2021年河南数学中考考点过关--第二章word版

河南中考考点过关　　第二章　方程(组)与不等式(组)　　　第一节　一次方程(组)考点帮易错自纠易错点1　移项时忘记变号1.解方程5x-3=2x+2时,移项后正确的是(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.5x-2x=3+2　B.5x+2x=3+2C.5x-2x=2-3　D.5x+2x=2-3易错点2　解一元一次方程去分母时漏乘不含分母的项2.[2020重庆A卷]解一元一次方程12(x+1)=1-13x时,去分母后正确的是(D)A.3(x+1)=1-2xB.2(x+1)=1-3xC.2(x+1)=6-3xD.3(x+1)=6-2x方法帮提分特训1.[2020江苏南京]已知x,y满足方程组x+3y=-1,2x+y=3,则x+y的值为　1　. 2.[2020四川凉山州]解方程:x-x-22=1+2x-13.解:去分母,得6x-3(x-2)=6+2(2x-1),去括号,得6x-3x+6=6+4x-2,移项,得6x-3x-4x=6-6-2,合并同类项,得-x=-2,系数化为1,得x=2.3.[2020浙江宁波]我国古代数学名著《孙子算经》中记载:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸,屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木条,绳子还剩余4.5尺,将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺.如果设木条长x尺,绳子长y尺,那么可列方程组为(A)A.y=x+4.5,0.5y=x-1　　　　　　　B.y=x+4.5,y=2x-1C.y=x-4.5,0.5y=x+1D.y=x-4.5,y=2x-14.[2019广西百色]一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6小时,逆流航行比顺流航行多用4小时.(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度;(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少千米.解:(1)设该轮船在静水中的速度是x千米/时,水流速度是y千米/时,依意,得6(x+y)=90,(6+4)(x-y)=90,解得x=12,y=3.答:该轮船在静水中的速度是12千米/时,水流速度是3千米/时.(2)设甲、丙两地相距a千米,则乙、丙两地相距(90-a)千米,依题意,得a12+3=90-a12-3,解得a=2254.答:甲、丙两地相距2254千米.真题帮1.涉及考点:由实际问题抽象出二元一次方程组[2018河南,6]《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为(A)A.y=5x+45,y=7x+3　　　　　　　　B.y=5x-45,y=7x+3C.y=5x+45,y=7x-3D.y=5x-45,y=7x-32.涉及考点:二元一次方程组的应用[2011河南,21]某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动,收费如下:人数m0200收费标准/(元/人)908575甲、乙两所学校

计划

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组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,知若两校分别组团共需花费20800元,若两校联合组团只需花费18000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?解:(1)设两所学校参加旅游的学生人数之和为a人.若a>200,则a=18000÷75=240.若100200时,得x+y=240,75x+90y=20800,解得x=5313,y=18623.(不合题意,舍去)答:甲学校报名参加旅游的学生有160人,乙学校报名参加旅游的学生有80人.作业帮基础分点练(建议用时:30分钟)考点1　一次方程(组)及其解法1.小明解方程x-13-x+26=4-x2的过程如下:去分母,得2(x-1)-(x+2)=3(4-x).①去括号,得2x-2-x+2=12-3x.②移项、合并同类项,得4x=12.③系数化为1,得x=3.④小明从哪一步开始出现错误?(B)A.①　　　　B.②　　　　C.③　　　　D.④2.若|3x-2y-1|+x+y-2=0,则x,y的值分别为(D)A.x=1,y=4B.x=2,y=0C.x=0,y=2D.x=1,y=13.[2019江苏常州]若x=1,y=2是关于x,y的二元一次方程ax+y=3的解,则a=　1　. 4.[2020辽宁朝阳]已知关于x,y的方程2x+y=2a+1,x+2y=5-5a的解满足x+y=-3,则a的值为　5　. 5.[2019浙江金华]解方程组:3x-4(x-2y)=5,x-2y=1.解:方法一:3x-4(x-2y)=5,①x-2y=1,　　　　②由①得-x+8y=5,③②+③,得6y=6,解得y=1.把y=1代入②,得x-2×1=1,解得x=3.所以原方程组的解是x=3,y=1.方法二:3x-4(x-2y)=5,①x-2y=1,②将②代入①,得3x-4=5,解得x=3,将x=3代入②,得y=1,∴原方程组的解是x=3,y=1.考点2　一次方程(组)的实际应用6.