[0,1]格上有限@-fuzzy双线性方程的解集
第25卷第6期
NO.6Vo1.25
内江师范学院
JOURNALOFNEIJIANGNORMALUNIVERSITY?13?
[0,1]格上有限@一fuzzy双线性方程的解集
张琳,王学平
(1.四川现代职业学院,四川成都610213
2.四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066) 摘要:在[O,1]格上讨论了有限@一Fuzzy双线性方程,即A@X—B@x或^(nz)一
A(6口z),其中,iE{1,
i—li一1
2,…,)的有解判别条件,解集和结果集.
关键词:有限@一fuzzy;双线性方程;解集;结果集
中图分类号:O159文献
码:A文章编号:1671—1785(2010)06—0013—04 客观世界的各种事物之间存在着不同的相互关
系,因此关系是一个普遍使用的重要概念.经典关系
只能说明元素之间关系的有无,但现实世界的关系
不是简单的有无,而是有不同程度的相似性质,反映
这种性质的关系就是Fuzzy关系.Fuzzy关系方程
是以关系为研究对象的一个数学分支.研究Fuzzy 关系方程的目的一方面是为了丰富布尔方程的理论 并推广布尔方程中有关的工作,如Lucel1关于布尔
方程求解的工作,另一方面主要集中在方程解集的
刻画和具有某些代数性质的解的确定课题上.本文
即是致力于方程解集刻画方面的工作.
1预备知识
定义1.1[2在[.,1]上,aab=1,a~b .
定义1.2]设A一(a)川为已知向量,x=== (1z)川为未知向量,a,z,b?Eo,1],为有限集合, 称A@x—b或^(口a)一b为一个有限@一fuzzy模 糊关系方程,其中@是inf—a合成. 定义1.3设
A一(a)?f,B一(6)?f
为已知向量,x一(?)川为未知向量,a,五,rEEo,11,
===
{1,2,…,"}为有限集合,称
A@X—B@X===r
或
nn
^(口)一^(6az)一r
i一1i=1
为一个有限@一fuzzy双线性方程,其中@是inf—a合
成.
定义1.4[5]设为方程
A@X—B@X—r
的解,记
一
{X:A@X—B@X—r),
则称为
A@X—B@X—r
的解集.
定义1.5E记一{r:存在
X?,A@x—B@X—r},
称为
A@X—B@X===r
的结果集.
定义1.6cS为一偏序集P的非空子集,若 不存在.32?S使得z>n,则称a为S的极大元. 定义1.7[7]如果
a?L,{z1i?}L,
其中是某个指标集,则
收稿日期:20100203
基金项目:四川省青年基金资助项目(NO.05ZQo26—003)
作者简介:张琳(1981一一),女,四川简阳人,四川现代职业学院助教,硕士研究生,研
究方向:模糊数学
?
14?内江师范学院第25卷第6期
nd(^z)一^(aa:r).
iEIiE1
定义1.8E.如果X,X2?)c,则X1?X?X2 蕴含着X?.
下面从最简单的情况开始讨论有限@一fuzzy双 线性方程.
2方程口==r的解
下面叙述过程中将用到以下符号:
d—max{a,b},S—rain{a,b}, I-a)一{z.z?n},(n)一{z:<a}. 命题2.1方程naz一如z—r的解集为)U(), 结果集为(s)U{1).
证明由定义1.1知
f1,n?z
口az(I
z,&>z
且
bo/x』,6,
【z,6>
则当?z一z一1时,z?n且?6,即?max{a,b}一 当z一一z时,<口且z<6,即<n{&,b)一s.
所以解集为[)U(s),且结果集为(s)U{1). ^^
3有限双线性方程八(ni)=^【biax)=r f=1i盛l
()解集的一些性质
记d一max(口,b},S一min{a,b}. 设一(,z.,…,-z)为方程()的任意解,令 一
{zt:z?[z));一{.t?)
x一:ztE(si)};《一{.z?
一.Edi));f3一zz?
的一 说明(1)z一z_..?一z一0是方程()个解,即;(?,且,,不能同时为.
