算盘加减乘除基本教程

＆第一章基础知识 ＆第一节  算盘的种类 算盘的基本结构可分为框、梁、档、珠四部分。横梁上面的算珠称为上珠，下面的算珠称为下珠。根据每一档上珠、下珠数目的不同，算盘可分为以下不同种类。 一、 七珠大算盘 这种算盘上珠两颗，下珠五颗。最上边的一颗上珠称为顶珠，最下面的一颗下珠称为底珠，在一般计算方法中不使用顶珠和底珠。常见的规格有9，11，13，17档之分。七珠大算盘的优点是算珠的宽度与手指宽度相称，拨珠时手指的运动比较自然；算珠较大，看起来比较清楚。 使用算盘计算时，以珠示数，以档表示位。将算珠拨靠横梁时，下珠每颗为1，上珠每颗为5。上下珠都不靠梁为空档，表示o。在算盘上记数时，每档为一数位，高位在左，低位在右。 二、五珠小算盘 这种算盘上珠一颗，下珠四颗，无顶珠底珠。小算盘一般为尖珠多档，常见规格有19，21，23，27，档。小算盘优点较多：体积小巧，携带更为方便；拨珠时手指活动距离短，可以提高计算速度；计算时可将算盘放在帐表上面，操作方便；声音小，利于工作；等等。 与使用大算盘相同，也是以珠表示数，以档表示位，拨珠靠梁时，下珠为1，上珠为5，空档为0。记数时同样是高位在左，低位在右。 三、六珠小算盘 这种算盘与五珠小算盘基本相同，只是下珠为五颗，可以在使用一些传统计算方法时动用底珠。 ＆第二节  拨珠法 使用七珠大算盘，一般将算盘置于桌面右侧，与帐表、算摆成八字形，并尽量利用算盘左端运算，以缩短算题与算珠的距离，减小目光巡视的角度。 使用五珠或六珠小算盘，一般放于胸前，利用算盘中间偏右部分运算，也可置于帐表算题之上，灵活移动，就题而算。 操作时姿势要正，手臂离开桌面，手腕离开算盘，以便进退自如。算题中的数据可以分节默念，但不可读出声音，否则会干扰运算，使差错明显增加。熟练后应做到见数拨珠，连续运算。拨珠力量要适当，用力不足拨珠不到位，用力过大会使算珠弹动，都将造成差错。 尤其应注意讲究指法，使动作科学合理，并应掌握运算中手不放笔及运算后迅速清盘的技巧。 一、指法 所谓指法，就是合理地使用手指拨珠的方法。必须严格按科学的指法拨珠，错误的拨珠方法直接影响计算的准确与速度，而且一旦形成习惯很难纠正。 使用七珠大算盘，指法应为：拇指专拨下珠向上靠梁，食指专拨下珠向下离梁，中指专拨上珠的上下靠梁离梁。无名指和小指自然弯曲，以免误带无关算珠或妨碍视线。根据运算需要，有单指拨珠、两指联拨、三指联拨和连续拨珠几种拨珠动作。 使用五珠或六珠小算盘，指法应为：拇指专拨下珠向上靠梁，食指既拨下珠向下离梁，也拨上珠的上下靠梁离梁，其他三指向掌心自然弯曲。根据运算需要，可有单指拨珠、两指联拨和连续拨珠几种拨珠动作。 为了提高运算速度，应在手指合理分工的基础上，尽量采用两指联拨，同时动作。使用七珠大算盘还应注意利用三指联拨。连续拨珠时，虽然不能同时动作，但也应连贯紧凑，力求迅速。 二、握笔 为了提高工作效率，应在初学时就养成握笔拨珠的习惯，使运算与不致间断，节省时间。握笔方式有多种，以不影响手指动作为宜。 使用七珠大算盘，可使笔尖向右放于拇指和小指之上，其他三指之下。 使用五珠或六珠小算盘，可笔尖向右放于食指和中指之下。 无论使用何种算盘，最佳方式是手心握笔，即将笔放于拇指之上，其他四指之下，笔尖向右，以小指轻夹笔，收拢无名指或中指及无名指，伸出三指或二指拨珠。 三、清盘 运算结束之后，将算盘上靠梁的算珠全部清掉成为空盘，是一项不可少的操作，应能熟练掌握一种简便有效的清盘方法。 七珠大算盘的清盘，一般是使食指、中指、无名指和小指四指向下与算盘垂直伸开，沿梁由左至右，上下拨动，使算珠离梁而成空盘。如果计算结果记录之后，需要与盘上数字再校对一遍时，可采用逐字清盘的方法，即从高位开始，边校对边按指法要求逐档拨去上下算珠成为空档。 五珠或六珠小算盘清盘方法简单，可用左手持算盘左端，将算盘上端抬起，使算珠全部下落，随即放平算盘，用右手食指或小指自左至右沿梁划动上珠即可。盘上数字不多时，也可使用食指逐字清盘。 ＆第二章珠算加减法 珠算加减法应用最广，而且珠算加减法也是珠算乘除运算的基础，因此必须熟练掌握加减法。熟练掌握珠算加减法的唯一途径是勤打多练，尤其是多位数的加减和连续加减、混合加减运算的练习。 任何复杂的加减算题，都是分解为一位数的加减来计算的。因此，一位数加减是加减法最基本的操作。所谓学习加减法，就是准确掌握一位数的加减。 珠算加减法与笔算不同，笔算是从最低位开始计算的，而珠算是由最高位开始计算的。从左到右，逐位相加减，直到最后求出结果。 