自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导
法计算1,2,3,„,n,„的前n项的和:
由 1 + 2 + „ + n-1 + n
n + n-1 + „ + 2 + 1
(n+1)+(n+1)+ „ +(n+1)+(n+1)
可知
上面这种加法叫“倒序相加法”
※等差数列求和公式的推导
一般地,称为数列的前n项的和,用
示,即
1、 思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么
去求和呢,
思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示:
?
?
由?+?,得
由此得到等差数列的前n项和的公式
对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、 除此之外,等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍)
当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。例如:
=
=
=
=
这两个公式是可以相互转化的。把代入中,就可以得到
引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于n的“二次函数”,可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和,n不同点是第一个公式还需知道,而第二个公式是要知道d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明(一) 22221+2+3+„+n=n(n+1)(2n+1)/6,在
数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容。
2222 一、 设:S=1+2+3+„+n
22222222另设:S=1+2+3+„+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n),此步设题是解题1
的关键,一般人不会这么去设想。有了此步设题,
22222222中的12222第一:S=1+2+3+„+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n)+2+3+„+n=S,12222可以展开2222(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n)为(n+2n+1)+( n+2×2n+2) 222232222+( n+2×3n+3)+„+( n+2×nn+n)=n+2n(1+2+3+„+n)+ 1+2+3+„+n,即
3S=2S+n+2n(1+2+3+„+n)„„„„„„„„„„„„„„„„„„..(1) 1
22222222可以写为第二:S=1+2+3+„+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+„+(n+n): 1
22222222S=1+3+5„+ (2n-1)+2+4+6„+(2n),其中: 1
2222222222+4+6„+(2n)=2(1+2+3+„+n)=4S„„„„„„„„„„„„„„..(2) 222222221+3+5„+(2n-1)=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1) +„+ (2n-1)
22222222= (2×1-2×2×1+1) +(2×2-2×2×2+1)+(2×3-2×2×3+1)+„+ 222(2×n-2×2×n+1)
22222222=2×1+2×2+2×3+„+2×n-2×2×1-2×2×2-2×2×3-„-2×2×n+n 22222=2×(1+2+3+„+n)-2×2 (1+2+3+„+n)+n
=4S-4(1+2+3+„+n)+n„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„..(3
)
由(2)+ (3)得:
S=8S-4(1+2+3+„+n)+n„„„„„„„„„„„„„„„„..(4) 1
3由(1)与(4)得:2S+ n+2n(1+2+3+„+n) =8S-4(1+2+3+„+n)+n
3即:6S= n+2n(1+2+3+„+n)+ 4(1+2+3+„+n)-n
2 = n[n+n(1+n)+2(1+n)-1]
2 = n(2n+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S= n(n+1)(2n+1)/ 6
2222亦即:S=1+2+3+„+n= n(n+1)(2n+1)/6„„„„„„„„„„„„„„(5) 以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数。 由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数。
二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
3333设S=1+2+3+„+n„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.(1)
3333有S=n+(n-1)+(n-2)+„+1„„„„„„„„„„„„„„„„„...(2)
33333333+2+(n-2)+3+„+n+1 由(1)+ (2)得:2S=n+1+(n-1)
2 =(n+1)(n-n+1)
+
22 (n+1)[(n-1)-2(n-1)+2)
+
22 (n+1)[(n-2)-3(n-2)+3)
+
.
.
.
