2012-2013高等
第一学期期末考试(张家港校区理工类)试卷及
江苏科技大学张家港校区
2012, 2013学年第一学期期末
高等数学(理工类)课程
(B)卷
六 题号 一 二 三 四 五 七 总分
得分 阅卷 人
一 选择题(每小题3分,共15分)
x,01. 下面函数中,在点连续的是 ( )
1sinx,,,2,0x,x,,ex,0,(A) (B) ||x()x,fx(),,,密封线内不要答题,,0,0x,1,0x,,,
11,,xx,,(12),0,,xxex,0,fx(),(C) (D) fx(),,,2,ex,0,,0,0x,,,
1x,0yx,sin2.当时,曲线 ( ) x
(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平又有铅直渐近线
,,,3. 若二阶可导,且f(x),,f(,x),又当x,(0,,,)时,f(x),0,f(x),0, fx()
则曲线在(,,,0)内: ( ) yfx=()
(A) 单调下降且凸 (B) 单调下降且凹
(C) 单调上升且凸 (D) 单调上升且凹
,12Ifxdx,(sin)Ifxdx,()4. 已知在[0,1]上连续,,, fx()fx()0,,21,,00
,4Ifxdx,(tan),则 ( ) 3,0密封线内不要答题
III,,III,,III,,III,,(A) (B) (C)(D) 1233122311325(下列反常积分收敛的是 ( )
,,,,lnx1 (A) (B) dxdx,,eexxlnx
,,,,11dxdx(C) (D) ,2,ee(ln)xxxlnx 学院 专业 班级 学号 姓名
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二 填空题(每小题4分,共24分)
2,1x,,lim()fx1. ,则= fx(),,x,10,1x,,
fxfx,,2,,,,,00,2. 若则 fx,1,lim_____________.,,,0,,03,
12n222n3. 极限,,,?, 。 limln(1)(1)(1),,nnnn
,42xxxdxsincos____________.,,,,4. ,,,2
3225. 计算曲线上从a到b的一段弧长是__________________ yx,3
yx,2,6. 方程满足所给初始条件的特解为 yey,01,,,,
三 计算题(每小题5分,共30分)
2xxxdxlim()1. 求极限 2.求 ftdt(a,0),,a,xa22,xaa,x
,1xx,sinx,12dx3. 计算定积分 4. dx,,0,3211cos,x1,x
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sinx,5、已知是的原函数,求 xfxdx()fx(),x
22,dy,xt=ln1,6、求参数方程所确定的函数的二阶导数 ,2dxyt=arctan,,
,aacosx4fxdxfxfxdx()[()()],,,,四.证明:并求积分(8分) dx,,x,a,0,,,1e4
xxfxftdtxtfxtdt,,,fx五、设连续,且满足,求(8分) ,,,,,,,,,,00
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2x=0六、已知曲边三角形由抛物线及直线,所围成,求: y=1yx=2
(1)曲边三角形的面积(3分)
(2)该曲边三角形绕旋转所成旋转体的体积(4分) y=1
12,x13fefxdx(1)3(),七(设一阶连续可导,且 fx(),0
21,,(1) 用积分中值定理证明存在一点,使得 (2分) ,eff()(1),,
(2) 证明存在一点,使得 (6分) ,,(,1),ff'()2(),,,,
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江苏科技大学(张家港)2012,2013学年第一学期
高等数学1(理工类)
(B)答案及评分
一、A B C B D
332222二、1. 2 2. 3. 4. 2 5( -4ln2-2[(1+)-(1+)]ba33
111--2yx 6. ee=-+e22
三(计算题
xx1. 解: lim()ftdt,a,xa,xa
x,,lim()ftdtxfx+(),............................................................................2 ,,,a,xa,,
................................ .........................................3 ,afa()
,,x,asint2t,(,,).解:令 ……………………………………….1 22
22asintdt 原式= ……………………………….………….1 ,
1,cos2t2 =adt …………………………………….…….1 ,2
22atasin2t =,,c …………………………………….……….1 24
2axx22arcsin,a,x,c = ………………………..………………….1 22a
,,xdx(1cos),22=3( 解:原式dxdx, ………………………..…………….1 ,,001cos1cos,,xx
,,xxdx(1cos),222,,secdxdx ………………………..………………….1 ,,00221cos,x
,,,x2x22,,,,tan|tanln(1cos)|xx ………………………..…………………2 002,02
,, ………………………..………………….1 2
11x1,4. 原式=………………………..………………….1 dxdx,,,,332211,,11xx
11, =………………………..………………….1 0dx,,321,1x
32xt,dxtdt,3令 则………………………..………………….1
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2111261t,,原式=………………………..…………….1 dxdtdt,,,61,,,,,223200011,,tt,,1,x
3,= ………………………..………………….1 6,2
,sincos-sinxxxx,,,5.解:由题意得. ........................................ 1 fx()==,,2xx,,
, ........................................ 2 xfxdxxdfxxfxfxdx()=()=()-(),,,
cos-sinsinxxxx, ........................................ 1 =-+xC,2xx
2sinx=. ....................................... 1 cos-+xCx
1
2,dy(arctant)11,t,,,6. 解:~ ........................................ 2 2tdxt,[ln1,t]21,t
11,,()222dy1,ttt,,,, , ..............................................................3 232tdxt,[ln1,t]21,t
aa0fxdxfxdxfxdx()()(),,四、证明: ..................................................... 1 ,,,,,aa000aa令xtfxdxftdtftdtfxdx,,,,,,,,,,()()()()() ..................2 ,,,,,aa00
aa?,,fxdxfxfxdx()=()() ..................................................... 1 ,,-0a
,,coscoscosxxx44 ..................................................... 2 ,,dxdx(),xxx-,,0,,,,111eee4
,4,cosxdx ..................................................... 1 ,0
2= ..................................................... 1 2
xtu,,五、解:令
xxxxtfxtdtxufuduxfuduufudu,,,,,.............................2 ,,,,,,,,,,,,,,0000
xxxftdtxxfuduufudu,,,所以 ,,,,,,,,,000
xxfxfuduxfxxfxfudu,,,,,,11求导得: .........................2 ,,,,,,,,,,,,00
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,求导: ............................ ................................. ......................................1 fxfx,,,,,
x?,fxce............................ ................................. .....................................1 ,,
xxfxfudu,,1?,fxe由等式得 则 ................2 c,1f01,,,,,,,,,,0
21y六、解:(1)................... ................................. ......................................2 Ady=,02
31y1= ................... ................................. ......................................1 066
122Vxdx=(1-2),(2) ................. ......................................2 ,0
13,4222=(-+)=xxx ................. ......................................2 ,23120
七、证明:
1,,,使得 由积分中值定理:,,,0,,,3,,
12221x,,1-1-1-3fefxdxefef,,,,,,, ......................................... 2 (1)3()3()(0)(),0321,x设 .................................................... 2 Fxefx()(),
,,1,,1则在上连续,在内可导 Fx(),,,,
且 .................................................... 2 FfF()(1)(1),,,
1,,,由罗尔定理,至少存在一点使 .................................. 2 ,,(0,1)F()0,,,0,,,3,,
即 .................................................... 1 ff'()2(),,,,
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