农药生物活性测定实验指导

第PAGE\*MERGEFORMAT#页建立新边界证明内斯比特不等式建立新边界，这里指上下限。我们首先给出两种不同的方法内斯比特不等式：对所有的正实数a,b,c，恒有:3(228)即定理2.4。证法由(bac1、20可推导出：(ba-)2c则:(Qbc4(/c)2+/cac(ba1)c18a4(b1)0即:18a4(bc1)，即:8aa1(bcbc4abc8abc同样：b18bcaca4abc8cababc上面三式相加得:8ababc8bcaabc8cab(28)得证上面的②式等就是给出了的边界。c证法二：由AMGM不等式得到:a3b3b33ab，a3c3c33ac上二式相加得：2(a3b3c3)3a(bc)③即：2a(a3b3c3)3a3(bc)，即:3a3同理：bca3b3c2(a3b3c3)，ab2(a3b3c3)3c3上面三式相加得：abC3,(28)得证bccaab2上面的③式等就是给出了©J的边界这就是新边界方法，也成设限法。有些循环不等式可以采用新边界方法来证明。切线法是新边界方法的一种。假设我们设：F(x,y,z)C,如果有一个函数G(x,y,z)满足：cyc⑴对所有的X,y,z0都有：F(x,y,z)G(x,y,z)；⑵对所有的x,y,z0都有：G(x,y,z)C.cyc贝“，我们推导出：F(x,y,z)G(x,y,z)Ccyccyc例如：如果一个函数F(x,y,z)对所有的x,y,z0满足：F(x,y,z)循环求和得：f(x,y,z)1cyc正如上面证明内斯比特不等式所采用的方法，是求变量的下限值。c——2ab【试21】设a，b,c为三角形的三边长'证明：二这正是《1.1拉维换元》中的【练习2】。【解析】我们不采用拉维换元，而是由三角不等式得:即:bc22'即:即：bc即:1a②2(abc)同样：bcab1(abc)三式相加得:则①式得证。证毕有时，想找到一个对所有的x,y,z0的函数f(x,y,z)(xyz)2的新下限,2正如3(xyyzzx)和9(xyz)3的下限，但我发现一个非常不同的结果。我想打破这三个变量x,y,z的对称性。注意到：(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)(29)对(29)式得右边排除x2项后应用AMGM不等式得:2yz2xyxyyzyzzxzx88y2z2xyxyyzyzzxzx133即：y2z2xyxyyzyzzxzx8x2y4z41331333代入(29)式得:(xyz)2x28x2y4z4x2(x28y4z4)(210)【IM02001/2】设a,b,c是正实数，证明:ca28bcb28cac28ab(25)本题即《2.2代数换元》中的【试题13】.【解析】我们发现，上面的不等式也可以给出xz的下限。即由(210)式得：xyz1333x2(x28y4z4)三式相加得:作换元：x4a3XzyX32yzyX32X34z34832X34X34z834z34y832zzy34y34X83x43x2338y4z43y4333y28z4x43z41333z28x4y44b3，4c3，代入③式得:证毕。0(211).一C1a28bcb28cac28ab【试题22】设x,y,z为正数，且xyz1，证明:525252xxyyzz522522522xyzyzxzxx2525(XX(yy+D(25【解析一】这个不等式等价于下列不等式:2即：x2y2z22yz2x2z22xx3①即.5x米用柯西2y2z52yz2x5z22xx-苏瓦茨不等式及xyz1得：/5(x2yz2)(yz2yz2)(x5yz2yz2)2(x22y22222即:x5xyzyzyz②2y2z22xy2z2222222222同理得：xyzzxzxxyzxyxy522222，522222yzxxyzzxyxyz二式相加得：222222222xyzyzxzxx2xyyzzx3522522522222xyzyzxzxxxyz则①式得证，即(211)式得证。证毕。【解析二】考虑“1”的主要思想。555xyz1522522522xyzyzxzxx222xyz(212)522522522xyzyzxzxx考虑左边，由于(zy)2(z2yzy2)0贝J：(zy)2(z:2yzy2)(zy)(z3y3)z4y4y3zyz30故：y4z4y3z32yzyz(yz2)①z2)25Z2Z2+1)3z'522522vxyzyzx于是，两边同乘x得：x(y4z4)xyz(y2z2)y2z2则：则：x5x5x5x4y2z2x5x(y4z4)x4y4z45454同理得：yy；zz522444，522444xyzxyzxyzxyz三式相加得：x5y5z5c1②x5y2z2y5z2x2z5x2x不等式的左边已证，现在证明不等式的右边。