+
22 (n+1)(1-n(n-n+1)(n-n+1+ n)
2222即2S=( n+1)[2(1+2+3+„+n)-n-2(n-1) -3(n-2)-„-n
(n-n+1)] „„„„„„...(3)
2222由1+2+3+„+n=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得:
2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-„nn+2×1+3×2+„+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+„n)+(1+1)×1+(2+1)×2+„+(n-1+1)(n-1)]
2222 =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n (1+n)/2+1+1+2+2+„+(n-1)+ (n-1)]
2222 =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+n)/2+1+2+„+(n-1)+1 +2+„+ (n-1)] „„...(4)
2222由1+2+„+(n-1)= n(n+1)(2n+1)/6-n ,1+2+„+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得:
2 2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n+n(n-1)/2
22 =n(n+1)/2
333322即S=1+2+3+„+n= n(n+1)/4
22结论:自然数的立方和公式为(n+1)n/4,其中n为自然数。
三、自然数偶数立方和公式推导
3333设S=2+4+6+„+(2n)
333332222有S=2(1+2+3+„+n)=8n(n+1)/4=2n(n+1)
2结论:自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1),其中2n为最后一位自然偶数。
四、自然数奇数立方和公式推导
3333设S=1+2+3+„+(2n)
22由自然数的立方和公式(n+1)为n/4,其中n为自然数代入左边
2233333333有n(2n+1)=2+4+6+„+(2n) +1+3+5„+(2n-1)
223333 =2n(n+1)+1+3+5„+(2n-1)
33332222移项得:1+3+5„+(2n-1) =n(2n+1)-2n(n+1)
22 =n(2n-1)
22结论:自然数奇数的立方和公式为n(2n-1),其中2n-1为最后一位自然奇数,即n的取值。
自然数平方和公式的推导与证明(二) 这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。 1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? (n^2表示n×n,n2为了好打字) 一、推导
1、直接推导:
1+2+3+4+„„+n=(1+n)*n/2
+ +
2+3+4+„„+n=(2+n)*(n-1)/2
+ +
3+4+„„+n=(3+n)*(n-2)/2
+ +
. .
. .
(i+1)+„„+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,„„,n-1)
|| ||
S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4
两边求一下得所求S
此法较为直观正规
2、用其他的公式推导:
容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳
法易证,而左式可写成
1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n)
于是
1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)
3、二项式推导:
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
.......
(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1
sum up both sides substract common terms: (n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b b=1^2+2^2+...+n^2
此法需要较强的基本功,属奥妙之作
4、立方差公式推导(此法高中生都能看懂吧)
5、用现成恒等式推导
二、证明
1、数学归纳法
1^2+2^2+3^2+„„+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+„„+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+„„+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而等式的右边等于:(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
此法给初中和小学生讲是没法了,现在的教育之痛,用某小学老师的话来说,小学生的题是出给家长作的,呜,,砖家当道啊,有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢
2、图形法 2222计算1,2,3,4。
22根据平方的含义和乘法的含义,我们可以将这个算式改=1×1=1、写:12=2×2=2222222,2、3=3×3=3,3,3、4=4×4=4,4,4,4,则1,2,3,4=1,2,2,3,3,3,4,4,4,4。把这10个加数排写在一个三角形内(图1),计算这个算式的和,就是计算这个三角形内所有数的和。(其实学生如果会算自然数n项和,下面的说明就可省了,不过想个个学生成高斯,结果个个搞死了,呵呵)
我们对图1进行两次“复制”,得到两个和图1完全相同的三角形,把其中一个逆时针旋转60?得到图2,另一个顺时针旋转60?得到图3。
先把图2和图3重合,得到图4。图4中,重合的两个图形相对应位置的两个数相加,它们的和有什么规律呢,我们发现,从上往下看,第一行两个数的和是8,第二行两个数的和都是7,第三行两个数的和都是6,第四行两个数的和都是5。再把图4和图1重合,得到图5。
从 图中可以看出,每个圆圈中都有三个数,这三个数的和都是9,9=2×4,1。而10=1,2,3,4=(1,4)×4?2。图5中所有数的和应是图1中所 有数的和的3倍,所以图1中所有数的和=9×10?3=(2×4,1)×(1,4)×4?2?3=4× (1,4)×(2×4,1)×1/6。即12,22,32,42=4× (1,4)×(2×4,1)×1/6。 观察这个算式,用同样的思考方法,我们可推出这样的结论: 222221,2,3,4,„„,n=n× (1,n)×(2×n,1)×1/6
这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。