[2020江苏淮安中考改编]某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为15元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车,这些汽车共交纳停车费324元.设中型汽车有x辆,小型汽车有y辆,根据题意得(C)A.x+y=30,8x+15y=324　　B.x+y=324,8x+15y=30　　C.x+y=30,15x+8y=324　D.x+y=324,15x+8y=307.[2020河南省实验三模]《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何.”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两.设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得(A)A.9x=11y,10y+x-(8x+y)=13B.10y+x=8x+y,9x+13=11yC.9x=11y,8x+y-(10y+x)=13D.11x=9y,10y+x-(8x+y)=138.[2020四川南充]笔记本5元/本,钢笔7元/支,某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元,那么最多购买钢笔　10　支. 9.[2020江西]放学后,小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本,这种笔芯每盒10支,如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小贤要买3支笔芯,2本笔记本需花费19元;小艺要买7支笔芯,1本笔记本需花费26元.(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格;(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品,但如果他们各自为要买的文具付款后,只有小贤还剩2元钱.他们要怎样做才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品?请通过运算说明.解:(1)设笔芯x元/支,笔记本y元/本.依题意,得3x+2y=19,7x+y=26,解得x=3,y=5.答:笔芯3元/支,笔记本5元/本.(2)∵整盒购买笔芯比单支购买每支可优惠0.5元,∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.小工艺品的单价为3元,小贤剩余钱数:3×0.5+2=3.5>3.小艺剩余钱数:7×0.5=3.5>3.故合买笔芯时,他们既能买到各自的文具,又都能买到一个小工艺品.综合提升练(建议用时:25分钟)1.[2020黑龙江牡丹江]若a=2,b=1是二元一次方程组32ax+by=5,ax-by=2的解,则x+2y的算术平方根为(C)A.3　B.3,-3C.3　D.3,-32.[2019湖北孝感]已知二元一次方程组x+y=1,2x+4y=9,则x2-2xy+y2x2-y2的值是(C)A.-5B.5C.-6D.63.[2019湖北荆门]欣欣服装店某天用相同的价格a元(a>0)卖出了两件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈亏情况是(B)A.盈利B.亏损C.不盈不亏D.与售价a元有关4.[2019江苏宿迁]下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为　10　. 5.[2020浙江绍兴]有两种消费券:A券,满60元减20元;B券,满90元减30元,即一次购物大于等于60元、90元,付款时分别减20元、30元.小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是　100或85　元. 6.[2019山东烟台]亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.(1)计划调配36座新能源客车多少辆?该大学共有多少名志愿者?(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?解:(1)

设计

领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计

划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者,则需调配22座新能源客车(x+4)辆,依题意,得36x+2=y,22(x+4)-2=y,解得x=6,y=218.答:计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有218名志愿者.(2)设需调配36座客车m辆,22座客车n辆,依题意,得36m+22n=218,∴n=109-18m11.又∵m,n均为正整数,∴m=3,n=5.答:需调配36座客车3辆,22座客车5辆.全国视野创新练1.[2020浙江金华]如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为x,则列出方程正确的是(D)A.3×2x+5=2x　　　　　　　　　　　B.3×20x+5=10x×2C.3×20+x+5=20x　　　　　　　　　D.3×(20+x)+5=10x+22.[2020浙江绍兴]若关于x,y的二元一次方程组x+y=2,A=0的解为x=1,y=1,则多项式A可以是　x-y(答案不唯一)　(写出一个即可). 　　　