丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1求不定方程x5y0的整数解2解已知方程可化为x5x23x233y2x2x2x21x3x2因为y是整数，所以也是整数.x2由此x+2=1，-1，3，-3，即x=-1，-3，1，-5，相应的y4,0,2,0.所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2求不定方程37x107y25的整数解.解因为(37,107)125,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:10737233,373314,33481从最后一个式子向上逆推得到37(26)10791。所以37(2625)107(925)25则特解为x02625650y0925225通解为x650107t8107(t6)y22537t337(t,tZ6)或改写为x8107t,tZ.y337t不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3求方程1111适合xyz的正整数解.xyz解因为xyz所以111xyz所以1111111zxyzzzz即113zz所以1z3所以z2或z3.当z2时有111xy2精选资料，欢迎下载。所以11111yxyyy所以112y2y所以2y4所以y3或y4,相应地x6或4;当z3时有112xy3所以11111yxyyy所以122y3y所以y3,y3;相应地x3.所以(x,y,z)(6,3,2),(4,4,2),(3,3,3).逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4求不定方程37x107y25的整数解.解因为(37,107)125，所以原方程有整数解.有37107，用y来示x，得25107y124yx13y则令3737124y,即4y3712mZm37精选资料，欢迎下载。由4<37,用m来表示y,得y1237mm439m令m4tZ,得m4t.将上述结果一一带回，得原方程的通解为4x8107tZy3,t37t注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求axbyc的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.对于二元一次不定方程axbyc来说有整数解的充要条件是(a,b)c.xx0btxx0btyy0,(tZ)或y0,(tZ)atyat分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5求不定方程3x5y143的整数解.解原方程等价于3x5y1433x5y14033(x1)5(y28)0因为3,51所以x15t,tZy283tx15t所以原方程的通解为,tZ.y283t奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用2n或2n1(nZ)代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6求方程x2y2328的正整数解.精选资料，欢迎下载。解显然xy,不妨设xy0因为328是偶数，所以x、y的奇偶性相同，从而xy是偶数.令xy2u1,xy2v1则u1、v1Z,且u1v10.所以xu1v1,yu1v1代入原方程得u12v12164同理，令u1v12u2,u1v12v2(u2、v2Z,且u2v20)于是，有u22v2282再令u2v22u3,u2v22v3得u32v3241此时，u3、v3必有一奇一偶，且0vu41633取v31,2,3,4,5,得相应的u3240,37,32,25,16所以，只能是u35,v34.从而x18,y2结合方程的对称性知方程有两组解18,2,2,18.精选资料，欢迎下载。换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7求方程111的正整数解.xy7解显见，x7,y7.为此，可设x7m,y7n,其中m、n为正整数.所以原方程111可化为xy71117m7n7整理得77m77n7m7n,即mn49.所以m149,n11;m27,n27;m31,n349相应地x156,y18;x214,y214;x38,y356所以方程正整数解为56,8,14,14,8,56.构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8已知三整数a、b、c之和为13且bc，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值.ab解由题意得abc13，消去b得13ac2acb2ac整理得到关于c的一元二次方程c2a26ca1320.因为a2624a1320,解得0a52.3精选资料，欢迎下载。因a0,若a1,则有c225c1440,解得c16或c9,符合题意，此时a1a1b4或b3;c16c9若a17时，则有c29c160,无实数解，故a17;若a16时，则有c210c90,解得c1或c9,符合题意，此时a16a16b4或b12;c1c9综上所述，a的最大值和最小值分别为16和1，相应的b与c的值分别为b4b12b4b3c或c和或c.19c169配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为形式等等，是数学中很常用的方法.例9若x2y252xy,求xyyx的值.4解由题意x22xy2y504即x1y12022所以x1,y所以xyyx1132212韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形精选资料，欢迎下载。