:“感觉良好” 09:45 李继耐宣布:“神舟”五号载人飞船发射成功 10月15日 10月15日 11:58 神五运行平稳 大约1个半小时绕地球飞一圈 10月15日 14:06 航天员杨利伟进行太空飞行中的首次休息 10月15日 17:36 曹刚川与航天员进行“天地对话” 10月15日 19:18 杨利伟在神舟飞船上展示中国国旗 10月16日 00:14 飞行进入第十一圈 航天员安然入睡 10月16日 04:19 神五飞行进入第14圈 将在预定地区着陆 10月16日 05:04 神舟五号飞船返回舱成功进入返回轨道 10月16日 05:35 神舟五号飞船轨道舱与返回舱分离 10月16日 06:12“神舟”五号载人飞船成功着陆 10月16日 06:43 中国首次载人航天飞行取得圆满成功 问题的分析:现在对于神州五号飞船的运行情况进行分析。我们从搜集的文献中可以看出，卫星在从发射到围绕地球做圆周运动的过程中最少是由两个阶段组成，变轨过程和以一定高度做圆周运动的过程。有时变轨过程可以分为多次变轨， 这样运动轨迹比较复杂。但在问题一中，我们是从飞船倾斜时(卫星进入平流层即40公里的高度)就开始进行变轨运动。而神州五号飞船在近地点高度200公里、远地点高度350公里的椭圆轨道上，实施变轨后，直接进入343公里的圆轨道。这恰好和我们问题一中的卫星运行情况类似于神州五号飞船的运行状况。对于测控点对该卫星随能测控的范围进行分析。神州五号飞船的运行高度为340km，测控站点为12个。如图七上空中的阴影部分为一个测控站的观测范围，可将其近似的看做以AD为半径的圆。 7 图七 ,,由问题一中我们知道==。在直角三角形AOD中:OA=6470km 15.5，AOD2 ,AD=OAsin=1801km 。所以我们就得出了一个测控点的测控范围为以测控点为中，15.5 心，以1801km为半径的圆形区域。 我们已经神舟五号的测控点的个数及具体的分布方位。然后以每一个测控点为中心，以1801m为半径作出每一个测控点的测控范围，就得到了神舟五号的全部测控范围，不必再作图分析了。 模型评价 问题一将卫星的运行轨迹较理想化，假设了测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，我们采用了阿基米德旋线模拟卫星的运行轨迹，对测控站的数量进行求解。结果比较客观。 问题二考虑到了地球自转对卫星运行的影响，且卫星绕地球的运行轨迹与赤道面有一定的夹角，造成卫星在运行的过程中相继两圈的经度有一定的差异，导致卫星运动的星下点轨迹呈,字型。这些曲线所形成的区域是环绕在地球表面的带状，相比问题一较为复杂，我们用正六边形来进行覆盖。这样计算出至少需要27个测控站来进行监测，得出的结果比比较合理。 参考文献 [1]，2009，9，12。 [2]，2009，9，12 [3]，2009，9，11。 [4]，2009，9，13。 [5]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南:湖南教育出版社，2008。 [6]侯风波，高等数学，北京:高等教育出版社，2003。 [7]杨启帆，数学建模，北京:高等教育出版社，2005。 8