第二节　分式方程考点帮易错自纠易错点1　解分式方程去分母时漏乘不含分母的项1.[2020洛阳二模]下列等式是四位同学解方程xx-1-1=2x1-x过程中去分母得到的,其中正确的是(D)A.x-1=2x　　　　　　　B.x-1=-2xC.x-x-1=-2xD.x-x+1=-2x易错点2　解分式方程过程中忘记检验2.解分式方程2x+1+3x-1=6x2-1,以下四步中,错误的一步是(D)A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=1方法帮提分特训1.[2020陕西]解分式方程:x-2x-3x-2=1.解:由原方程,得(x-2)2-3x=x(x-2).x2-4x+4-3x=x2-2x.-5x=-4.x=45.经检验,x=45是原方程的根.2.[2020山东威海]在“旅游示范公路”建设的过程中,工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道.由于采用新的施工方式,平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍,结果提前5天完成任务.求计划平均每天修建步行道的长度.解:设计划平均每天修建步行道的长度为xm,则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm.根据题意,得1200x-12001.5x=5,解得x=80,经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.答:计划平均每天修建步行道的长度为80m.真题帮涉及考点:解分式方程[2017河南,4]解分式方程1x-1-2=31-x,去分母得(A)A.1-2(x-1)=-3　　　　B.1-2(x-1)=3C.1-2x-2=-3D.1-2x+2=3作业帮基础分点练(建议用时:30分钟)考点1　分式方程的解及解法1.[2020平顶山三模]方程2x+1x-1=3的解是(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.-45B.45C.4D.-42.[2020四川成都]已知x=2是分式方程kx+x-3x-1=1的解,那么实数k的值为(B)A.3B.4C.5D.63.[2019山东淄博]解分式方程1-xx-2=12-x-2时,去分母变形正确的是(D)A.-1+x=-1-2(x-2)B.1-x=1-2(x-2)C.-1+x=1+2(2-x)D.1-x=-1-2(x-2)4.[2020内蒙古包头]分式方程3-xx-2+x2-x=1的解是　x=53　. 5.[2020江苏南京中考改编]解方程:xx-1=x-1x+2.解:去分母,得x(x+2)=(x-1)2,去括号,得x2+2x=x2-2x+1,移项、合并同类项,得4x=1,系数化为1,得x=14.检验:当x=14时,(x-1)(x+2)≠0,故x=14是原分式方程的解.考点2　分式方程的应用6.[2020四川宜宾]学校为了丰富学生知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元.已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等.设文学类图书平均每本x元,则列方程正确的是(B)A.15000x-8=12000xB.15000x+8=12000xC.15000x=12000x-8D.15000x=12000x+87.[2020湖北荆州]八年级学生去距学校10km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为(C)A.102x-10x=20B.10x-102x=20C.10x-102x=13D.102x-10x=138.[2020江苏扬州]如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染.商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件.请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.解:设乙商品的进价为每件x元,则甲商品的进价为每件1.5x元,根据题意,得72001.5x-3200x=40,解得x=40,经检验,x=40是原方程的根,∴1.5x=60,3200x=80,72001.5x=120,故补全进货单如下:进货单商品进价/(元/件)数量/件总金额/元甲601207200乙40803200综合提升练(建议用时:15分钟)1.[2020山东枣庄]对于实数a,b,定义一种新运算“􀱋”:a􀱋b=1a-b2,这里等式右边是实数运算.例如:1􀱋3=11-32=-18.则方程x􀱋(-2)=2x-4-1的解是(B)A.x=4B.x=5C.x=6D.x=72.[2020四川泸州]已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数,则正整数m的个数为(B)A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.63.[2020山东潍坊中考改编]若关于x的分式方程3xx-2=m+3x-2+1无解,则m=　3　. 4.[2020江苏连云港]甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共捐款100000元,乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:(1)甲、乙两公司各有多少人?(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种防疫物资,A种防疫物资每箱15000元,B种防疫物资每箱12000元,若购买B种防疫物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买

