哈密顿算子

第13讲哈密顿算子（1）张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息学院z《矢量与场论》主要内容z1.哈密顿算子z2.基本运算公式的算子示z3.算子运算教材：第3章z《矢量分析与场论》z1.哈密顿算子z算子：一种对数的运算符号。z一个算子作用于一个函数以后可以按照一定的规则生成一个新的函数。z算子与函数的作用与算子的定义有关。算子的作用在于简化运算。z比如微分算子，不定积分算子，拉普拉斯算子，偏微分算子等。Df∫ffΔxf∂∂z哈密顿（Hamilton）引进一个矢性微分算子，kzjyixvvv∂∂+∂∂+∂∂≡∇称为哈密顿算子或算子。∇z算子本身并无意义，只是一种微分运算符号，同时被看作是矢量。∇z算子在运算中具有矢量和微分的双重性质，分别可与数量场和矢量场发生作用。∇z1.哈密顿算子),,(zyxu1）与数量场的相互作用—梯度算子ukzjyixu)(vvv∂∂+∂∂+∂∂=∇z算子的运算规则（与场的数性和矢性作用）主要包括4种运算。∇kzujyuixuvvv∂∂+∂∂+∂∂=gradu=梯度是一个矢量。z1.哈密顿算子)()(kAjAiAkzjyixAzyxvvvvvvr++•∂∂+∂∂+∂∂=•∇zAyAxAzyx∂∂+∂∂+∂∂=Adivv=),,(zyxAv2）与矢量场的数性作用—散度算子散度是一个标量。z1.哈密顿算子)()(kAjAiAkzjyixAzyxvvvvvvr++×∂∂+∂∂+∂∂=×∇zyxAAAzyxkji∂∂∂∂∂∂=vvv),,(zyxAv3）与矢量场的矢性作用—旋度算子旋度是一个矢量。kyAxAjxAzAizAyAxyzxyzvvv)()()(∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Arotv=z1.哈密顿算子Δ=∇•∇=∇24）数性算子—拉普拉斯算子Δ=∇•∇=∇2)()(kzjyixkzjyixvvvvvv∂∂+∂∂+∂∂•∂∂+∂∂+∂∂=222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=z拉普拉斯算子既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。uzuyuxuuΔ=∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222AzAyAxAAvvvvvΔ=∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222数量场u矢量场Avz1.哈密顿算子∇z场（原场）与算子相互作用的结果，产生一个新的场（算子场）。原场算子场数量场u矢量场Avu∇对应矢量场u2∇对应数量场Av•∇对应数量场Av×∇对应矢量场Av2∇对应矢量场z1.哈密顿算子)()(kzjyixkAjAiAAzyxvvvvvvr∂∂+∂∂+∂∂•++=∇•z数性微分算子zAyAxAzyx∂∂+∂∂+∂∂=z既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。zuAyuAxuAuAzyx∂∂+∂∂+∂∂=∇•)(v数量场u矢量场BvzBAyBAxBABAzyx∂∂+∂∂+∂∂=∇•vvvvv)(z1.哈密顿算子∇z算子的显著特点在于它的双重性，既是一个算子，又是一个矢量，但首先是一个算子，因此与矢量的运算法则略有不同。z矢量的点积可以交换，但算子和场的点积不能交换。∇ABBAvvvv•=•z矢量的叉积可以反交换，但算子和场的叉积不能交换。∇AAvv•∇≠∇•ABBAvvvv×−=×AAvv×−∇≠∇×z1.哈密顿算子z2.基本运算公式的算子表示z基本运算公式的算子表示，即是用哈密顿算子表示梯度、散度和旋度的基本运算公式。z哈密顿算子是描述场与空间相互作用的统一工具。∇z哈密顿算子和梯度、散度和旋度共同构成物理场描述的完备体系。∇zP85的基本公式中，（1）—（8），及（15）为基本公式，其余公式为导出公式。z梯度运算公式gradvgraduvugrad±=±)((3)(1)0=gradcC为常数(2)cgradugradcu=C为常数(4)vgraduugradvuvgrad+=)(0=∇c（1）uccu∇=∇vuvu∇±∇=±∇)(（4）uvvuuv∇+∇=∇)(（9）(5))(1)(2ugradvvgraduvvugrad−=(6)graduufugradf)()('=(7)gradvvfgraduufvugradf∂∂+∂∂=),()(1)(2vuuvvvu∇−∇=∇uufuf∇=∇)()('vvfuufvuf∇∂∂+∇∂∂=∇),(（22）（23）z梯度运算公式z散度运算公式（2）BdivAdivBAdivvvvv±=±)(（1）AcdivAcdivvv=)(（为常数）cAgraduAudivAdivuvvv•+=（3）（为数性函数）uAcAcvv•∇=•∇)(BABAvvvv•∇±•∇=±•∇)(AuAuAuvvv•∇+•∇=•∇（2）（5）（10）z旋度运算公式2）BrotArotBArotvvvv±=±)(1）AcrotAcrotvv=)(（为常数）cAgraduAurotArotuvvv×+=3）（为数性函数）uAcAcvv×∇=×∇)(BABAvvvv×∇±×∇=±×∇)(AuAuAuvvv×∇+×∇=×∇（3）（6）（11）4）BrotAArotBBAdivvvvvvv•−•=×)(5）0)(=gradurot6）0)(=ArotdivvBAABBAvvvvvv×∇•−×∇•=ו∇)(0)(=∇×∇u0)(=×∇•∇Av（13）（16）（17）z旋度运算公式AuAuAuvvv•∇+•∇=•∇z算子如果作用两个场，则它对两个场分别起作用。