数学分析与高等代数考研真题详解--中山大学卷

博士家园考研丛书 （2010 版） 全国重点名校数学专业考研及解答 数学分析与高等代数 考研真题详解 中山大学数学专卷 博士家园 编著 博士家园系列内部资料 《 博 士 家 园 数 学 专 业 考 研 丛 书 》 编委会 这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究 生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大 同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始 大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试 题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(www.math.org.cn), 这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高 校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审 稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无 闻的广大数学工作者，我们向他们示最崇高的敬意！ 国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数 学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更 多更新的信息与资源建立了专业网站——博士家园网站。本站力图成为综合性全国数学信息 交换的门户网站，旨在为科研人员和数学教师服务，提供与数学研究和数学教学有关的一切 有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流 的数学科学信息交流中心之一。由于一般的院校可能提供一些往年试题，但是往往陈旧或者 没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的 试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校 的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们 的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试 题： 博士家园主页网址：http://www.math.org.cn 博士数学论坛网址：http://bbs.math.org.cn 数学资源库: http://down.math.org.cn 欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正：www.boss@163.com 博士家园 二零一零年二月 2 博士家园系列内部资料 数学分析与高等代数考研真题详解 中山大学考研数学专卷 目录 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 2005 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2007 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2008 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》十试题解答 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 2009 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 2009 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 中山大学 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 1．（16 分）讨论 0 ( ) ( 1)( 3) x f x t t d= − −∫ ,5]t 在[0 的极值与最值． 2．（16 分）已知方程 sin( 确定隐含数) sin( ) 1x y y z+ + + = ( , )z z x y= , 求 2z x y ∂ ∂ ∂ ． 3．（16 分）计算 2 2 (ln 1 2C y x ydx dy x y + +⎡ ⎤ +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦∫v 1) , 其中C为四条直线 1, 1x y= ± = ± 所围区域 的正向边界． 4．（16 分）求极限 0 21 ( 1)lim 2 ( 1) n nx n x n n ∞ → = − + + ∑ ． 5．（16 分）设函数 ( , )f x y 在 上连续, 而函数列{ (,a x A b y B≤ ≤ ≤ ≤ )}n xϕ 在[ , 一致 收敛, 且 ]a A ( )nb x Bϕ≤ ≤ ( 1, 2,...)n =, ．证明函数列 ( ) ( , ( ))n nF x f x xϕ= , , 在 也一致收敛． ( 1, 2,...)n = [ , ]a A 2 博士家园系列内部资料 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答∗ 1． 