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?请设计出来(注:A,B两种防疫物资均需购买,并按整箱配送).解:(1)设乙公司有x人,则甲公司有(x-30)人,由题意,得100000x-30×76=140000x,解得x=180.经检验,x=180是原方程的解.∴x-30=150.答:甲公司有150人,乙公司有180人.(2)设购买A种防疫物资m箱,购买B种防疫物资n箱,由题意得15000m+12000n=100000+140000,整理,得m=16-45n.又∵n≥10,且m,n为正整数,∴m1=8,n1=10,m2=4,n2=15.故有2种购买方案:购买8箱A种防疫物资、10箱B种防疫物资或购买4箱A种防疫物资,15箱B种防疫物资.　　　第三节　一元二次方程考点帮易错自纠易错点1　用直接开平方法解一元二次方程时误认为正数的平方根只有一个1.[2020江苏扬州]方程(x+1)2=9的根是　x1=2,x2=-4　. 易错点2　方程两边同时约去含有未知数的因式导致漏根2.[2020山东威海]一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为　x1=2,x2=14　. 易错点3　已知方程有两个实数根求字母参数的范围时,易漏掉Δ=0的情况或忽视二次项系数不为0的条件3.[2020辽宁丹东]关于x的方程(m+1)x2+3x-1=0有两个实数根,则m的取值范围是　m≥-134且m≠-1　. 易错点4　误认为形如ax2+bx+c=0的方程一定是一元二次方程4.[2019郑州适应性测试改编]若关于x的方程kx2-3x-94=0有实数根,则实数k的取值范围是　k≥-1　. 方法帮提分特训1.[2020江西]若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为　x=-2　. 2.[2020甘肃天水]一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根,则该三角形的周长为　13　. 3.[2019安徽中考改编]解方程:(x-1)2=(2x+5)2.解:∵(x-1)2=(2x+5)2,∴x-1=±(2x+5),∴x1=-6,x2=-43.4.[2020濮阳模拟]关于x的一元二次方程ax2+3x-2=0无实数根,则a的值可以是(D)A.2B.1C.0D.-35.[2020山东潍坊]关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0的根的情况,下列说法正确的是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定6.[2019北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.解:∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,∴Δ=(-2)2-4(2m-1)≥0,解得m≤1.又∵m为正整数,∴m=1,则原方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.7.[2020湖南衡阳]如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(C)A.35×20-35x-20x+2x2=600B.35×20-35x-2×20x=600C.(35-2x)(20-x)=600D.(35-x)(20-2x)=600真题帮考法1一元二次方程的解法1.[2013河南,3]方程(x-2)(x+3)=0的解是(D)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.x=2B.x=-3C.x1=-2,x2=3D.x1=2,x2=-32.[2010河南,5]方程x2-3=0的根是(D)A.x=3B.x1=3,x2=-3C.x=3D.x1=3,x2=-3考法2一元二次方程根的判别式3.[2019河南,6]一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.[2017河南,6]一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是(B)A.有两个相等的实数根　　B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5.[2018河南,7]下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是(B)A.x2+6x+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.(x-1)2+1=06.[2020河南,7]定义运算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根7.[2016河南,11]若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　k>-94　. 8.[2015河南,19]已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.