∇z算子与两个数量场的作用。∇vu,)()()(vuvuuv∇+∇=∇Avz算子与一个数量场和一个矢量场的作用。∇uAuAuAuvvv×∇+×∇=×∇cucu（9）（11）（10）（7）（8）vv•∇=•∇为常矢。cvcucuvv×∇=×∇为常矢。cvz2.基本运算公式的算子表示ABABBABABArvvvvvvvvv)()()()()(∇•+×∇×+∇•+×∇×=•∇Avz算子与矢量场和的作用。∇Bv（12）（14）（13）（18）)()()(BAABBAvvvvvv×∇•−×∇•=ו∇)()()()()(BAABBAABBAvvvvvvrvvv•∇+•∇−∇•−∇•=××∇AAAvvvΔ−•∇∇=×∇×∇)()(kAjAiAAzyxvvvvΔ+Δ+Δ=Δz2.基本运算公式的算子表示orvrrrr==∇（19）（21）（20）z位矢（位置矢量）,kzjyixrvvvv++=rrv=3=•∇rv0=×∇rvorvrrfrrrfrf)()()(''==∇0])([=×∇rrfv（）0)(3=×∇−rrv0≠r（24）（25）（26）z2.基本运算公式的算子表示31rrrv−=∇z位矢（位置矢量）,kzjyixrvvvv++=rrv=aravvv=•∇)(（为常矢）avarrararvvvv•=•∇=•∇)(（为常矢）avarrararvvvv×=×∇=×∇）（)(（为常矢）avz2.基本运算公式的算子表示z奥氏公式（27）（28）dVAdivSdAS∫∫∫∫∫Ω=•vvvdVASdAS∫∫∫∫∫Ω•∇=•vvvz斯托克斯公式∫∫∫•=•SlSdArotldAvvvv∫∫∫•×∇=•SlSdAldAvvvv)(z2.基本运算公式的算子表示证:uvkzjyixuv)()(vvv∂∂+∂∂+∂∂=∇例1：证明（9）)()()(vuvuuv∇+∇=∇kzuvjyuvixuvvvv∂∂+∂∂+∂∂=kzuvzvujyuvyvuixuvxvuvvv）（）（）（∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(kzujyuixuvkzvjyvixvuvvvvvv∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=uvvu∇+∇=z2.基本运算公式的算子表示z3.算子运算z算子实际上是三个数性微分算子的线性组合；数性微分算子服从乘积的微分法则。kzjyixvvv∂∂+∂∂+∂∂=∇zyx∂∂∂∂∂∂，，z乘积的微分法则：当算子作用于两个函数的乘积时，每次只对其中的一个因子作用，而把另外一个因子看作常数。∇z算子与函数的相互作用，也服从乘积的微分法则。例1：证明（9）)()()(vuvuuv∇+∇=∇证：根据算子的微分性质，并按照乘积的微分法则，有，∇)()()(ccuvvuuv∇+∇=∇c上式右端中，根据乘积的微分法则把暂时看作常数的量，附以下标，待运算结束以后，就可以去掉下标，因此有c)()()(ccuvvuuv∇+∇=∇uvvucc∇+∇=uvvu∇+∇=z3.算子运算例2：证明（10）AuAuAuvvv•∇+•∇=•∇)(证：根据算子的微分性质，并按照乘积的微分法则，有，∇)()()(ccAuAuAuvvv•∇+•∇=•∇AuAuAuvvv•∇+•∇=•∇)(AuAuAuccvvv•∇=•∇=•∇)(AuAuAuccvvv•∇=•∇=•∇)(z3.算子运算例3：证明（13）.)(BAABBAvvvvvv×∇•−×∇•=ו∇证：根据算子的微分性质，并按照乘积的微分法则，有，∇)()()(ccBABABAvvvvvvו∇+ו∇=ו∇根据算子的矢量性质，上式右端两项可以看成是三矢量的混合积，可以利用三矢量混合积中位置的轮换性质，∇ArBvCv)()()(BACACBCBAvvvvvvrvvו=ו=וz3.算子运算证：)()()(ccBABABAvvvvvvו∇+ו∇=ו∇∇将上式右端两项中的常矢都轮换到的前面，而将变矢都保留在的后面，得到，∇)()()(BABABAccvvvvvvו∇+ו∇=ו∇)()(ccABBAvvvvו∇−ו∇=)()()(BACACBCBAvvvvvvrvvו=ו=וBAABccvvvv×∇•−×∇•=BAABvvvv×∇•−×∇•=例3：证明（13）.)(BAABBAvvvvvv×∇•−×∇•=ו∇z3.算子运算∇z在应用这些公式的时候，设法将其中的常矢都移到的前面，而将变矢都保留在的后面。∇)()()(BACACBCBAvvvvvvrvvו=ו=וz算子的运算中，经常用到三个矢量的混合积公式，及二重矢量积公式，∇)()()(BACCABCBAvvvvvvrvv•−•=××z3.算子运算