(2)对方程()的一个解x=(z,z,…,)来 说,
ff+if+ff—n.
(3)因为当a=b时,zEE0,1]都有口az一 biasc,则下面仅需讨论a?6的情况. 命题3.1当一时,方程()的解集为
{一(z,lzz,…,z):ViE,.27i?x1U}. 结果集为
一
(^S)U{1}.
iE
证明当3一时()一[(.az)] ^[^(aaz)],
^(6az)一[^(6口z)]^[^(6皿z)]. t??《
当iE峨一b一1,当iE,口bi一 'z,所以
n
^(口口z):==[^(口z)]^[^(n口z)] t??《
:==
[^(6az)]^[^(6艘z)]
=^(6口z).
i=I
即,当3一时
{x=(,卫z,…,z):ViEJ,z?U)
另外 是方程()的解集.
^(n口_z')一(^1)^(^z)一^(6口f)一^zf,
??《?《
结果集为
一(^S).
iEixz
特别地,当;(一且一时,则
ViE1,az一biax一1,
结果集为一{1).所以当=j2『时,结果集为
一(^S)U{1).
t?2
x
命题3.2当?且
^(日.)?A(6口z)
《r
时,方程()有解的充要条件是:?且 ^z?^z.
?最
证明当?且
^(口口z)?^(6z) e《《
时,方程()有解,则
等价于
^(a皿z)
:
[^(ai~z)]^[^(口越z)]^[^(口zf)]
;
:
[^(6艘z)]^[^(6z)]^[^(6z)]
E1t?"E
x
3
一^(6az)
i=1
z
,
一Jj
z
a
八
2010年6月张琳,王学平:[O,1]格上有限@一fuzzy双线性方程的解集?15?
即?且八z?^z.另一方面,当?且 2?iE3
^z?^.72时,
Ez
^(口)
[^(alax)]^[^(dz)]^[,(aiaz)]
iE1iE
x
2
z?吱
:
[^(口口)]^[^(az)],^(blax) =
[^(bi~x)]^[^(6z)]^[^(biffx)]
ziE
x
2iE3
=
[^(biaz)]^[^(6_z)] ?z1?
z
2
所以八(az)一^(6aIz),方程()有解.i=1i一1 命题3.3当?且
^(0az)?^(6az)
iE3iE3
时,方程()的解集是
tx一(z,zz,…,z):ViE,zEUU3 且至少存在一个zE使?^}.
证明由命题3.2可得证.
做集合
1==={iEs:a?z?6},
2一{i?.:b?-z<a}, M1一{G11×2{nEmin(a^,a),(h,女)?G, max(a^,n^)]nEmin(b^,b),max(b^,b)]? 且n[(n,b)n(,a)]?)}.
(ht)?G1
Mz一{G2I2×I1:MG{nEmin(a^,a),
(h,)EG2
max(a^,a)]n[min(b^,b),max(b^,b)]? 且n[(6,口)n(口,6)]?)).(h,)?G2 G一{h:h?.,存在k?.,
使得(^,忌)EGUG).
命题3.4当?且八(n)?^(bi~x) 时,方程()的结果集是一(^5). iE
的任意解x===《:z,-z.,…,Xn), 证明对方程()
由命题3.2得
所以r<^S.由解的任意性得(八S).另一 E
x
eiE
方面,VrE(^S),构造x一(z)如下:当i?G iEI2
时,z?[rVS,d1);当i?G,时,五一r.ViE,S?, r<c,则rVsi<,因此[rVS,d)?,则 八(naIz)一[八(口alz)]^[^(naz)]一 z=1,l"
八(以)^,.一r.^(6z)一
iE"I一1
[/\.
(6口)]八[八(6口z)]一^(6口z)^r—r, l?_GiiE
即,八(ndz)一八(6dz)一r,那么X一(z)是方 程()的解.
命题3.5当?,方程^(n)一^(biax) 砭
有解的充要条件是MUM2?.