(1)证明:原方程可化为x2-5x+6-|m|=0,∴Δ=(-5)2-4×1×(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|.∵|m|≥0,∴1+4|m|>0,∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.(2)把x=1代入原方程,得|m|=2,∴m=±2.把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,∴x1=1,x2=4,∴m的值为±2,方程的另一个根是4.考法3一元二次方程的实际应用9.涉及考点:增长率问题[2020河南,8]国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为(C)A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500作业帮基础分点练(建议用时:30分钟)考点1　一元二次方程及其解法1.[2020安徽]下列方程中,有两个相等实数根的是(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.x2+1=2xB.x2+1=0C.x2-2x=3D.x2-2x=02.[2020山东泰安]将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是(A)A.-4,21B.-4,11C.4,21D.-8,693.[2019山东威海]一元二次方程3x2=4-2x的解是　x1=-1+133,x2=-1-133　. 4.[2020贵州毕节]关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2+k-2=0有一个根是0,则k的值是　1　. 考点2　一元二次方程根的判别式5.[2020三门峡二模]一元二次方程x(2x-4)=5-8x的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断6.[2020贵州黔西南州]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是(D)A.m<2　B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠17.[2020平顶山三模]若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为　-1　. 8.[2020北京燕山区二模]已知关于x的方程mx2-(2m+1)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个根均为正整数,请写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.(1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4×m×2=4m2+4m+1-8m=4m2-4m+1=(2m-1)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x=2m+1±(2m-1)22m,∴原方程的根为x1=2,x2=1m.∵方程的两个根都是正整数,∴取m=1,此时方程的根为x1=2,x2=1.(符合条件的m的值不唯一,正确即可)考点3　一元二次方程的实际应用9.[2020湖北鄂州]目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万户,计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x值为(C)A.20%B.30%C.40%D.50%10.[2020贵州遵义]如图,把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后把纸板沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2,设剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为(D)A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=600C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=60011.[2020贵州黔西南州]有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了　10　个人. 综合提升练(建议用时:10分钟)1.[2020山东菏泽]等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根,则k的值为(C)A.3　　　　B.4　　　　C.3或4　　D.72.[2019浙江舟山]在x2+　4x(或-4x)　+4=0的横线上添加一个关于x的一次项,使方程有两个相等的实数根. 3.[2019河南省实验模拟]已知方程2x2-px+q=0的两根分别是2和3,则因式分解2x2+px-q的结果是　2(x+6)(x-1)　. 4.[2020山西]如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为　2　cm. 全国视野创新练[2020青海]在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程:　x2-6x+6=0　. 