斯托克斯公式
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式是格林公式的推广,格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线
上的曲线积分之间的联系,而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边,,
界曲线的曲线积分之间的联系. ,
分布图示
? 斯托克斯公式
? 例1 ? 例2 ? 例3
? 空间曲线积分与路径无关的条件
? 三元函数的全微分求积
? 环流量与旋度
? 例4 ? 例5 ? 例6
? 斯托克斯公式的向量形式
? 向量微分算子
? 内容小结 ?课堂练习
? 习
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内容
:
一、斯托克斯公式
定理1 设,为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,,,的正向与的侧符合右手规则,函数在包含曲面在内的一个,,,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,,, (7.1) ,dydz,,dzdx,,dxdy,Pdx,Qdy,Rdz.,,,,,,,,,L,y,z,z,x,x,y,,,,,,,
公式(7.1)称为斯托克斯公式.
为了便于记忆,斯托克斯公式常写成如下形式:
dydzdzdxdxdy
,,, ,Pdx,Qdy,Rdz,,,,,x,y,z,PQR
利用两类曲面积分之间的关系,斯托克斯公式也可写成
coscoscos,,,
,,, dS,Pdx,Qdy,Rdz. ,,,,,x,y,z,PQR
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度
设向量场
,,,, A(x,y,z),P(x,y,z)i,Q(x,y,z)j,R(x,y,z)k,
,A则沿场中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分
,,Pdx,Qdy,Rdz,C
,称为向量场沿曲线C按所取方向的环流量. 而向量函数 A
,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,, ,,,y,z,z,x,x,y,,
,,称为向量场的旋度,记为,即 ArotA
,,,,,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,,, rotA,,i,,j,,k.,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,
旋度也可以写成如下便于记忆的形式:
,,,ijk,,,,. rotA,,x,y,z
PQR
,,,,,, 四、向量微分算子: ,,i,j,k,,x,y,z
例题选讲:
利用斯托克斯公式计算
例1(讲义例1)计算曲线积分 其中是平面被三坐标面,x,y,z,1zdx,xdy,ydz,,,
所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图
10-7-2).
222222例2 计算曲线积分 其中,是平面(y,z)dx,(z,x)dy,(x,y)dz,,,
截立方体:的表面所得的接痕,从轴的正向看x,y,z,3/20,y,1,0,x,1,x0,z,1法,取逆时针方向.
222222例3(讲义例2)计算 式中C是 (y,z)dx,(x,z)dy,(x,y)dz,,C
22222 x,y,z,2Rx,x,y,2rx(0,r,R,z,0).
222此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面上的最小区域保持在x,y,z,2Rx左方(图10-7-3).
,,,,22,, 例4 求矢量场在点处的散度级旋度. M1,1,2A,xi,2xyj,zk0
环流量与旋度
222例5(讲义例3)设 求gradu div(gradu);rot(gradu). u,xy,2xy,3yz,
,注:一般地,如果是一单值函数,我们称向量场=gradu 为势量场或保守场,而称Auu,为场的势函数. A
,,,,例6(讲义例4)设一刚体以等角速度绕定轴旋转,求刚体内任L,,,i,,j,,kxyz
,意一点的线速度的旋度. Mv
课堂练习
2221.计算其中是螺线(x,yz)dx,(y,xz)dy,(z,xy)dz,AmB,AmB
,h,,x,acos,y,asin,z,从到的一段曲线. A(a,0,0)B(a,0,h)2,,,2.物体以一定的角速度依逆时针方向绕Oz轴旋转, 求速度和加速度在空间点,vw和已知时刻t的散度和旋度. M(x,y,z)