或换元等方法，构造出形如ab、ab形式的式子，最后用韦达定理.例10已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程x28p10qx5pq0至少有一个正整数根，求所有的质数对p,q.解设方程的两根分别为x1、x2x1x2,由根与系数关系得x1x28p10qx1x25pq因为p、q都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.所以x11,5,p,q,5p,5qx25pq,pq,5q,5p,q,p所以x1x25pq1,pq5,5qp,5pq.①当x1x25pq1时，即5pq18p10q,因为p、q均是质数，所以5pq110p8p10q,故此时无解.②当x1x25pq5时，即pq58p10q,所以p10q885,因为p、q都是质数，且p10q8,所以p1017,85q8,5,1解得符合条件的质数对为p,q7,3.③当x1x25qp时，即5qp8p10q,所以7p15q,满足条件的质数对.④当x1x25pq时，即5pq8p10q,所以3p11q,于是p,q7,3或p,q11,3.综上所述，满足条件的质数对为p,q7,3或p,q11,3.整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线精选资料，欢迎下载。x3或ykxk的交点为整数时，k的值可以取A.2个B.4个C.6个D.8个解当k1时，直线yx3与yx1平行，所以两直线没有交点;当k0时，直线yx3与y0即x轴交点为整数;当k1、k0时，直线yx3与ykxyx3k的交点为方程组kx的解，解得ykx3kk1y4kk1因为x、y均为整数,所以k1只能取1,2,4解得k2,0,3,1,5,3.综上，为C.利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12已知k为整数，若关于x的二次方程kx22k3x10有有理根，求k值.解因为k0，所以kx22k3x10的根为2k34k28k92k32k225x2k2k,由原方程的根是有理根，所以2225必是完全平方式.k可设2k225m2,则m22k225,即m2k2m2k215,因为m、k均是整数,所以m2k21m2k25m2k2,m2k215m2k25,m2k21m2k11m2k25精选资料，欢迎下载。解得k2或0,因为k0,所以k的值是-2.判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式b24ac的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13求方程11123的整数解.xyxy4解已知方程可化为43xy24xy40因为x、y均为整数，所以16x248x640,且为完全平方数.于是，令16x248644n2,其中n为正整数x所以x23x4n20因为x、n均为整数所以944n20,且为完全平方数，即有，4n27为完全平方数.于是，再令4n27m2,其中m为正整数所以2nm2nm7因为2nm与2nm奇偶性相同，且2nm2nm所以2nm7,2nm1由上n2.相应的x23x0,解得x3或x0舍去，所以x3精选资料，欢迎下载。把x3代入已知方程中得y2或y2舍去,所以y25所以x,y3,2因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程axbycxyabc0整数解的基本思路:将axbycxyabc0转化为xacybab后,若ab可分解为aba1b1aibiZ,则解的一般形式为xaiabicb,再取舍得其整数解.c例14方程231,a、b都是正整数，求该方程的正整数解.ab4解已知方程可化为8b12aab所以ab12a8b9696即a8b1296因为a、b都是正整数所以b0,b1212这样b1216或24或32或48或96所以b4或12或20或36或84相应地a2或4或5或6或7所以方程的正整数解为:2,4,4,12,5,20,6,36,7,84.精选资料，欢迎下载。丢番图（Diophantus）：古代希腊人，代数学的鼻祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。百鸡百钱：我国古代数学家张丘建在《算经》一中提出的数学问题：“鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”解：设母鸡x只，公鸡y只，小鸡（100-x-y）只，所以3x+5y+(100-x-y)/3=100且x，y为整数。化简：X+7y/4=25公鸡五文一只，所以公鸡数量要至少小于20.有四种情况符合要求：Y048121620X2518114-3-10100-x-y757881848790公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只辗转相除法，又名欧几里德算法，是求两个正整数的最大公因子的算法。设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2(0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1；若r2≠0，则继续用r1除以r2，如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的被除数的除数即为(a,b)。例如：a=25,b=15，a/b=1余10,b/10=1余5,10/5=2余0,最后一个余数为0的被除数的除数就是5,5就是所求最大公约数。精选资料，欢迎下载。Welcome!!!欢迎您的下载，资料仅供参考！精选资料，欢迎下载