第四节　一次不等式与一次不等式组考点帮易错自纠易错点1　当不等式两边乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向没有改变致错1.不等式3-2x≥1的解集是　x≤1　. 易错点2　列不等式解决实际问题时,设未知数时出现文字“至少”“最多”致错2.[2020重庆B卷改编]小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元,每支签字笔2.2元,小明买了7支签字笔,求他最多还可以买的作业本的个数.解:设他还可以买x个作业本,依题意,得2.2×7+6x≤40,解得x≤4.1.又∵x为正整数,∴x的最大值为4.答:他最多还可以买的作业本的个数为4.方法帮提分特训1.[2018河南B卷]不等式组2x+7>1,5-3x≥2的解集在数轴上表示正确的是(D)2.[2020江苏扬州]解不等式组x+5≤0,3x-12≥2x+1,并写出它的最大负整数解.解:解不等式x+5≤0,得x≤-5,解不等式3x-12≥2x+1,得x≤-3,故不等式组的解集为x≤-5,其最大负整数解为-5.3.[2020四川攀枝花中考改编]世纪公园的门票是每人6元,一次购门票满40张,每张门票可少1元.若少于40人时,一个团队至少要有　34　人进公园,买40张门票反而合算. 4.[2020黑龙江哈尔滨]昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪.若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元;若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元.(1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元;(2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个,总费用不超过960元,那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪?解:(1)设每个大地球仪x元,每个小地球仪y元.根据题意得x+3y=136,2x+y=132,解得x=52,y=28.答:每个大地球仪52元,每个小地球仪28元.(2)设昌云中学购买大地球仪m个,则购买小地球仪(30-m)个.根据题意得52m+28(30-m)≤960,解得m≤5,故昌云中学最多可以购买5个大地球仪.真题帮考法1一元一次不等式(组)的解法及解集的表示1.[2015河南,5]不等式组x+5≥0,3-x>1的解集在数轴上表示为(C)　　　　A　　　　　　　　　　　　　　B　　　　C　　　　　　　　　　　　　　D2.[2020河南,12]已知关于x的不等式组x>a,x>b,其中a,b在数轴上的对应点如图所示,则这个不等式组的解集为　x>a　. 3.[2019河南,12]不等式组x2≤-1,-x+7>4的解集是　x≤-2　. 4.[2018河南,13]不等式组x+5>2,4-x≥3的最小整数解是　-2　. 5.[2017河南,12]不等式组x-2≤0,x-120的所有整数解的和为　-2　. 考法2一元一次不等式的实际应用7.涉及考点:一次方程(组)、一次函数、不等式的应用[2016河南,20]学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元,3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.解:(1)设一只A型节能灯的售价是x元,一只B型节能灯的售价是y元.依题意得x+3y=26,3x+2y=29,解得x=5,y=7.故一只A型节能灯的售价是5元,一只B型节能灯的售价是7元.(2)设购进A型节能灯m只,总费用为w元,则购进B型节能灯(50-m)只.依题意,得w=5m+7(50-m)=-2m+350.∵-2<0,∴w随m的增大而减小,∴当m取最大值时,w取最小值.∵m≤3(50-m),∴m≤37.5.又∵m为正整数,∴当m=37时,w最小=-2×37+350=276(元).此时50-37=13,故最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯,13只B型节能灯.作业帮基础分点练(建议用时:30分钟)考点1　不等式的性质1.[2020贵州贵阳]已知a-2bC.12a+1<12b+1D.ma>mb2.[2019浙江嘉兴]已知四个实数a,b,c,d,若a>b,c>d,则(A)A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.ac>bd考点2　一元一次不等式(组)的解法3.[2020湖南株洲]下列哪个数是不等式2(x-1)+3<0的一个解?(A)A.-3B.-12C.13D.24.[2020江苏连云港]不等式组2x-1≤3,x+1>2的解集在数轴上表示为(C)5.[2020四川眉山]不等式组x+1≥2x-1,4x+5>2(x+1)的整数解有(D)A.1个　B.2个　C.3个　D.4个6.[2020山东德州]若关于x的不等式组2-x2>2x-43,-3x>-2x-a的解集是x<2,则a的取值范围是(A)A.a≥2B.a<-2C.a>2D.a≤27.[2020山东滨州]若关于x的不等式组12x-a>0,4-2x≥0无解,则a的取值范围为　a≥1　. 8.[2020山东威海]解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.4x-2≥3(x-1),①x-52+1>x-3.