解 令 , 得稳定点'( ) ( 1)( 3) 0f x x x= − − = 1, 3x x= = ''( ) ( 3) ( 1) 2 4f x x x x= − + − = − , 从而有 ''(1) 2 4 2f = − = − , ''(3) 2 3 4 2f = × − = 所以 ( )f x 在[0 中存在极大值,5] (1)f 和极小值 (3)f , 又因为 (0) 0f = 1 1 2 3 2 00 0 1 4(1) ( 1)( 3) 4 3 ( 2 3 ) | 3 3 f t t dt t t dt t t t 1= − − = − + = − + =∫ ∫ 3 3 2 3 2 00 0 1(3) ( 1)( 3) 4 3 ( 2 3 ) | 3 f t t dt t t dt t t t 3 0= − − = − + = − + =∫ ∫ 5 5 2 3 2 00 0 1 2(5) ( 1)( 3) 4 3 ( 2 3 ) | 3 3 f t t dt t t dt t t t= − − = − + = − + =∫ ∫ 5 0 所以 ( )f x 在[0 的极大值为,5] 4 3 , 极小值为 0, 最小值为 0, 最大值为 20 3 ． ■ 2． 解 在等式的两边同时对 x求偏导数 ( ) cos( ) cos( ) 0zx y y z x ∂Ι + + + =∂ 求得 cos( ) cos( ) z x y x y z ∂ += −∂ + ( ) cos( ) cos( )(1 ) 0zx y y z y ∂ΙΙ + + + + =∂ 求得 cos( ) 1 cos( ) z x y y y z ∂ += − −∂ + 再将等式 ( 的两边同时对)Ι y 求偏导数, 得 2 sin( ) [ sin( )(1 ) cos( ) ] 0z z zx y y z y z y x x y ∂ ∂ ∂− + + − + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ 将 cos( ) cos( ) z x y x y z ∂ += −∂ + , cos( ) 1 cos( ) z x y y y z ∂ += − −∂ + 代回上式, 得 2 2 3 sin( )cos ( ) sin( )cos ( ) cos ( ) z x y y z y z x x y y z ∂ + + + +=∂ ∂ + 2 y+ − 1 ． ■ 3． 解 令 ． (1,1), ( 1,1), ( 1, 1), (1, 1)A B C D= = − = − − = 在直线 :DA x = 上, , 此时 0dx = 1 2 1 2 ( 1) 1ln 2 ln 3 1 2 2DA y x y ydx dy dy x y y− + + +⎡ ⎤ + = =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦∫ ∫ − 1 在直线 :AB y = 上, , 此时 0dy = ∗ 解答人： 刘权辉 五邑大学 3 博士家园系列内部资料 1 2 21 2 ( 1) 3 3ln ln 2ln 4 1 2 1 2AB y x ydx dy dx x y x π−+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ + 在直线 上, , 此时 : 1BC x = − 0dx = 1 2 1 2 ( 1) 1ln 2 ln 3 1 2 2BC y x y ydx dy dy x y y −+ + +⎡ ⎤ + = − =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦∫ ∫ − 在直线 上, , 此时 : 1CD y = − 0dy = 1 2 21 2 ( 1) 1ln ln ln 4 4 1 2 1CD y x ydx dy dx x y x π− + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ − 所以, 2 2 ( 1)ln 4 4 ln 3 1 2C y x ydx dy x y + +⎡ ⎤ + = −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦∫v ． （此题亦可利用格林公式）■ 4． 解 由于在 时, [ 1,1]x∈ − 2 1 ( 2 2 ( 1) n n n n x n n 1)+≤ + + 而利用达朗贝尔判别法, 我们可以知道 1 ( 1 2nn n n∞ = )+∑ 收敛, 所以级数 21 ( 1) 2 ( 1) n n n x n n ∞ = − + + ∑ 在 一致收敛, 于是就有了 [ 1,1]x∈ − 0 02 21 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)lim lim 2 2 ( 2) ( 1) ( 1) n n n n nx xn n n n n x x n n n n ∞ ∞ ∞ → →= = = − −= = −+ ++ + ∑ ∑ ∑ + 令 1 1 ( ) ( 1) n n f x x n n x ∞ − = = +∑ , 则 ( )f x 在 3[ ,04x∈ − ]中一致收敛, 所以有了 2 1 3 1 2( ) 1 ( n n 1) x xf x x x x x x ∞ + = ′′′′ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 而 1 ( 1) 1 2( ) ( 2) 2 27nn n n f ∞ = + = − =−∑ , 所以 4 博士家园系列内部资料 0 21 ( 1) 2lim 2 27 ( 1) n nx n x n n ∞ → = − = + + ∑ ． ■ 5． 