5.3拉格朗日方程作业

拉格朗日方程作业 1.试用拉格朗日方程求质量为 的质点在重力场中用直角坐标系表示的的运动微分方程。 1.解:取x,y,z为广义坐标，则体系的 动能 势能 （以地面为零势能点） 拉氏数 则由拉格朗日方程 可得： ，此即为所求的运动微分方程。 2.一个质量为 的质点，受力为 ，试用拉格朗日力方程求它用直角坐标系表示的的运动微分方程。 2.解:取x,y,z为广义坐标，则动能 ； 而广义力各分量为： ； ； 于是将其代入到拉格朗日力方程，有： ，即 3.试用拉格朗日方程求单摆的微振动方程和周期。 3.解:设单摆的摆长为 ，摆锤质量为m，取 为广义坐标，则拉格朗日函数为： (取悬点O为零势能点) 代入到拉格朗日方程 中得： 而 ，则 ，此即为单摆的微振动方程 所以角频率 ，即周期 。 4.如图示，质量为 的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为 ，质心C到悬点O的距离为 ，试用拉格朗日方程求该复摆的运动方程及振动周期。 4.解:取 为广义坐标，则拉格朗日函数为： （其中取悬点O为零势能点） 代入到拉格朗日方程 ，有： ，即： 而 ，则: ，此即为所求的运动方程。 所以角频率 ，即振动周期 。 � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� PAGE １ _1130739216.unknown _1130740644.unknown _1130748777.unknown _1130749522.unknown _1130749589.unknown _1130749942.unknown _1130749915.unknown _1130748864.unknown _1130740713.unknown _1130740966.unknown _1130741100.unknown _1130741025.unknown _1130740867.unknown _1130740676.unknown _1130740404.unknown _1130740612.unknown _1130740613.unknown _1130740431.unknown _1130740162.unknown _1130740247.unknown _1130739222.unknown _1102216756.unknown _1119242054.unknown _1119242080.unknown _1130739187.unknown _1119242064.unknown _1119241853.unknown _1119242024.unknown _1119242043.unknown _1119242017.unknown _1119241860.unknown _1119241831.unknown _1119241841.unknown _1119241807.unknown _1102215687.unknown _1102216171.unknown _1102216656.unknown _1102215837.unknown _1102186392.unknown _1102186844.unknown _1102215608.unknown _1102186691.unknown _975861333.unknown _975861195.unknown _975861309.unknown _975847470.unknown