运算时，先将被加数或被减数置于算盘上，然后与加数或减数逐位作加减运算。算前，可任选一档为个位档，运算后，计算结果的个位档也就是这一档，无须算后再作定位。关于加减定位方法的有关问题，请阅读第五章第一节。 学习珠算加减法，可以利用传统的口诀指导拨珠，也可以利用心算判断的方法，直接将算盘上的被加数或被减数改为计算结果。无论利用口诀或是心算，都只是一种学习过程中的过渡手段，经过短期练习之后，就应形成条件反射，见数拨珠。按照本书的安排，在本章加减法运算的学习中，应同时进行珠算指法的训练。因此，虽然本书不再采用加减法口诀，但也不是直接改为计算结果的心算方法，而是结合运算中的指法动作选择另外一种心算的形式作为训练方法。在本书所使用的指法符号中，以“↑”表示用拇指向上拨珠；以“↑↑”、“↓↓”表示用食指向上、向下拨珠；以“↑↑↑”、“↓↓↓”表示用中指向上、向下拨珠。同时还可以“单”、“连”、“联”分别表示指法动作为单指拨珠、连续拨珠，两指或三指联拨。 ＆第一节  加法 加法运算不外四种操作方式。 一、直接的加 两数相加时，加数可以直接打在被加数上，不发生进位，也没有任何一个珠被拨去。(见表2—1) 按照指法的要求，如使用大算盘，加1，2，3，4用拇指向上拨，加5用中指向下拨，均为单指拨珠；加6，7，8，9用拇指中指上下同时拨，为两指联拨。 如使用小算盘，加1，2，3，4用拇指向上拨，加5用食指向下拨，均为单指拨珠；加6，7，8，9用拇指食指上下同时拨，为两指联拨。 运算开始时的置数，即被加数(或本书以后章节的被减数、被乘数、被除数等)置于算盘上，也完全是应用以上指法。 [例]  2+7            20+57 505+362        5 678+4 321 3 210+6 789      57 046+31 952 二、补五的加 当两数均不足5，而其和大于等于5时，需要动用一颗上珠，并在下珠中减去因补五而多加的部分。(见表2—2) 使用大算盘为两指联拨，用中指食指同时向下拨。 使用小算盘为连续拨珠，只用食指向下拨，先拨上珠靠梁，再将相应的下珠拨去。 [例]  2+4            43+14 4 321+1 234      4 444+4 321 32 041+634      724+8 243 三、进十的加 当两数相加之和大于等于10，需要进位时，应在左一档加1作10，并在本档直接减因此而多加的部分。(见表2—3) 使用大算盘，加1，2，3，4的指法动作为三指联拨，用中指食指拨减9，8，7，6，同时用拇指前档进一。其余为两指联拨，除加5用中指拇指外，加6，7，8，9都使用食指拇指拨珠。 使用小算盘，加1，2，3，4为连续拨珠，先用食指在本档上下拨减，然后用拇指前档进一。这时应力求连贯，在用食指拨去本档下珠的同时，就要用拇指前档进一。其余为两指联拨，用食指、拇指同时拨珠。 关于前档进一的指法动作，以上只谈了使用拇指直接加1的情况。在实际运算中，则应根据前档的具体情况，按照指法要求，分别作直接的加1，或补五的加1，或进十的加1。 [例]  9+2              68+43 999+125          4 444+6 789 7、3‘76+845      4 902+5 098 四、破五进十的加 在进十的加法中，可能遇有加6，7，8，9而本档下珠不够减4，3，2，1的情况。即当被加数大于等于5，加数也大于5，而其和又不足15(否则还可应用上种方式)时，不能直接在被加数本档下珠中减去因进位而多加的部分，需从被加数作5的上珠中减去因其和进位而多加的部分，因此应拨去上珠5，同时在下珠中加上因破5而多减的部分，然后进位加1。(见表2—4) 此时使用大算盘的指法动作为连续拨珠，先用拇指中指两指联拨，作本档加减，然后用拇指前档进一。拨珠时应注意动作连贯迅速。 使用小算盘也为连续拨珠，先用拇指食指两指联拨作本档加减，然后甩拇指前档进一。这时也同样应注意动作紧凑迅速。 在前档进位加1的指法动作，与上种方式所作说明相同。 [例]  6+7              65+79 5 555+6 789        2 756+698 6 077+7 006 48      575+9 687 加法练习 练习一                                    练习二 (1)1 246+2 752=3 998                    (1)4 213+2 343=6 556 (2)7 902+1 085=8 987                    (2)1 243+4 322=5 565 (3)1 976+7 013=8 989                    (3)4 432+2 143=6 575 (4)7 632+2 365=9 997                    (4)3 321+2 444=5 765 (5)6 234+3 765=9 999                    (5)3 421+3 234=6 655 练习三                                    练习四 (1)7 298+4 825=12 123                  (1)6 578+5 786=12 364 (2)3 694+8 41 6=12 110                  (2)7 867+9 678=17 545 (3)5 684+5 479=1l 163                    (3)6 789+8 765=15 554 (4)4 829+6 381=11 210                    (4)7 658+7 893=15 55l (5)5 829+5 483=11 312                    (5)5 675+8 769=14 444 练习五 (1)5 534+4 192=9 726                    (6)10 350+87 127=97 477 (2)2 980+6 481=9 461                    (7)94 832+72 396=167 228 (3)1 002+9 077=10 079                  (8)65 187+35 672=100 859 (4)4 690+1 270=5 960                    (9)42 975+23 148=66 123 (5)3 542+1 897=5 439                    (10)21 601+89 612=111 213 练习六 (1)365.79+24.03=389.82 (2)1 024.33+789.46=1 813.79 (3)77.09+4 533.58=4 610.67 (4)897.28+441.5l=1 338.79 (5)8 209.60+93.11=8 302.71 (6)2 774.37+769.29=3 543.66 (7)900.30+576.37=1 476.67 (8)693.074+38.88=731.95 (9)6 301.92+199.08=6 501 (10)2 478.78+1 650.12=4 128.90 第二节  减法 减法是加法的逆运算。减法也有四种操作方式。 一、 直接的减 两数相减时，减数可以直接从被减数中减去，不发生退位，也不在本档添加任何数字。(见表2—5) 按照指法要求，如使用大算盘，减1，2，3，4用食指向下拨，减5用中指向上拨，均为单指拨珠；减6，7，8，9用中指食指上下同时拨，为两指联拨。  如使用小算盘，减1，2，3，4均用食指分别向下向上拨，为单指拨珠；减6．7，8，9用食指向下向上两次拨珠，为连续拨珠。 运算结束后，如采用逐字清盘方法，即应用以上指法。 [例]’4-3          8-6 84-62        734-13 9 835-4 315    3 687-156 二、破五的减 当两数相减时，被减数大于等于5，即有上珠靠梁，减数虽不足5，但下珠不够减，需动用上珠来减，并在下珠中加上因破五而多减去的部分。(见表2—6) 此时使用大算盘的指法动作为两指联拨，用拇指和中指同时向上拨。 使用小算盘也为两指联拨，用拇指食指同时向上拨。 [例]  5-3              7-4 68-24            765-342 5 555-1 234      6 578-4 234 三、退十的减 当本档不够减时，需从上一档退一作lo，与减数的差数直接加在本档上。(见表2—7) 使用大算盘，减l，2，3，4为连续拨珠，先用食指前档减l，然后用拇指中指作两指联拨，将差数加在本档上。此时虽规定为连续拨珠，但可以三指紧密配合，力求动作合一。其余为两指联拨，除减5用食指中指外，减6，7，8，9都使用食指拇指拨珠。 