2022年河南省南阳市方城县中考数学一模试题及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022年河南省南阳市方城县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.−12的相反数是(    )A.−2B.2C.12D.−122.下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是(    )A.正方体B.四棱锥C.圆柱D.球3.某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法示这个数是(    )A.9.4×10−7mB.9.4×107mC.9.4×10−8mD.9.4×108m4.下列运算正确的是(    )A.a−2a=aB.(−a3b)2=a6b2C.(a+b)2=a2+b2D.2×6=35.如图，直线a//b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=52°，则∠2等于(    )A.28°B.32°C.30°D.38°6.若关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为(    )A.−1B.0C.1D.27.如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；②分别以点B、E为圆心，大于12BE的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连结BG并延长交BC于点F.若AB=5，BE=6，则AF的长是(    )A.4B.6C.8D.108.四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为(    )A.14B.13C.12D.349.如图，一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为(    )A.6+2B.32C.2+3D.3+210.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=6，BD=8，P是对角线BD上任意一点，过点P作EF//AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BP=x，EF=y，则能大致表示y与x之间关系的图象为(    )A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.比−3小3的数是          ．12.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为______．13.已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是______．14.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为______．15.如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA′，当△DPA′与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题8.0分)先化简，再求值：(x−2+3x+2)÷x2+2x+1x+2，其中x=(π−2022)0−4+(13)−1．17.(本小题9.0分)某校有学生2100人，在“文明我先行”的活动中，开设了“法律、礼仪、感恩、环保、互助”五门校本课程，规定每位学生必须且只能选一门．为了解学生的报名意向，学校随机调查了100名学生，并制成如下统计表：课程类别频数频率法律s0.08礼仪a0.20环保270.27感恩bm互助150.15合计1001.00(1)在这次调查活动中，学校采取的调查的方式是______(填写“普查”或“抽样调查”)，b=______；(2)如果要画“校本课程报名意向扇形统计图”，那么“礼仪”类校本课程所对应的扇形圆心角应为多少度？(3)请估算该校2 100名学生中选择“感恩”类校本课程的学生约有多少人．18.(本小题9.0分)随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小刚利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小刚站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头看无人机时，仰角为α，若小刚的身高BE=1.6m，EA=50m(点A、E、B、C在同一平面内)．(1)求仰角α的正弦值；(2)求B，C两点之间的距离．(计算结果精确到1m)(参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)19.(本小题9.0分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x−2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y=kx在第一象限内的图象相交于点B(m,2)，过点B作BC⊥y轴于点C．(1)求反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．20.(本小题9.0分)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB=2，AC=22，求AE的长．21.(本小题10.0分)某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量(件)购进所需费用(元)AB第一次30403800第二次40303200(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货，并确定最大利润．22.(本小题10.0分)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c运动．(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．23.(本小题11.0分)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．(1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1所示，则CF的长为______.(直接写出结果，不说明理由．)(2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴①∠ABE+______=∠CBF+______．∴∠ABE=∠CBF．∴△ABE≌△CBF．∴∠BAE=∠BCF=60°．又∠ABC=60°，∴∠BCF=∠ABC．∴②______//______．当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为______．(3)△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图4.当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为______(直接写出结果，不说明理由)．和解析1.【答案】C 【解析】解：−12的相反数是12．故选：C．根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】B 【解析】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．故选：B．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】A 【解析】解：0.000 000 94=9.4×10−7．故选：A．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.【答案】B 【解析】解：A、原式=−a，故A不符合题意．B、原式=a6b2，故B符合题意．C、原式=a2+2ab+b2，故C不符合题意．D、原式=23，故D不符合题意．故选：B．