广义相对论第二次作业

《广义相对论基础》第二次作业 一、一个嵌入三维欧式空间的普通球面空间，选用球极坐标系，则其线元为 ,sin 222222 ϕθθ dadads += （1）求 µνg ； （2）求全部的克里斯多菲联络 µαβΓ ； （3）求全部 µνρσR ； （4）求全部 µνR ； （5）求 R； （6）写出该度规表示的球面空间的测地线方程。 解：（1） 11 2 1g a = ， 22 2 2 1 sin g a θ = ， 12 21 0g g= = 。 （2） 1 1 1111 1,1 1 ,1 11, 11,1 1 1( ) 0 2 2 g g g g g gµ µ µ µΓ = + − = = ， 1 1 11 12 21 11,2 21,1 12,1 1 ( ) 0 2 g g g gΓ = Γ = + − = ， 1 11 22 12,2 21,2 22,1 11 2 22,1 2 1 ( ) 2 1 1 1( ) ( 2 sin cos ) sin cos , 2 2 g g g g g g a a θ θ θ θ Γ = + − = − = − = − 2 22 11 21,1 12,1 11,2 1 ( ) 0 2 g g g gΓ = + − = ， 2 2 22 12 21 22,1 12,2 21,2 22 2 22,1 2 2 1 ( ) 2 1 1 1 (2 sin cos ) , 2 2 sin g g g g g g a ctg a θ θ θ θ Γ = Γ = + − = = = 2 22 22 22,2 1 ( ) 0 2 g gΓ = = 。 （3） 1 1 1 1 1212 22,1 21,2 1 22 2 21R σ σ σ σ= Γ −Γ +Γ Γ −Γ Γ 1 1 2 2 2 2 22,1 22 21 cos sin sin cos sinctgθ θ θ θ θ θ= Γ −Γ Γ = − + + ⋅ = ， 2 22 22 121 2121 1212R g R g R= = ，而 1 11 212 1212R g R= ， 因此 1 11 2 2 2 1212 212 2 1/ sin /( ) sinR R g a a θ θ= = = ， 2 2 2 121 2 2 1 sin 1 sin R a a θ θ = ⋅ = 。 （4） 1 21 2R R R R λ µν µνλ µν µν= = + ， 1 2 11 11 111 112 1R R R R λ λ= = + = − ， 1 2 11 12 12 121 122 1121 0R R R R g R λ λ= = + = = ， 1 2 1 2 22 22 221 222 212 sinR R R R R λ λ θ= = + = − = − 。 （5） 11 22 211 22 2 2 2 2 1 1 2( 1) ( sin ) sin R g R g R g R a a a µν µν θθ − = = + = − + − = 。 （6） 2 2 0 d x dx dx d d d µ α β µ αβτ τ τ + Γ = ， 2 2 ( sin cos ) 0 d d d d d d θ ϕ ϕθ θ τ τ τ + − = ， 2 2 2 0 d d dctg d d d ϕ θ ϕθ τ τ τ + = 。 二、试证： , 1 (ln ) 2 g g g x µ µν αµ µν α α ∂ Γ = = − ∂ 。 证明： , , , 1 ( ) 2 g g g gµ µναµ αν µ νµ α αµ νΓ = + − , , , 1 1 1 2 2 2 g g g g g gµν µν µναν µ νµ α αµ ν= + − , 1 2 g gµν µν α= ， 而 1/ 2 1 1 1(ln ) ( ) ( ) 2 2 gg g g x x g xgα α α −∂ ∂ ∂− = − ⋅ − = ∂ ∂ ∂− ， 又由 dg g g dgµν µν= ⋅ ，得到 gg g g x x µνµν α α ∂∂ = ⋅ ∂ ∂ ， 因此，我们得到： (ln )g x µ αµ α ∂ Γ = − ∂ 。 三、设 },{ xt 是二维闵氏空间的洛仑兹坐标系，试证由下式定义的 }','{ xt 也是洛仑 兹系。 . ,' ,' 为常数λ λλ λλ    += += xchtshx xshtcht 注：洛仑兹坐标系是指二维闵氏度规在其中能写成      − 10 01 的坐标系。 证明： 2 2 2ds dt dx= − + ， 而 dt dtch dxshλ λ′ = + ， dx dtsh dxchλ λ′ = + ， 故 2 2dt dx′ ′− + 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )dt ch dx sh dtdxch sh dt sh dx ch dtdxsh chλ λ λ λ λ λ λ λ= − + + + + + 2 2 2dt dx ds= − + = ， 因此{ , }t x′ ′ 也是洛伦兹坐标系。 四、证明毕安基恒等式 0;;; =++ ρ νλσµ ρ µλνσ ρ σλµν RRR 可以写成 .0) 2 1( ; =− ν µνµν RgR 证明:由毕安基恒等式，缩并 ρ，σ得 ; ; ; 0R R R σ σ σ λµν σ λνσ µ λσµ ν+ + = ， ; ; ;( ) 0R R R σ σ σ λµν σ λνσ µ λµσ ν+ + − = ， ; ; ; 0R R R σ λµν σ λν µ λµ ν+ − = 。 再用 gνλ缩并，得 ; ; ; 0R R R σ ν µ σ µ µ ν− + − = ， ; ; 1 0 2 R Rνµ ν µ− = ， ; 1( ) 0 2 R Rν νµ µ νδ− = ， 于是有 ; 1( ) 0 2 R g Rµν µν ν− = 。 五、已知 0; =λµνg ，求证 0; =λ µνg 。 证明： g g µν ναµ αδ= ， ; ; ; 0g g g g µν µν ν αµ λ αµ λ α λδ+ = = 而 ; 0gαµ λ = ， 故 ; 0g g µν αµ λ = ， ; 0g g g ρα µν αµ λ = ， 于是，有 ; ; ;( ) 0g g g ρ µν ρ µν ρν µ λ µ λ λδ δ= = = 。 六、试证： σ σµ σ σλµν νλ ;; RRg −= 。 证明: ; ; ;( ) ( )g R g R g g R νλ σ νλ σ νλ σκ λµν σ λµν σ κλµν σ= = ; ;( ) ( )g g R g R νλ σκ σκ λκµν σ κµ σ= − = − ;R σ µ σ= − 。