《大学物理学》课后习题第四单元

《大学物理学》课后习题第四单元 习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别下列运动是不是谐振动: (1)拍皮球时球的运动; (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)( 题4-1图 解:要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件:一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量;二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动;三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用( 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 2,d2，,,,0 2td 描述时，其所作的运动就是谐振动( (1)拍皮球时球的运动不是谐振动(第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置; 第二，球在运动中所受的三个力:重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力( (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动(显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量;该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点， ,mgsin,即系统势能最小值位置点O;而小球在运动中的回复力为，如题4-1图(b)所 ,S,mg,R,示(题 中所述，,S,,，故?0，所以回复力为.式中负号，表示回复,R 力的方向始终与角位移的方向相反(即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性 ,的(若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 2,dmR,,mg, 2dt g2,令，则有 ,R 2,d2，,,0 2td 4-2 劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的小球按题4-2图所示的两种方式连 kkm12 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期( 题4-2图 解:(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有，设串联弹簧的等效F,F,F12倔强系数为等效位移为，则有 Kx串 F,,kx串 F,,kx111 F,,kx222 又有 x,x，x12 FFF12 x,,，kkk12串 所以串联弹簧的等效倔强系数为 kk12k, 串k，k12 即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为的弹簧振子系统，故k,kk/(k，k)1212小球作谐振动(其振动周期为 ,m(k，k)2m12,, T,,2,2kkk,12串 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有，即，设并联弹F,F,Fx,x,x1212簧的倔强系数为k，则有 并 kx,kx，kx 1122并 k,k，k故 12并 同上理，其振动周期为 m, T,2,k，k12 4-3 如题4-3图所示，物体的质量为，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为,，弹m RI簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为，半径为(先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期( 题4-3图 解:分别以物体和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位m 置为坐标原点，沿斜面向下为轴正向，则当重物偏离原点的坐标为时，有 xx 2dxmgsin,T,m, ? 12dt ? TR,TR,I,12 2dx,R, ? T,k(x，x)202dt 式中，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 x,mgsin,/k0 2dIx()mR，,,kxR 2dRt 2kR2,,令 2mR，I 则有 2dx2，,x,0 2dt 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 22mR，Im，IR,2/T,,, 2,(2,)2KkR, 2,,34-4 质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律10，10kgx,0.1cos(8，)(SI),3作谐振动，求: (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值; (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)与两个时刻的位相差; t,5st,1s21 解:(1)设谐振动的标准方程为，则知: x,Acos(,t，,)0 ,21 A,0.1m,,,8,,？T,,s,,,2,/304, ,1,1m,sm,s 又 v,,A,0.8,,2.51m ,22m,sa,,A,63.2 m (2) F,a,0.63N mm 12,2 E,mv,3.16，10Jm2 1,2 E,E,E,1.58，10Jpk2 当时，有， E,EE,2Ekpp 11122即 kx,,(kA)222 22x,,A,,m? 220 (3) ,,,,(t,t),8,(5,1),32,21 AT4-5 一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数x 表示(如果时质点的状态分别是: t,0 (1); x,,A0 (2)过平衡位置向正向运动; Ax,(3)过处向负向运动; 2 Ax,,(4)过处向正向运动( 2 试求出相应的初位相，并写出振动方程( ,,xAcos,00解:因为 ,v,,,Asin,00, 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相(故有 ,2 ,,,x,Acos(t，,)1T ,323 ,,,x,Acos(t，,)22T2 2,,, ,x,Acos(t，),33T3 ,,525 ,,x,Acos(t，,)44T4 ,34-6 一质量为的物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移24cm4.0st,010，10kg 为(求: ，24cm (1)时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向; t,0.5s (2)由起始位置运动到处所需的最短时间; x,12cm (3)在处物体的总能量( x,12cm ,2解:由题已知 A,24，10m,T,4.0s ,2,1? ,,,0.5,rad,sT 又，时， t,0x,，A,？