证明乍若方程有解,则一定存在h,走E. (其中h?尼),使^(naz)一n^a^一z^一z一 iE3
bka~:^一八(6az),故6^?<a^,hE2;a?z<
?
bk,l?.因此[,a]n[,]?且一E
Emin(a^,),Inax(,a)]n[rrfin(,),inax
(,)],令G一((是,)},显然G?M,即MUM ?.
若M1UM?,存在G?MU,取.?
Mc,构造X一(z,,…,)如下:ViE工s,当iE G时,一z.;当iG时,E[z.VS,d).由G的 构造和中元素的性质可知,z.VS<,则 八(口)一[^(n)]^[^(口口)]
iE
x
3?
一^(口),
z?G
同理
^(6)一^(6a),
iEz:?
因为G?,故存在(,是)?G1,使.?Emin(a,a),
max(n^,a)]n[min(bh,b),max(bh,bk)]且o?[?^,
]n[,a],故bh>口,>,如果a<,那么 >,贝0bhaxo==zo,"口zo==o,故 八(口)一^(6z)一z0,
2E
,x
3E3
所以方程八(adz)一八(6a)有解. iE
,x
3E3
下面构造一(.,地,…,)如下:当iEG 时,c一z.;当iG时,地?[z.VS,d),其中 CCo?Mc,U.
命题3.6当x?时,方程.
八(&az)一八(6dz) E3?吱
的解集是UX..
r
—
2X八
一
,,
6
/\
"八
一
)
z
以
,\
"八=
内江师范学院第25卷第6期
证明由命题3.5可得证.
命题3.7当
3?,
^(口az)一八(6d)
'C-3
x
iC-s
x
时,方程()的解集是{x一(,.,…,z):Vi?,
Xi?uuc}.
证明由命题3.6可得证.
参考文献:
EI-ILuceRD.AmoteonBooleanmatrixtheory[J].ProcA—
marMathSoc,1952,3:382—388.
[2]DiNolaA,SessaS,Peary=w,etal,FuzzyRelationEquations
andTheirApplicationstoKnowledgeEngineering[-M].
KluwerAcademicPublishers,Dordrecht,Boston/Iond on,1989.
[3]熊清泉.[O,1]格上无限Fuzzy关系方程A?x=b的解集
[J].四川师范大学:自然科学版,2002,16:218-221.
14]余步雷,王学平.[O,1]格上无限双线性方程的一些性
质及其解集[J].四川师范大学:自然科学版,
2005,28(2):154-157.
[5]TANGHucheng.Fuzzybilinearequations[J].Fuzzy SetsandSystems,1989,28:217-226. 16]CrawleyP,DilworthRP.AlgebriacTheoryofLattices
[M].Prentice-Hall,EnglewoodCliffs,NJ,1973.
r7]ZHA0Cui—Kui.Onmatrixequationsinaclassof
completeandcompletelydistributivelattices[J].Fuzzy
SetsandSystems,1987,22:303—320.
[8]LIYu—mei,WANGXue-ping.Thesolutionsetsof
@一fuzzyrelationalequationi.nfinitedomainsandona
completeBrouwerianlattice[J].IndiaJ.pureapp1.
Math,2003,34:1249一l257.
19]张琳,王学平.模糊关系R的分解[J].四J1I师范大
学:自然科学版,2007,30(2):151—153.
TheSolutionSetsoftheFinite@一fuzzyBilinearEquationson[0,1]
ZHANGLin.WANGXue-ping
(DepartmentofFundamentalEducation,SichuanModernVocationalCollege,Chengdu,Siehuan610213,China;
2.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity, Chengdu,Sichuan610066,China)
Abstract:Thefinite@一
fuzzyhilinearequationsaresubjectedtoexaminationon[o,1].Thatistosay,whenA@X=B @XorA(n口)一A(6J)一
r,iE{1,2,…,},thejudgingcriterionfortheexistenceofsolution,thesolutionsetsandthe i—li1
resultsetsareallworkedoutfor@一fuzzybilinearequations.
Keywords:finite@一fuzzy;bilinearequations;thesolutionsets;theresultsets (责任编辑:胡蓉)