[精彩]三棱锥、四棱锥
1、四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA?底面ABCD,AC=2根号
2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC, 1)证明:PC?平面BED(2)若直线ED和面ABCD所成的角是30?,求四棱锥P-ABCD的体积
第一问:
因为PA?底面ABCD,所以PA?BD
因为底面ABCD是菱形,所以BD?AC
所以BD?面ACP,所以PC?BD
设AC,BD交于点O
CE=PC/3=2?3/3
CE/CO=(2?3/3)/?2=?6/3=AC/PC
所以?PAC相似于?OEC
所以?OEC=?PAC=90?,即PC?EO
所以PC?平面BED
第二问:
作EK?AC交AC于K
则EK=AP*CE/CP=2/3
ED=EK/sin30?=EK*2=4/3
?CED为RT?,所以CD=2?7/3
OD=?(CD^2-OC^2)=?10/3
底面积=2*OC*OD=4?5/3
四棱锥P-ABCD的体积:V=S*h/3=8?5/9 (18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA?底面ABCD,AC=2,PA=2,2
E是PC上的一点,PE=2EC.
(?)证明:PC?平面BED;
(?)设二面角A-PB-C为90?,求PD与平面PBC所成角的大小。 证明:方法一:(坐标系法)
1 取坐标系,A,0,0,0,, B,200,D,020, P,002, 则E,4/3,4/3,2/3, PC,,2,2,-2, BD,,-2,2,0, BE,,-2/3,4/3,2/3,
平面BED的法方向n,BD×BE,,4/3,4/3,-4/3,
显然PC?n ?PC?平面BED.
2 PD,,0,2.-2,平面PBC法方向n1,,1,0,1,
PD与平面PBC所成角为α sinα,|,-2,/,2?2×?2,|,1/2 α,30º 第一问:
因为PA?底面ABCD,所以PA?BD
因为底面ABCD是菱形,所以BD?AC
所以BD?面ACP,所以PC?BD
设AC,BD交于点O
CE=PC/3=2?3/3
CE/CO=(2?3/3)/?2=?6/3=AC/PC
所以?PAC相似于?OEC
所以?OEC=?PAC=90?,即PC?EO
所以PC?平面BED
第二问:(II)设D( 2,b,0)先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得
线面角解
面APB?面PBC