②解:解不等式①,得x≥-1;解不等式②,得x<3.所以原不等式组的解集为-1≤x<3,在数轴上表示如图所示.考点3　一元一次不等式的实际应用9.[2020辽宁朝阳]某品牌衬衫进价为120元,标价为240元,商家规定可以打折销售,但其利润率不能低于20%,则这种品牌衬衫最多可以打几折?(B)A.8B.6C.7D.910.[2020四川宜宾]某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶6个,市场上有A型和B型两种分类垃圾桶,A型分类垃圾桶500元/个,B型分类垃圾桶550元/个,总费用不超过3100元,则不同的购买方式有(B)A.2种B.3种C.4种D.5种11.[2019驻马店地区一模]某校计划购买篮球、排球共20个.购买2个篮球,3个排球,共需花费190元;购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同.(1)篮球和排球的单价各是多少元?(2)若购买篮球不少于8个,所需费用总额不超过800元.请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写出其中最省钱的购买方案.解:(1)设篮球每个x元,排球每个y元,依题意,得2x+3y=190,3x=5y,解得x=50,y=30,答:篮球每个50元,排球每个30元.(2)设购买篮球m个,则购买排球(20-m)个,依题意,得50m+30(20-m)≤800,解得m≤10.又∵m≥8,∴8≤m≤10.∵篮球的个数必须为整数,∴m只能取8,9,10,∴满足题意的方案有三种:①购买篮球8个,排球12个;②购买篮球9个,排球11个;③购买篮球10个,排球10个,以上三种方案中,方案①最省钱.综合提升练(建议用时:35分钟)1.[2020山东潍坊]若关于x的不等式组3x-5≥1,2x-a<8有且只有3个整数解,则a的取值范围是(C)A.0≤a≤2B.0≤a<2C.05x+2(m+x)成立,则m的取值范围是(C)A.m>-35B.m<-15C.m<-35D.m>-155.[2020郑州适应性测试]不等式组2x-a<1,x-2b>3的解集为-10,2(x-1)≤x的整数解中选取.解:原式=x-1-2xx(x-1)÷x(x+1)(x-1)2=-(x+1)x(x-1)·(x-1)2x(x+1)=1-xx2.解不等式组12x+1>0,2(x-1)≤x,得-22a,故服装店卖出这两件服装亏损了.4.10　设“△”的质量为x,“□”的质量为y,由题意,得x+y=6,x+2y=8,解得x=4,y=2,故第三个天平右盘中砝码的质量为2x+y=2×4+2=10.5.100或85　设所购商品的标价是x元,当x<60时,总付款小于120元,不符合题意.当60≤x<90时,x-20+x=150,解得x=85;当x≥90时,x-20+x-30=150,解得x=100.故答案为100或85.6.略全国视野创新练1.D　“2□”表示的数为20+x,“□2”表示的数为10x+2,由此可列方程为3×(20+x)+5=10x+2.2.x-y(答案不唯一)第二节　分式方程【易错自纠】1.D　此分式方程的最简公分母为x-1.分式方程两边同时乘以x-1,得x-(x-1)=-2x,去括号,得x-x+1=-2x.2.D　去分母,将该分式方程左右两边同时乘(x-1)(x+1),得2(x-1)+3(x+1)=6;解这个整式方程,得x=1;检验:当x=1时,(x-1)(x+1)=0,故x=1不是原分式方程的解.故错误的一步是选项D.提分特训1~2.略A　将原分式方程去分母可得,1-2(x-1)=-3.故选A.基础分点练1.C　方程两边同乘以x-1,得2x+1=3(x-1),整理,得-x=-4,解得x=4,经检验,x=4是原方程的解.故选C.2.B　把x=2代入该分式方程,得k2+2-32-1=1,∴k=4.3.D　两边同乘(x-2),得1-x=-1-2(x-2).4.x=53　方程两边同乘x-2,得3-x-x=x-2,解得x=53,经检验,x=53是原分式方程的解.5.略6.B　文学类图书平均每本x元,则科普类图书平均每本(x+8)元,根据题意可得方程15000x+8=12000x.故选B.7.C　由题意可得,10x-102x=13,故选C.8.略综合提升练1.B　根据题意,得1x-4=2x-4-1,方程两边同乘x-4,得1=2-(x-4),解得x=5,经检验,x=5是分式方程1x-4=2x-4-1的解.2.B　方程两边同乘x-1,得m+2(x-1)=3,解得x=5-m2.∵分式方程的解为非负数,∴5-m≥0.又5-m2≠1,∴m≤5且m≠3,∴正整数m可以是1,2,4或5.3.3　去分母得3x=m+3+(x-2),整理,得2x=m+1,∵关于x的分式方程3xx-2=m+3x-2+1无解,∴x-2=0,∴x=2,把x=2代入2x=m+1,得2×2=m+1,∴m=3.4.略第三节　一元二次方程【易错自纠】1.x1=2,x2=-4　方程两边同时开方,得x+1=±3,所以x1=2,x2=-4.2.x1=2,x2=14　移项,得4x(x-2)-(x-2)=0,∴(x-2)(4x-1)=0,∴x-2=0或4x-1=0,∴x1=2,x2=14.3.m≥-134且m≠-1　∵关于x的方程(m+1)x2+3x-1=0有两个实数根,∴Δ=9+4(m+1)≥0,且m+1≠0,解得m≥-134且m≠-1.4.k≥-1　当k=0时,原方程可化为-3x-94=0,解得x=-34,所以k=0符合题意;当k≠0时,则Δ=(-3)2-4×k×(-94)≥0,解得k≥-1.综上所述,实数k的取值范围为k≥-1.