初一数学竞赛讲座⑻

数学竞赛—教材系列PAGEPAGE7初一数学竞赛讲座第8讲列方程解应用题　　在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。　　列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数，只要求出五位数就可以了。按题意，这个六位数的3倍等于。解：设五位数，则六位数，六位数，从而有　　3（105+x）=10x+1，　　　　　x＝42857。　　答：这个六位数为142857。说明：这一解法的关键有两点：⑴抓住相等关系：六位数的3倍等于六位数；⑵设未知数：将六位数与六位数用含的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。　　（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。　　例2有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？　　分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。　　解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得　　2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。　　解得x＝500。推知队伍长为：（2.6-1.4）×500=600（米）。　　答：队伍长为600米。　　说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。　　例3铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？　　分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。　　解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得　　（x-1）×22=（x-3）×26。　　解得x=14。所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。　　答：这列火车的车身总长为286米。例4如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。　　解：设追上甲时乙走了x分，则甲在乙前方3×90=270（米）。依题意故有：72x＝65x+270解得：在这段时间内乙走了：（米）由于正方形边长为90米，共四条边，故由　　　　可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。　　答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。　　例5一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？　　分析：这是流水中的行程问题：　　顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。　　解答本题的关键是要先求出水流速度。　　解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，　　　　再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有　　　　　解得x=20。　　答：甲、乙两港相距20千米。例6某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？分析：把150人分三批，每批50人，均要在115分钟即（时）内赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行x时，乘车时。列出方程，解出，便容易安排了，不过要计算一下客车能否在115分钟完成。解：把150人分三批，每批50人，步行速度为4千米/时，车速为36千米/时。设每批师生步行用时，则　　解得x＝1.5（时），即每人步行90分，乘车25分。三批人5时同时出发，第一批人乘25分钟车到达A点，下车步行；客车从A立即返回，在B点遇上步行的第二批人，乘25分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在C点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘25分钟车呢？必须计算。第一批人到A点，客车已行（千米），第二批人已步行4×（千米），这时客车返回与第二批人步行共同行完（千米），需（时），客车与第二批人相遇，就是说客车第一次返回的时间是20分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分，所以当客车与第三批人相遇时，客车已用25×2＋20×2=90（分），还有115-90=25（分），正好可把第三批人按时送到。　　因此可以按上述方法安排。　　说明：列方程，解出需步行90分、乘车25分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车25分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。二、引入参数列方程解应用题　　对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。　　例7某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？　　分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。　　解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得　　　　由①②，得　　　　将③代入①，得　　　　　　　　说明：此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多，可参考本丛《五年级数学活动课》第26讲。　　例8整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？　　分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程。若能消去a，b，c，便可解决问题。　　解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有　　　　②-①，得　　36b=120C。④　　③-②，得　　96xc=1800c＋36b。⑤　　将④代入⑤，得　　96xc＝1800c+120c。　　解得x=20。　　答：有20头牛。　　例9从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9时，从乙地到甲地需时。问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得①＋②，得将y=210－x代入①式，得　　解得x＝140。　　答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。三、列不定方程解应用题　　有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。　　例10六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？　　解：设该班有x个男生和y个女生，于是有：4x+3.25y=3.6（x+y）　　化简后得8x=7y。从而全班共有学生：　　在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以　　推知x＝21，y=24。　　答：该班有21个男生和24个女生。　　例11小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？　　解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。根据得61分可列方程：9x+5y+2（10-x-y）=61，　　化简后得7x=41－3y。　　显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5。　　答：小明至多套中小鸡5次。　　例12某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）。问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？　　分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低，在配套下安排生产。　　我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣，做裤子效率高的多做裤子，才能使所做衣服套数最多。一般情况，设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子，它们的比为；类似的，B组每天缝制上衣与裤子数量的比为。若＞，则应在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。这是因为，若安排A组做条裤子，则在这段时间内可做件上衣；这些上衣若安排B组做，要用天时间。在这段时间内B组可做条裤子，由于，因此A组尽量多做上衣，B组尽量多做裤子。解：甲、乙、丙、丁4组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为，，，，由于＞＞＞，所以丁组生产上衣和丙组生产裤子的效率高，故这7天全安排这两组生产单一产品。　　设甲组生产上衣x天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣y天，生产裤子（7-y）天，则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（条）。依题意，得　　42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，　　令u＝42＋8x＋9y，则　　显然x越大，u越大。故当x=7时，u取最大值125，此时y的值为3。　　答：安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计125套。　　说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。练习8　　1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。问：乙跑完一圈用多少秒？　　2．小明在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程跑多少秒？3．如右图，甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶点上，同时开始沿逆时针方向沿池边行走。甲每分钟走50米，乙每分钟走44米，求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形）。　　4．农忙假，一组学生下乡帮郊区农民收割水稻，他们被分配到甲、乙两块稻田去，甲稻田面积是乙稻田面积的2倍。前半小时，全队在甲田；后半小时一半人在甲田，一半人在乙田。割了1时，割完了甲田的水稻，乙田还剩下一小块未割，剩下的这一小块需要一个人割1时才能割完。问：这组学生有几人？　　5．若货价降低8％，而售出价不变，则利润（按进货价而定）可由目前的P％增加到（P＋10）％，求P。　　6．甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。试求甲所得的余数。　　7．某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种，快车的车速是慢车车速的1.2倍。慢车每站都停，快车则只停靠中间1个站。每站停留时间都是3分钟。当某次慢车发出40分钟后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到达终点。问：快车从起点到终点共需用多少时间？　　8．甲车以160千米/时的速度，乙车以20千米/时的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车1次，甲车减速而乙车则增速。问：在两车的速度恰好相等的时刻，它们分别行驶了多少千米？练习8答案　　1．24秒。　　　　2．44秒。　　　　推知小明前40秒跑了5×40=200（米），后40秒跑了4×40=160（米）。因为小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行进的，其余160米是以4米/秒的速度行进的，所以，小明后一半路程共用20÷5+160÷4＝44（秒）。　　3．34分。提示：仿例4。　　4．8人。解：设学生共x人，甲田面积为2a，乙田面积为a，则　　解出x=8。　　5．15。　　解：设原进货价为x，则下降8％后的进价为0.92x，依题意有　　x（1+0.01P）＝0.92x[1+0.01（P+10）]，　　解得P＝15。6．4。解：设甲所得的商和余数分别为x和y，乙所得的商为z，则乙所得的余数为13-x。依题意得8x+y=9z+（13-x），即9（x-z）=13-y，推知13-y是9的倍数。因为y是被8除的余数，所以只能在0至7之间，所以y=4。7．68分。解：设起点到终点的路程为S，慢车车速为V，则慢车行驶的时间为，快车行驶的时间为。依题意得：共需65+3=68（分）。8．940km，310km。解：在甲车第一次追上乙车的那一时刻，甲车的速度为160（1-），乙车的速度为20（1+）。仿此推理可知，设甲车在第次追上乙车的时刻，两车速度相等，则应有　　所以n=3。设甲车第1次追上乙车用了t1时。因为甲比乙车多跑1圈，所以有：设甲车从第1次追上乙车到第2次追上乙车用了t2时，仿上可知：设甲车从第2次追上乙车到第3次追上乙车用了时，仿上可知时。从而甲行驶了：乙车行驶了：