解 假设 ( ) lim ( )nnx xϕ ϕ→∞= , 对于 0ε∀ > , 存在 0δ > 使得 1 2y y δ− < 时, 1 2( , ) ( , )f x y f x y ε− < 对于 0δ > 存在 使得 n 时 0N > N> ( ) ( )nx xϕ ϕ δ− < 于是 ( , ( )) ( , ( ))nf x x f x xϕ ϕ ε− < 即 ( ) ( , ( ))nF x f x xϕ ε− < 所以 在 时一致收敛于( )nF x a x A≤ ≤ ( , ( ))f x xϕ ． ■ 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 1．（10 分）计算下列n阶行列式： 2 1 0 . . . 0 0 1 2 1 . . . 0 0 0 1 2 . . . 0 0 0 0 0 . . . 1 2 nD = . . . . . . . . 2．（10 分）设 1 2, ,..., nα α α 是数域 上线性空间V 中一线性无关向量组, 讨论向量组P 1 2 2 3, ,..., n 1α α α α α α+ + + 的线性相关性． 3．（10 分）设 A＝ ． 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ （1）．证明： ． 2 2n nA A A−= + − I （2）．求 ． 100A 5 博士家园系列内部资料 4．（20 分）设 3R 的线性变换A在标准基下的矩阵 A＝ ． 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ （1）．求 A的特征值和特征向量． （2）．求 3R 的一组标准正交基, 使A在此基下的矩阵为对角矩阵． 5．（20 分）设 β 为n维欧氏空间V 中一个单位向量, 定义V 的线性变换A如下： A 2( , ) , Vα α β α β α= − ∀ ∈ 证明： （1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射） （2）V 的正交变换是镜面反射B的充要条件为 1 是B的特征值, 且对应的特征子空 间的维数为 －1． n 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答∗ 1． 解 将 按一列展开, 有 nD 1 2 2 1 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 2 20 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 n n nD D D− − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = − =⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 2 从而有 1 1 2 3n n n nD D D D D D− − −− = − = ⋅⋅⋅ = − 容易知道 3 2 1 0 1 2 1 4 0 1 2 D = = , 2 2 1 31 2D = = , 1 2D = 所以 , 从而有 1 1n nD D −− = 1 3 1 2 2 2( ) ( )n n n n nD D D D D D D D n− − −+ + ⋅⋅⋅+ − + + ⋅⋅⋅+ = − = − 2 所以有 ． ■ 1nD n= + 6 博士家园系列内部资料 2． 解 设有等式 1 1 2 2 2 3 1( ) ( ) ( )n n nx x x 0α α α α α α−+ + + + ⋅⋅⋅+ + = , 即 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n nx x x x x x 0n nα α α−+ + + + ⋅⋅⋅+ + = 因为 1 2, , , nα α α⋅⋅⋅ 是数域 上线性空间的线性无关组, 所以有方程组 P 1 1 2 1 0 0 ( ) 0 n n n x x x x x x− + =⎧⎪ + =⎪Ι ⎨ ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪⎪ + =⎩ 其对应的系数矩阵为 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 A ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⋅⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅⋅⋅⎜ ⎟⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⋅⋅⎝ ⎠ 1 2 3 1 1 1 0 0 0 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ( 1)0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 n n n nA − − − − ⋅⋅ ⋅ + − − − ⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ = =⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + − (1)当 为偶数时, n 0A = , 则方程组 ( )Ι 有非零解, 即 1 2, , , nx x x⋅ ⋅ ⋅ 不全为 0, 此时向量组 1 2 2 3, ,..., n 1α α α α α α+ + + 线性相关; (2) 当 为偶数时, n 0A ≠ , 则方程组 ( )Ι 只有零解, 即 1 2, , , nx x x⋅ ⋅ ⋅ 全为 0, 此时向量组 1 2 2 3, ,..., n 1α α α α α α+ + + 线性无关． ■ 3． 