根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算即可求出答案．本题考查合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算，本题属于基础题型．5.【答案】D 【解析】解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∴∠1+∠B=90°，∵∠1=52°，∴∠B=90°−∠1=38°，∵a//b，∴∠2=∠B=38°，故选：D．由直角三角形的两个锐角互余，先求出∠B，再由平行线的性质得到∠2的度数．本题考查了直角三角形的性质及平行线的性质．利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，是解决本题的关键．6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解．由关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，则a−1≠0，且Δ≥0，即Δ=(−2)2−8(a−1)=12−8a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，∴Δ=(−2)2−8(a−1)=12−8a≥0且a−1≠0，∴a≤32且a≠1，∴整数a的最大值为0．故选B．  7.【答案】C 【解析】解：如图，设AF交BE于点O．由作图可知：AB=AE，AF⊥BE，∴OB=OE，∠BAF=∠EAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF=AE，∵AE//BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴四边形ABFE是菱形，∴OA=OF，OB=OE=3，在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，∴OA=AB2−OB2=52−32=4，∴AF=2OA=8．故选：C．如图，设AF交BE于点O.证明四边形ABFE是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．8.【答案】C 【解析】解：分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形和圆，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为：612=12．故选：C．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．9.【答案】A 【解析】解：∵一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=2，令y=0，则x=−2，则A(−2,0)，B(0,2)，则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB=(2)2+(2)2=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC=AD2+CD2=2x，由题意易得∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD=BC2−CD2=3x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=3x，解得：x=3+1，∴AC=2x=2(3+1)=6+2，故选：A．根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．10.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象．关键是根据图形，利用相似三角形的性质得出分段函数关系式．由平行四边形的性质可知BO为△ABC的中线，又EF//AC，可知BP为△BEF的中线，且可证△BEF∽△BAC，利用相似三角形对应边上中线的比等于相似比，得出函数关系式，即可判断函数图象．【解答】解：当0≤x≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF//AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴BPBO=EFAC，即x4=y6，解得y=32x，同理可得，当43+6112，解得：b>3524． 【解析】(1)根据题意将点(0,4)和(4,8)代入C2：y=−18x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：−18m2+32m+4−(−112m2+76m+1)=1，解出m即可；(3)求出山坡的顶点坐标为(7,6112)，根据题意即−18×72+7b+4>3+6112，再解出b的取值范围即可．本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．23.【答案】1 ∠EBC ∠EBC CF AB 3 34π 【解析】解：(1)如图，∵△ABC和△BEF是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴CF=AE=1，故答案为：1；(2)如图2，连接CF，当点E不与点A重合时，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°．∴①∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC．∴∠ABE=∠CBF．∴△ABE≌△CBF．∴∠BAE=∠BCF=60°．又∠ABC=60°，∴∠BCF=∠ABC．∴②CF//AB．当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为3；故答案为：∠EBC，∠EBC，CF、AB，3；(3)如图3，取BC的中点H，连接HN，∴BH=12BC，∴BH=12AB，∵CD⊥AB，∴BD=12AB，∴BH=BD，∵△ABC和△BMN是等边三角形，∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH，∴∠DBM=∠HBN，∴△DBM≌△HBN(SAS)，∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°，∴NH⊥BC，又点M在C处时，HN=CD=332，点M在D处时，点N与点H重合．∴点N所经过的路径的长=CD=332；(4)如图，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，∴MF=BM=BN=12AB，点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上；∵∠ABC=∠FBH=90°，∴∠ABC−∠FBC=∠FBH−∠FBC，即∠ABF=∠CBH，∴△MBF≌△NBH(SAS)，∴NH=MF=BM=BN，∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；∴当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合；连接CH，OG，由上证明可得，NH=NB=NC，∴∠BHC=90°，∴点C，G，H三点共线，∴∠AGC=90°，∵点O是AC的中点，∴OG是Rt△AGC斜边中线，∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；∴点H所经过的路径长=90°×2π×32360∘=34π，故答案为：34π．(1)由题意可得△ABE≌△CBF，则CF=AE=1；(2)点E在点C处时，CF=AC，点E在A处时，点F与点C重合．则点F运动的路径长=AC=3；(3)类比(2)的思路可知，点M在C处时，HN=CD=332，点M在D处时，点N与点H重合．则点N所经过的路径的长=CD=332；(4)类比(2)(3)可得，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合．本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质等知识．解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．