华罗庚证明的哥德巴赫猜想与三素数定理、陈氏定理的比较
童 信 平
1742年6月7日,时任普鲁士派往俄罗斯的公使、数学业余爱好者哥德巴赫写信给欧拉。同年的6月30日,欧拉回了信。这二封信确立了下面的二个哥德巴赫猜想:
哥德巴赫猜想(A):“大于4的偶数可以写成二个奇素数相加。”又称为偶数哥德巴赫猜想。简称“1+1”。
哥德巴赫猜想(B):“大于7的奇数可以写成三个奇素数相加。”又称为奇数哥德巴赫猜想。
20世纪20年代,哈代和李特伍德二人进一步提出了这二个猜想的
法个数(
数量)的猜想:公式(1)是偶数哥德巴赫猜想的表法个数(答案数量)的计算公式,称为哈代-李特伍德猜想(A)。公式(2)是奇数哥德巴赫猜想的表法个数计算公式,称为哈代-李特伍德猜想(B)。参照素数定理的证明过程,需要通过公式(1a)、(2a)来证明公式(1)、(2),条件是找到公式中前面的那些参变量和后面的O(1)并证明,N??时,O(1)?0。
p-1N1 [1][2](1) r(n),2c(n)【其中,c(n)(=c(N))= ? (1- ) ? 。】 222(p-1)p-2lnN 3?p?N p|N 3?p?N
N[1][2](1a) r(n)(= r(N)),2c(N)(1+ O(1))【要求找到前面的参变量和O(1)并证明,N??时,O(1)?0。】 222lnN
NNNlnlnNNlnlnN[3](1b) Ф(N)= S(N)+ O()=2 c(N) + O() 【1985年,华罗庚指出,r(N)(= 15/25/222(lnN)(lnN)lnNlnN
[3]r(N))= Ф(N)+ Ф(N)+ Ф(N)+ O()。其中,后面三项目可以忽略。他得到公式(1b)。】 N2123
N [4](1c) N(1,2),0.67c(N) 【这是陈景润证明的下界估计。】 2lnN
211n1[1](2) r(n),δ(n)【其中,δ(n)= ? (1- ) ? (1+)。】 2333(p-1)2(p,1)(lnn)
(p,n)=p (p,n)=1
2n1(2a) T(n)(= r(n))=δ(n)(1+ O(1))【要求找到前面的参变量和O(1)并证明,N??时,O(1)?0。】 332(lnn)
22nn1(2b) T(n)(= r(n))=δ(n)+ O()【这是1937年的证明,从此三素数猜想成为三素数定理。】 3342(lnn)(lnn)
下面
公式(2b)、(1b)、(1c)之间的差别:
公式(2b)只适用于“充分大”,对于0,“充分大”和“充分大”,?这二个区间,还需要另外的证明。
公式(1b)的精确度比公式(2b)的低,它适用于0,?,这就证明不采用“充分大”完全可以证明“1+1”,所以,综合效果显然比公式(2b)合理。这二个公式还有一个共同的缺点:它们没有给出更合理的(1+ O(1))。
公式(1c)的缺点是:?公式(1c)只适用于“充分大”;?没有找到系数值2,所以,潘氏兄弟说:“(陈氏
[5]定理的)系数值,可能要大于2才会有价值。”由此可见,把这个公式作为“1+1”的下界估计是没有价值的;?没有找到 O(1),更没有证明,N??时,O(1)?0。所以,王元说:“陈景润从未去证明1+1,甚至都没想
[6]过自己能证明1+1。”?美国数学家丘成桐说:“陈景润没有完成哥德巴赫猜想,这是大家都知道的,„只
[7]有中国数学界认为哥德巴赫猜想那么伟大。”——“这是大家都知道的”是提醒中国媒体不要自以为是。
放眼世界,公式(1b)才是二百多年来对“1+1”研究的一种突破。特别是对近百年来用“充分大”作茧自缚的这种突破,今后是精益求精的问
。公式(3)是N=p+(N-p)=“1+1”的答案数量,明显比公式(1b)精确。
NpNrrr,,,r,1,(,,,,,1)(3) N(p,p),2c(N)(1-)(很明显,?0。) r,,N,pr,1,,,N,pr,1,N
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公式(4)可以计算“1+1×1”的答案数量。公式(1c)缺少公式(4)中的参变量,陈景润没有证明“1+1×1”。
,(p,1)(N),(4) N(1×1),2c(N) ? (证明另发。实验精确度因N增大而提高,达到0.9。) p(p,2)N
(p,N)=1 3?p?N
上面的比较说明,华罗庚摒弃存在先天性不足的“充分大”,(例如,充其量也只是局部证明。)才在哥德巴赫猜想的证明上取得了比陈氏定理好得多的结果,“各领风骚数百年”,肯定华罗庚的结果,就是告诉世界我国在哥德巴赫猜想研究上是不断前进的,告诉世界我们已经弥补了陈氏定理的在所难免的不足之处。自我批评在前,可以有效地减少一些人再说三道四。但是,无冕之王包括《华罗庚》、《陈景润》的科技编导,不顾美国数学家丘成桐所说“陈景润没有完成哥德巴赫猜想”,坚持说陈景润证明了哥德巴赫猜想,看起来,中国在哥德巴赫猜想研究上没有缺少发现,缺少的是公平与正义。
参考文献
[1] [加] R.K.Guy著,张明尧译,数论中未解决的问题,科学出版社,2003年。
[2] 李文林主编,王元论哥德巴赫猜想,山东教育出版社,1999。
[3] 华罗庚,A Direct Attempt to Goldbach Problem,Acta Mathematica Sinica,New Series 1989,Vol.5,No.1,pp.1-8。
[4] 陈景润,On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two
primes,Sci Sinica 16 (1973),157-176。
[5] 潘承洞、潘承彪,哥德巴赫猜想,科学出版社,1981,17页、238页。
[6] 四平日报,1992,03,03,3版。(摘自《中国青年报》。)
[7] 吴洣麓、孙燕燕,丘成桐就庞加莱猜想回应质疑,北京科技报,2006,06,28,03版。
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