解 (1)用数学归纳法, 当 时, 3n = 3 3 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0 A ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟⎟⎠ , 2 2 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 A A I I A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − = + − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 所以命题成立, 假设当n 时命题成立, 即k= 2 2k kA A A− I= + − , 当 1n k= + 时, 1 2 2 1 3 1( )k k k k kA A A A A A I A A A A A+ − − −= ⋅ = ⋅ + − = + − = + −2 I I命题也成立, 综上所述, ; 2 2n nA A A−= + − (2) 7 博士家园系列内部资料 100 98 2 96 2 4 2 2 22( ) 48( ) 2 48( ) 1 0 0 50 1 0 50 0 1 A A A I A A I A A I A I A I= + − = + − = ⋅⋅⋅ = + − = − + − ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ． ■ 4． 解 (1) A的特征方程为 2 2 1 1 1 2 1 ( 1) ( 4) 1 1 2 I A λ λ λ λ λ λ − − − − = − − − = − − = − − − 0 求得特征根 1 24, 1λ λ= = (二重), 现来求属于 1 4λ = 的特征向量, 将 1 4λ = 代入齐次方程 组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( 2) 0 ( ) ( 2) 0 ( 2) x x x x x x x x x λ λ λ 0 − − − =⎧⎪Ι − + − − =⎨⎪− − + − =⎩ 得到 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 2 0 2 0 x x x x x x x x x − − =⎧⎪− + − =⎨⎪− − + =⎩ 它的基础解系是 1 1 1 1 α ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 因此, 属于 1 4λ = 的特征向量是 1α , 而属于 1 4λ = 的全部特征向量是 1 1kα , 且 ; 1k R∈ 1 0k ≠ 再用 2 1λ = 代入齐次方程组 ( , 求得它的基础解系是 )Ι 2 3 1 1 1 , 0 0 1 α α − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 因此, 属于 2 1λ = 的特征向量是 2 3,α α , 而属于 2 1λ = 的全部特征向量是 2 2 3 3k kη α α= + 2 3,k k R∈ 且 2 3, 0k k ≠ (2) 将 1 2 3, ,α α α 单位化, 得到 8 博士家园系列内部资料 1 1 1 1 1 1 3 1 αβ α ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2 2 1 1 1 2 0 αβ α −⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 33 3 1 1 0 2 1 αβ α −⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 2 3, ,β β β 即为说求 3R 上的一组标准正交基． ■ 5． 解 (1)由于A为线性变换, 并有 ( Aα , Aη ) ( 2( , ) , 2( , ) ) ( , ) 2( , )( , ) 2( , )( , )α β α β η η β β α η β α η β η β β α= − − = − − + 4( , )( , )( , ) ( , )β α η β β β α η= 所以, σ 是正交变换； 设 V 为n维欧氏空间, 现将 β 扩充为标准正交基: 2, , , nβ β β⋅⋅⋅ , 则可以得到 A β 2( , )β β β β β= − = − A iβ 2( , )i i iβ β β β β= − = 故 A 2 2 1 0 0 0 1 0 ( , , ) ( , , ) 0 0 0 1 n nβ β β β β β − ⋅⋅⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⋅⋅⎜ ⎟⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ ⎜ ⎟⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ 即A在基 2, , , nβ β ⋅⋅⋅ β 下的矩阵为 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A − ⋅⋅⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⋅⋅⎜ ⎟= ⎜ ⎟⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ 由于 1B = − , 