速度合成公式的推导
因为我们只考虑两坐标系沿x轴方向的匀速直线运动,所以在两个相互运动的坐标系中测得的速度也只在x轴方向上讨论。
根据洛伦兹变换,就可以推导这一速度合成公式。
xvt'',,x,,2v,1,2,c
,yy,',洛伦兹变换: ,zz,'
,v,tx'',2,ct,2,v,1,2c,1为了方便计算,我们把洛伦兹因子用γ代替, 2v1,2c
xxvt,,,()'',
,yy,',,所以洛伦兹变换简化为: ,zz,'
,v2,ttx,,()'',,c,
如图:
坐标系S’相对于S以速度v向x轴正方向运动,有两点A和B相对于坐标系S静止,质点(物体)M以速度u向右运动,并经过A、B两点。
在S中观察,设A点横坐标为x,B点横坐标为x,则A、B的距离;设,,,xxx1221
当M运动到A点时的时间坐标为t,当M运动到B点时的时间坐标为t,则M经过A、B12的时间间隔。 ,,,ttt21
,x所以在S中观察,M点运动的速度。 u,,t
,x,t而根据洛伦兹变换中关于x和t转换的方程,对于和的转换可这样
达:
,,,,,xt,()xv'',, ,v,,,,,tt(),''x2,c,
,,,,xxv,()''t=则 v,t(),,,,t''x2c
,,,xv''tu, v,,,t''x2c
分子分母同时除以Δt’,得:
,x',v,t'u, vx,'1,2ct,'
,x'又因为,则: ,u',t'
uv',u, vu'1,2c
所以,相对论的速度合成公式:
uv',u, vu'1,2c