提分特训1.x=-2　设该一元二次方程的另一个根为a,则由一元二次方程根与系数的关系得1×a=-2,所以a=-2,故方程的另一个根为x=-2.2.13　x2-8x+12=0,配方,得(x-4)2=4,∴x-4=2或x-4=-2,解得x1=6,x2=2.∵三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2-8x+12=0的根,2+2<5,2+5>6,∴三角形的第三边长是6,∴该三角形的周长为2+5+6=13.3.略4.D　∵关于x的一元二次方程ax2+3x-2=0无实数根,∴Δ<0且a≠0,即32-4a×(-2)<0且a≠0,解得a<-98.故选D.5.A　由题可知Δ=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4>0,故原方程有两个不相等的实数根.故选A.6.略7.C　将小道平移到如图所示的位置,因为小道的宽为x米,所以阴影部分的长为(35-2x)米,宽为(20-x)米.根据题意可知S阴影=600米2,所以(35-2x)(20-x)=600,故选C.1.D　∵(x-2)(x+3)=0,∴x-2=0或x+3=0,∴x1=2,x2=-3.2.D　x2-3=0,x=±3.3.A　把该方程变形为一般形式,为x2-2x-4=0,由一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-4)=20>0,可知该方程有两个不相等的实数根.故选A.4.B　在一元二次方程2x2-5x-2=0中,a=2,b=-5,c=-2,所以Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×(-2)=41>0,故该方程有两个不相等的实数根.5.B　逐项分析如下:选项分析A∵Δ=62-4×9=0,∴方程有两个相等的实数根.Bx2-x=0,∵Δ=(-1)2-4×0=1>0,∴方程有两个不相等的实数根.Cx2-2x+3=0,∵Δ=(-2)2-4×3=-8<0,∴方程无实数根.D∵(x-1)2+1=0,∴(x-1)2=-1,∴方程无实数根.故选B.6.A　根据新定义运算可得x2-x-1=0,Δ=(-1)2-4×(-1)=5>0,故方程1☆x=0有两个不相等的实数根.故选A.7.k>-94　∵一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=32-4×1×(-k)>0,即9+4k>0,解得k>-94.8.略9.C　2017年快递业务收入为5000亿元,2018年快递业务收入为5000(1+x)亿元,2019年快递业务收入为5000(1+x)2亿元,故可列方程为5000(1+x)2=7500,故选C.基础分点练1.A　逐项分析如下:选项分析根的情况A方程可转化为(x-1)2=0,故x1=x2=1.有两个相等的实数根.B方程可转化为x2=-1,-1<0.无实数根.C方程可转化为x2-2x-3=0,Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0.有两个不相等的实数根.D方程可转化为x(x-2)=0,故x1=0,x2=2.有两个不相等的实数根.故选A.2.A　∵x2-8x-5=0,∴x2-8x=5,∴x2-8x+16=5+16,即(x-4)2=21,故a=-4,b=21.3.x1=-1+133,x2=-1-133　移项,得3x2+2x-4=0,∵a=3,b=2,c=-4,∴b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,∴方程有两个不相等的实数根,∴x1=-1+133,x2=-1-133.4.1　把x=0代入方程,得k2+k-2=0,解得k=1或k=-2.∵该方程是一元二次方程,∴k+2≠0,∴k≠-2,∴k=1.5.A　整理x(2x-4)=5-8x,得2x2+4x-5=0.∵Δ=42-4×2×(-5)=56>0,∴该方程有两个不相等的实数根.故选A.6.D　∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,∴Δ=22-4×(m-1)×1≥0且m-1≠0,∴m≤2且m≠1.7.-1　先将方程化为一般形式:x2+(a+1)x=0.∵方程有两个相同的实数根,∴Δ=(a+1)2=0,解得a=-1.8.略9.C　根据题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=8.72,解得x1=0.4=40%,x2=-3.4(不合题意,舍去),故x的值为40%.故选C.10.D　设剪去小正方形的边长是xcm,则纸盒底面的长为(40-2x)cm,宽为(30-2x)cm,根据题意得(30-2x)(40-2x)=600.11.10　设每轮传染中平均每人传染了x个人.依题意,得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121,解得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).故每轮传染中平均每人传染了10个人.综合提升练1.C　根据题意可知,当3为腰长时,则x=3是方程的一个根,将x=3代入x2-4x+k=0,得32-4×3+k=0,解得k=3.当k=3时,原方程为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.∵1+3>3,∴k=3符合题意.当3为底边长时,则关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4×1×k=0,解得k=4.当k=