故A为第二类的正交变换; (2) 取 维特征子空间 的一组标准正交基1n− 1V 2 3, , , nβ β β⋅⋅⋅ , 把η扩充为 维欧氏空间的n 9 博士家园系列内部资料 一组标准正交基: 2 3, , , , nβ β β β⋅⋅⋅ , 设 B 1 2 2( ) n nk k kβ β β= + + ⋅⋅⋅+ β , 为实数 ik 但由于 iη 都是 中的向量, 故 1V B ( )i iβ β= , 2, ,i n= ⋅⋅⋅ 于是B在基 2 3, , , , nβ β β β⋅⋅⋅ 下的矩阵为 1 2 0 0 1 0 0 1n k k B k ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⋅⋅⎜ ⎟= ⎜ ⎟⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅⋅ ⋅⎝ ⎠ 由于B是正交变换, 2 3, , , , nβ β β β⋅⋅⋅ 为标准正交基, 故 B为正交矩阵, 从而 2 1 1k = , 2 3 0nk k k= = ⋅⋅⋅ = = 又因为 是 维, 故1V 1n− 1Vβ ∉ , 即 β 不能是B的属于特征值 1 的特征向量, 所以只有 , 于是 1 1k = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B − ⋅⋅⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⋅⋅⎜ ⎟= ⎜ ⎟⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⎜ ⎟⋅⋅⋅⎝ ⎠ 所以镜面反射的特征根为 1 1λ = − , 属于 1 1λ = − 的特征子空间为 ( )S L β= , 1 1λ = ( 重), 属于 1n− 1 1λ = 的特征子空间为 2 3( , , , )nW L β β β= ⋅⋅⋅ ． ■ 10 博士家园系列内部资料 11 博士家园系列内部资料 1．解： ⎩⎨ ⎧ <+ ≤= 0x, b2ax 0x, cos2 )(' xexf x ⎩⎨ ⎧ < ≤−= 0x, 2 0, )sin(cos2 )('' a xxxexf x )(" xf 在 处处存在，即 在),( +∞−∞ )('),( xfxf ),( +∞−∞ 上连续可导，从而有 1a 22cos2lim)0(')('lim a2 12lim)0(')('lim 0x(x)f' 2b 2cosx e2lim 1)cos(sinlim)0()(lim b b)x(lim 1lim)0()(lim 1, 1)0(lim)(lim 0x0x 0x0x x 0x0x0x 0x 2 0x0x 2 0x0x =∴=−=− =−+=− =∴==−+=− =+=−++=− =∴===++= −− ++ −−− +++ ++ →→ →→ →→→ →→→ →→ x xe x fxf x bax x fxf x xxe x fxf a x cbxax x fxf cfccbxaxxf x x 处可导，故＝在 2． 时取最小＝在所以 时取极小，又＝在 从而 得到稳定点 面积 ）点的法线方程为在（曲线 2 a)( 2 5)( 2 aS(a) 0,) 2 (S",0 4 )(" 2 a, 0 2 2)(' 2 2sin)( 0,asinxy 3 2 2 2 2 0 π πππ ππ ππ ππ ππ π aS S a aS a aS a adx aa xxaaS aa xy =∴ >>= ==−= +=+−=∴ −== ∫ 3 在 s 上加一个平面 L: 就可以把 s 围成闭合的曲面，应用高斯公式 aex = 12 博士家园系列内部资料 )1(248)1(2 )1(2)1(248)1(2 0)48(-448)1(2 48)1(2 48)1(248)1(2 222 2222 v 2 2 22 −=−+−∴ −=−=−+− =−+=−+− −+− +−+−=−+− ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ + + aa s aa L a L sL s sL L eexzdxdyxydzdxdydzx eedydzexzdxdyxydzdxdydzx dxdydzxxxxzdxdyxydzdxdydzx xzdxdyxydzdxdydzx xzdxdyxydzdxdydzxxzdxdyxydzdxdydzx π π 其中 4．应用不等式 0x, )1ln( ≥≤+ xx 显然对 有,Rx∈∀ 2 3 2 332 2 3 323232 1122) 2 1ln() 2 1ln( nn nx nx nx x nx x nx x ≤⋅+ ⋅=+≤++=++ 由 M 判别法有，级数∑∞ = ++1 32 ) 2 1ln( n nx x 在 R 上一致收敛 5 证明：（必要性）若 f(x)在(a,b)一致连续，即 εδδε <−<−∈∀>∃>∀ )()(,),,(,,0,0 212121 xfxfxxbaxx 有 有因为{ }在（a，b）中的收敛列，不妨设{ }收敛于 x，则 nx nx 对上述的 δδ <−>∀>∃ xxNnN n有,,0, 从而有 是收敛列所以收敛于即 )(),(}{,)()( nnn xfxfxxfxf ε<− 充分性：还没能解决！