【法一】采用柯西-苏瓦茨不等式及xyz1得:(x5222yz)(yzyz2)(x2y2z2)2即：（x22/22、x(yzyz)~22\2yz)x52x2yz2，同理得:2/2y(zxz(xyx2)z2)22y22zx2/2z(xyx22y(xy2)z2)2z52z~22xy三式相加得:x5x222yzy2z2x2z5z22xx2(yzz2)2iy(zx(x2z2yx2)2)2z2(xyx2y2)由AMGM不等式得:x4y4z4x4y42y42z4z4x42y2z2z2x2/2x(y2z2)2/2y(z2x2)z2(y2)x2yzy2zxz2xy④再看③式右边:x2(yzy2z2)y2(zxz2x2)z2(xyx2y2)/222\2(xyz)222222222222222xyzyzxzxyxyxzyzyxzxzy/222\2(xyz)4442222xyzxyxz2(x2yy2z2y2x2z2x2z2y2z2)2/222、2(xyz)/222、2(xyz)将⑤式代入③式得:2x522xyz2y2zx2z52z2X综合②和⑥式，（212）式得证。【法二】我们断定有:2x4y4z44x2y22y24x2z4(xz2'2x2x5y2z2我们证明下⑦式:因为xyz1，所以2x522xyz2x522xyzyzyzx2yzx5yzy3zyz3x42xyz~3yz2或：xyz433xyzyz2x5x22yzxyz2x522xyz所以，证明⑦式，就需要证明下列齐次不等式:(2x4442222y4z44x2y24x2z2)(x4y3zyz3)4x2yz(x2z2)2⑧而这个⑧式是可以直接由AMGM不等式导出的:444(2xyz4x2y24x2z2)(x433、yzyz)4x2yz(x2z2)2(2x8x4y4x4z44x6y24x6z22x4y3z4x2y5z4x2y3z32x4yz3y5z3yz74x2y3z34x2yz5)4x2yz(x4y4z42x2y22y2z22z2x2)(x8x8x4yx4z4x6y2x6y2y5z37yzx6z2x6z22x6y22x6z22x4y3z4x2y5z4x2y3z32x4yz34x2y3z34x2yz5)(4x6yz4x2y5z4x2yz58x4y3z8x2y3z38x4yz3)(x8x4y4x6y2x6y2y7zy3z5)(x8第6页x4z4y5z3yz7x6z2x6z2)0第PAGE\*MERGEFORMAT#页2(x6y2x6z2)4x6yz6x4y3z6x4yz3(66x8x4y4x6y2x6y2)(66x8x4z4537yzyzx6z2x6z22(2x6y2x6z2)4x6yz6x4y3z6x4yz3(6x4y3z)(6x4yz3)4x6yz4x6yz6x4y故⑧式是成立的，即⑦式也是成立的。对⑦式，同理可得:4「3z6x4yz30444,22,222yzx4yz4yx222\24(xyz)2y；522，xyz2z4x4y44(x24z2x24z2y2z2)22z522xyz将它们循环相加得:cyc4442222xyz4xy4x222、24(xyz)z22X52xyz22y522yzx2z522zxy而：2Xcyc444.22yz4xy224(xy4x2z2z2)24(x4y4z4)8(x2y24(x2x2z2)2)2故⑨式为:2X52xyz22y52yzx2z52z2X证毕。【法三】由于xyz1我们建立:5X5X2X2yz25X3/2X(X2X22、yz)由判别式:52XX522xyz5X3/2X(x2X22、yz)2/3X(x1)[X3/X(x3/222..(xyz)(x22252yz)(xy2yz2)z2)]2/32/22、X(X1)(yZ)3/222522、X(Xyz)(xyz)所以⑩式是成立的第PAGE\*MERGEFORMAT#页2第PAGE\*MERGEFORMAT#页tx5x2同时：5%2%2xyzx5x3(x2x2y2z2)21xx2y2xz2将它们循环相加并采用xyz1得:5cycx52xx2yz2x2(x2cyc1)xx22(x2yz)0(*)zcyc因为:(x2cycyz)x2y2z2xyyzzx所以：（*）式成立这是个十分精彩的解答,lurioBoreico在2005的IMO竞赛中，因为此法而获得特别奖。【试题23】对所有的a,b,c,x,y,z0，(213)axbyczaxbycz(abc)(xyz)abcxyz【解析】我们需要一个下面的引理【引理】对所有的p,q,1,20，都有：pqpq12p22q(12)2(214)【引理证明】（214）式等价于：（pq）（12p22q）（12)2pq0即：（沖2q）20.【解析】引理中，考虑采用(p,q,1,2)(a,x,xyz,abc)，得到：ax2(xyz)a(abc)2xax(xyzabc)2同理：by(xyz)2b(abc)2y；by(xyzabc)2'二式相加得：axbycz(abc)2(xaxbycz(a22cz(xyz)c(abc)z2cz(xyzabc)2yz)(abc)(xyz)bcxyz)(abc)(xyz)[(abc)(xyz)]2(abcxyz)(abc)(xyz)证毕【练习5】设a,b,c为正实数，证明:【提示】建立不等式:22a3c2bc2cab3(215)【练习6】设a,b,c0，2abcaabc且abc8，证明:a21a3)(1b3)b2c2(1b3)(1c3)(1c3)(1a3)4(216)3【提示】采用不等式:J27给出左边的下限。本节介绍了设界的方法，给出达式的上限或下限，依次达到证明不等式的目的。相比之下，“切线法”就是这种方法的一种，也是采用“给限”的方法。