,,000 故振动方程为 ,2 x,24，10cos(0.5,t)m (1)将代入得 t,0.5s ,2 x,24，10cos(0.5,t)m,0.17m0.5 2,,,,,Fmamx ,,32,3,,10，10，()，0.17,,4.2，10N2方向指向坐标原点，即沿轴负向( x (2)由题知，t,0时，， ,,00 A,,0,时 x,，且v,故,t,t,0t23 ,2,,,? t,,/,s323, (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为 11222,EkAmA,,22 ,1,322,，10，10()，(0.24) 22 ,4,7.1，10J 1.0g4.9cm4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为的物体时，伸长为(用这个弹簧和一个质量 8.0g1.0cm为的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开后 ，给予向上的初速度 ,1v,5.0cm,s，求振动周期和振动表达式( 0 ,3mg1.0，10，9.8,11解: k,,,0.2N,m,2x4.9，101 ,2,2-1而时， ( 设向上为正) t,0x,,1.0，10m,v,5.0，10m,s00 ,k0.22,,,,5,即T,,1.26s又 ,3,m8，10 v220？,，()Ax0, ,25.0，10,222,(1.0，10)，() 5 ,2,2，10m ,2v5.0105，,0 tan1,,,,,即,,,00,241.0105x，，,0 5,2? x,2，10cos(5t，,)m4 4-8 图为两个谐振动的曲线，试分别写出其谐振动方程( x,t 题4-8图 3解:由题4-8图(a)，?t,0时， x,0,v,0,？,,,,又,A,10cm,T,2s0002 ,2,1即 ,,,,rad,sT 3故 x,0.1cos(t，)m,,a2 5A,,0,由题4-8图(b)?t,0时， x,v,？,,00023 ,0,0,2时， x,v,？,，t,0,,11112 551又 ,,,，，,,,132 5,? ,,6 55,故 x,0.1cos(t，)m,b63 M4-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为的盘子(现有一质量为的物体m 从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动( (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并 写出物体与盘子的振动方程( M，mM2,2,解:(1)空盘的振动周期为，落下重物后振动周期为，即增大( kk mgm,Mx,,(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，时，则(碰撞时，以为一系统t,00k动量守恒，即 m2gh,(m，M)v 0 m2ghv,则有 0m，M 于是 2vmgm2gh22220A,x，(),()，()0,k(m，M) mg2kh,1，k(m，M)g v2kh0,(3) (第三象限)，所以振动方程为 tan,,,0x,(M，m)g0 ，，mg2khk2khx,1，cost，arctan ,,k(m，M)gm，M(M，m)g，， ,34-10 有一单摆，摆长l,1.0m，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，若m,10，10kg ,4,1(t,0)给小球一水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点，求F,t,1.0，10kg,m,s 振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程( 解:由动量定理，有 F,,t,mv,0 ,4Ft,,1.0，10-1v,,,0.01m,s? ,3m1.0，10 ,1按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知t,0时，x,0,v,0.01m,s ,0 x00? ,,3,/20 g9.8,1,,,,3.13rad,s又 l1.0 vv0.0122,300,，(),,,3.2，10mAx? 0,,3.13故其角振幅 A,3 ,,,3.2，10radl 小球的振动方程为 3,3 ,,3.2，10cos(3.13t，,)rad24-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动0.20m ,的位相差为，已知第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振0.173m6 动的位相差( 题4-11图 解:由题意可做出旋转矢量图如下( 由图知 222A,A，A,2AAcos30:211 22 ,(0.173)，(0.2),2，0.173，0.2，3/2 ,0.01 ? A,0.1m2 设角，则 AAO为,1 222 A,A，A,2AAcos,1212 222222A，A,A(0.173)，(0.1),(0.02)12cos,,,即 2AA2，0.173，0.112 ,0 ,,,即，这，与间夹角为，即二振动的位相差为. ,AA,122224-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅: ,,,,x,5cos(3t，)cmx,5cos(3t，)cm11,,33(1) (2) ,,7,4,,,x,5cos(3t，)cmx,5cos(3t，)cm2233,, ,,7解: (1)? ,,,,,,,,,2,,2133 ?合振幅 A,A，A,10cm12 ,,4(2)? ,,,,,,,33 ?合振幅 A,0 4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 ,,x,0.4cos(2t，)m1,6 ,5,x,0.3cos(2t,,)m26, 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 ,5解:? ,,,,(,,),,66 ? A,A,A,0.1m 12合 ,,50.4sin0.3sin，,,,AsinAsin，3661122, tan,,,,,5AcosAcos3,,，21220.4cos0.3cos，66 ,? ,,6 其振动方程为 , x,0.1cos(2t，)m6 (作图法略) *4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知方向的振x 动方程为x,6cos2,tcm，求y方向的振动方程( 题4-14图 ,,3解:因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为或;又，轨道是按顺时针方向旋22 ,转，故知两分振动位相差为.所以y方向的振动方程为 2 , y,12cos(2t，)cm,2