请见谅 13 博士家园系列内部资料 中山大学 2007 数学分析参考答案 一： （1） 0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 0 0 sin( )sin 2, , ( ) sin cos 2 2sin( ) cos( ) 2 2 cos , sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1 * 2 sin cos sin cos 2 sin cos 2 2 4 txI dx t x I d x x x x x t dx t t x t x xI dx dx dx x x t t x x π π π π π π π π π π π π π − = = − = −+ − + − = + += + =+ + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 令 则 所以 （ ）= = （2）令 1, ,x x xt e e e dx dx dt t = =则dt=d 即 = 原式= 2 2 arcsin 1 1 1 1arcsin arcsin 1 tdt td t dt t t t t t = − = − − − −∫ ∫ ∫ 22 2 2 1 1 1 1 1 10 ( 1 11 1 1 t dt dt t tt t t > − = − =− − − ∫ ∫ ∫时， )d t 2 2 1 1ln | 1 | ln | 1 |x xc e e t t − −= + − + = + − +c 原式= 2arcsin ln( 1)x x x xe e e e− − −− − + − c+ 22 2 2 2 2 1 1 1 1 1 10 ( 1 11 1 1 1 1ln | 1 | ln | 1 |x x t dt dt t tt t t c e e c t t − − < − = = −− − − = − + − + = − + − + ∫ ∫ ∫时， )d t 原式= 2arcsin ln( 1)x x x xe e e e− − −− + + − c+ 注记：① 2 2 1 ln | 1 | 1 dx x x c x = + − +−∫ 在华东师范大学教材三版的附录中有 ②一直觉得这道题目有简单的解法，解答结果也应该能统一起来。Wenmingen解法如下 14 博士家园系列内部资料 http:// down.math.org.cn/dispbbs.asp?boardID=48&ID=473&page=1 （3）罗比达法则 原式= 0 0 1 12lim lim 11 ( ) 2 xx xx x ee x → + → += =−− − （4）先取对数 2 20 0 2 1 1ln cos1 1 1 1 ln coslim ln cos lim lim12 2 2x t t tx xx x t x →∞ → → = = = 令 罗比达法则 = 0 0 sin 1 1coslim lim 2 2 sin 2 cost t t t t t t→ → − = = −等价无穷小代换 1 1 2 = − 故原式= 1 2e − （5）对方程 两边求导，得 2xy xe x e− − + = 0 2 0xy xy xe dx e dy dx e dx− −− − − + = 得 dy dx = 2 xy x xy e e e − − − − + （Ⅰ）两边再求导得 dy dx = （6）设 2 2 2( , , ) 2 3 0F x y z x y z= + + = 则 ，( , , ) (2 ,4 ,6 )x y zn F F F x y z= = G (1,1,1)( , , )| (2, 4,6)x y zF F F = 15 博士家园系列内部资料 切平面方程为 2( 1) 4( 1) 6( 1) 0x y z− + − + − = 即 2 3 6x y z+ + − = 0 二． （1） 条件收敛 记 2 1 (ln )( 1) , (ln 3) n n n na −= − 21 1 ln( 1) 1lim | | lim( ) 1 ln 3 ln ln 3 n n n n a n a n + →∞ →∞ += = < （ 罗必达法则） （2）发散 2 1 2n x n ∞ = ∑ 绝对收敛， 1 1 sin sin ~ n n n 1 x x x n n ∞ ∞ = = = n ∞ = ∑ ∑ ∑ 发散 （3）广义积分收敛 令 化为2 ,t x= 0 tte dt ∞ −∫ 00 0lim lim lim 0.t tt t t tte e e − → →∞ →∞= = = ' 1lim lim lim 0. 2 t t tt t t t l hospitalte e e t − →∞ →∞ →∞= = = （3）积分发散 20 lnlim (1 )x x x→ − 不存在 21 1 ln 1lim lim (1 ) 2 (1 )x x x x x x→ → =− − − 不存在 令 1 ,t x= − 1 1 11020 0 00 2 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 1ln(1 ) | lim 1 1(1 ) ( ) 2 4 t t tdt t dt dt t t t t t t → − −= − − − = +− − −∫ ∫ ∫ 0 1 0 1 0 1 1 1 1lim lim ln | | lim ln | | 1 lim ln | | lim ln | | 1t t t t t t t t t t t t t→ → → → → − − − −= + − = − + −− 1 t − 1 1lim ln | | t t t→ − 和 0 1lim ln | | t t t→ − 均不存在 三． ( sin sin cos ) cos tan (cos cos sin ) sin dy a t t t t at t t dx a t t t t at t − + += =− + = 方程在 的斜率为 0t= t 0tan t 法线方程为 0 0 0 1y-y =- ( ) tant x x− 16 博士家园系列内部资料 即 0 0 0 0 0 0 0 1y-a(sint -t cost )=- ( (cos t t sin t )) tant x a− + 化简整理得到： 下面求凹凸性， dy dx = cos sin at t at t 2 2 2 2 tan sec 1 sin sin cos dy d tdx d y tdt dt dx dxdx at t at t t dt dt = = = = 0 (0, ),t π∈∵ 0 2 2 |t t d y dx = > 0，所以曲线在 (0, )π 是凹函数（上凸函数） 四．（1）显然函数 ( , )f x y 在 外的任意点连续 (0,0) 2 2 2 | |,x y xy+ ≥∵ 所以 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) | |0 lim | | lim | | lim 2 2x y x y x y xy xy y x y xy→ → → ≤ ≤ =+ 0= 所以由夹逼法则 2 2 2( , ) (0,0) lim | | 0, x y xy x y→ =+ 从而 2 2 2( , ) (0,0) lim 0, x y xy x y→ =+ ( , )f x y 在 连续 (0,0) 综上，函数 ( , )f x y 在平面上连续 （2） ( , 时， ) (0,0)x y ≠ 2 2 2 2( , ) ( )x y xf x y 2x y −= + ， 2 2 2 2( , ) ( )y 2 xy yf x y x y −= + 0 ( ,0) (0,0)(0,0) lim 0x x f x ff xΔ → Δ −= =Δ 同理 (0,0) 0yf = 但 2 22 2 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( ) ( )( ) ( )lim lim ( ) ( ) ( ( ) ( ) )x y x y x y x yx y x y x yΔ Δ → Δ Δ → Δ Δ Δ ΔΔ + Δ =Δ + Δ Δ + Δ 3 17 博士家园系列内部资料 令 则原式,y k xΔ = Δ 2 2 2 2 3( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( )lim lim ( ( ) ( ) ) ( 1 )x y x y x k x k x k x kΔ Δ → Δ Δ → Δ Δ= =Δ + Δ + 2 3 随着 的值变化而变化。 k 故函数在原点存在偏导数，但在原点不可微 （3）由（2）可知 记(0,0) 0, (0,0) 0x yf f= = 0 (0,0)P = 故函数在原点的方向导数存在，且 0 00 ( ) ( )| cos sinf p f pf p a x yl α 0∂ ∂∂ = + =∂ ∂∂G ( , ) (0,0)x y ≠ 时， 3 2 2 30 0 (0 cos ,0 sin ) (0,0) cos sinlim lim cos sin t t f f t t f t t tl α α α α α α→ → ∂ + + −= =∂G = 1 注记：参考《数学分析题解精粹》808 题 五． 由已知得到 ，令2 22x y+ = sincos , 2 x y θθ= = xyzdy =∫v 2 2 22 2 0 0 2 2 00 sin 4 24 cos sin cos sin sin 2 22 2 2 1 cos 4 2 2 sin 4 2| 2 2 8 16 8 d d d π π π π θ 22 0 d π θ θ θ θ θ θ π θ πθ = = −= = − = ∫ ∫ ∫ ∫ θ θ 注记；这道试题我没有把握。 六． （1）令 2 1 2 1, ( 1)nn nt x a n − += = − ， 11 1 2 1lim 1, ( 1)nn nn nn a na a n ∞ −+ →∞ = += −∑ 2nt 的收敛半径为 1。 1 1 2 1( 1)n n n 2nx n ∞ − = +∴ −∑ 的收敛半径为 1。 由柯西， 22 1lim lim | |n nnn n na x n→∞ →∞ += = x ， 当 || 时，即 时候，级数绝对收敛 | 1x < ( 1,1)x∈ − 当 时，级数为1x = ± 1 1 2 1( 1)n n n n ∞ − = +−∑ 发散， 故收敛域 ( 1,1)x∈ − 18 博士家园系列内部资料 （2） 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ( 1) 2 ( 1)( 1) 2 ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n x xx x n n x − −∞ ∞ ∞ ∞− − = = = = + −− = − + = ++∑ ∑ ∑ ∑ nx n − 1 2 1 ( 1)( ) n n n xg x n −∞ = −=∑ 逐项求导数得 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ( 1) 2'( ) 2 ( 1) 1 n n n n n n n xg x x n x − −∞ ∞ − − = = −= = − x= +∑ ∑ 逐项积分得 2( ) ln(1 )g x x= + 2 1 2 2 1 2 1 2( 1) ln(1 ) 1 n n n n x 2x x n x ∞ − = +− = ++∑ + （3）在 上一致收敛 ( 1,1)x∈ − 注记：参考《数学分析题解精粹》738 题 七． (1)由题意设曲线 L 方程为： y= ( )f x 则由题意 ( )f'( )- =af xx x x ，得到 2'( ) ( )xf x f x ax− = 因为曲线光滑 两边再求导数，得到 ''( ) 2f x a= x ,两次积分得 2( )f x ax bx c= + + 代入 2'( ) ( )xf x f x ax− = 得到 ，曲线过点 ，得0c = (1,0) (1) 0, 1f b a= = − 故曲线 L 的方程为: 2( )f x ax a= − x (1) 画出草图， 2 y ax y ax ax =⎧⎨ = −⎩ 得到交点 (0 ,0), (2, 2 )a 2 2 0 80, [ ( )] 4 8, 3 6 aa S ax ax ax dx a a > = − − = − + = = ∫ 八． ( ) [0 1] ( ) [0 1]f x f x在 ，上连续，由cantor定理，所以 在 ，上一致连续 [0,1], 0, ,x N n Nε∀ ∈ ∀ > ∃ >当 时 nx，| 0 | ,ε< lim ( ) (0)n n f x f→∞ = − [0,1], 0, ,x N n Nε∀ ∈ ∀ > ∃ >当 时，| ( ) (0) | ,nf x f ε− < 19 博士家园系列内部资料 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) t t t tn n n nf t g t f x dx tf f x dx f dx f x f dx− = − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ [0,1], 0, ,x N n Nε∀ ∈ ∀ > ∃ >当 时， 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) (0) | t tn nf t g t f x f dx dx tε ε− = − < =∫ ∫ ，证毕 20 博士家园系列内部资料 21 博士家园系列内部资料 22 博士家园系列内部资料 23 博士家园系列内部资料 24 博士家园系列内部资料 25 博士家园系列内部资料 26 博士家园系列内部资料 27 博士家园系列内部资料 28 博士家园系列内部资料 29 博士家园系列内部资料 30 博士家园系列内部资料 31 博士家园系列内部资料 32 博士家园系列内部资料 中山 08 数分解答 一 ( ) 0 lnlim 1 ln 1lim limln 0 0 1 lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x e e e e +→ →+∞ →+∞ + + − − → → = = = = = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 4 cos 2 cos 4 sin 2 cos 4 sin sin 2 cos 4 sin cos 1 2 cos 4 sin x xdx t tdt t d t t t t tdt t t td t t t t t tdt t t t t t x x x x c = = − = − + = − + =− + − =− + + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c+ ( ) ( ) 1 1 1 02221 0 0 1 1 223 arctan arctan 2 22 ln 2 2 2 1 2 e xd dx dx x xx x x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =++ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 22 ( ) ( ) ( )2 20 0 0 12 20 0 1 14 11 1 1ln ln 2 1 x x xx x x x x x xe xedx dx xd ee e dx de dx x e e e x x x −+∞ +∞ +∞ − +∞ +∞ +∞ +∞ ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟+⎝ ⎠+ + +⎛ ⎞= = = = − =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )5 由分析则有 1 1 2 1x x x f yfz f yf z zϕ ϕ +′= + + ⇒ = ′− ， ( ) 22 1 1y y y xfz xf z z ϕϕ ϕ ′+′= + + ⇒ = ′− 从而 1 2 1 1 f yf xfdz dx dyϕϕ ϕ ′+ += +′ ′− − ( )6 由分析则有 ( )( )24 4 4 12 0 0 0 0 2562 2 4 64 1 15 x x S dx dy x x dx x xdx −= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ = ( )7 根据对称性则有 令 2 2 2 2 D x yI dxdy a b ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ，则 2 2 2 2 D y xI dxdy a b ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ 从而 ( )2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 2 4DI x y dxdy Ia b a b a b π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ( )8 ( ) ( ) ( ) ( )2 ! 1 100 2 ! 1 2 1 2n nn nu n n n n n n ≤ = < >+ −" 33 博士家园系列内部资料 从而级数 收敛 1 n n u ∞ = ∑ 二；解：由分析则有