使用小算盘，减1，2，3，4为连续拨珠，先用食指前档减1，然后用拇指食指作两指联拨。减5也为连续拨珠，用食指先后作前档减l和本档加5。减6，7，8，9为两指连拨，用食指和拇指同时拨珠。 在减6，7，8，9的运算中，有时作两指联拨不很方便，如前档靠梁的下珠较多，本档没有下珠靠梁，在减9或减8时，也可作连续拨珠的运算，但务必使动作连贯迅速。 关于前档退一的指法动作，以上只谈了使用食指直接减1的情况。在实际运算中，还应根据前档的具体情况，并按指法要求，或作破五的减1，或作退十的减1。 [例] 21-3              35-8 3 151-867          20 120-l 786 65 172-7 489        10 000-635 四、退十补五的减 在退十的减法中，当遇有减6，7，8，9，而前档退一减后的差数不能直接加在本档原有数上时，即被减数小于5，减后的差数也小于5，而其和大于5，这时应补加5，并在下珠中减去因补五而多加的部分。(见表2—8) 此时使用大算盘为连续拨珠，用食指前档减1之后，再用中指食指作两指联拨，拨下本档一颗上珠，并同时拨去相应的下珠。 使用小算盘也为连续拨珠，只用食指，先作前档减1，再拨下本档一颗上珠，并随即拨去相应的下珠。 前档减l的指法动作，与上种方式所作说明相同。 [例]  13-7            22-6 144-67          14 444-6 789 34 234-8 769      53 123-7 068 减法练习 练习一                                      练习二 (1)7 683-5 172=2 511                        (1)7 568-3 244=4 324 (2)8 547-2 536=6 011                        (2)5 676-1 342=4 334 (3)9 824-3 613=6 211                        (3)8 565-4 123=4 442 (4)8 964-3 752=5 212                        (4)7 567-3 432=4 135 (5)5 889-5 767=122                          (5)6 782-6 342=440 练习三                                      练习四 (1)13 241-9 554=3 687                      (1)23 552-6 976=16 576 (2)25 734-8 945=16 789                      (2)43 324-9 867=33 457 (3)8 847-4 935=3 912                        (3)13 428-6 899=6 529 (4)4 315-2 987=1 328                        (4)12 314-7 263=5 051 (5)6 214-5 875—339                        (5)14 337-7 826=6 511 练习五 (1)5 346-2 173=3 173                        (6)75 409-42 089=33 320 (2)2 508-1 931=577                          (7)31 557-28 463=3 094 (3)7 429-3 066=4 363                        (8)26 732-19 404=7 328 (4)3 123-2 346=777                          (9)44 008-17 809=26 199 (5)6 050-4 007=2 043                        (10)60 735-24 947=35 788 练习六 (1)731．95-693．07=38．88 (2)3 543．66-769．29=2 774．37 (3)6 501-6 301．92=99．08 (4)1 476．67-576．37=900．30 (5)4 128．90-1 650．12=2 478．78 (6)1 813．79-1 024．33=789．46 (7)8 302．71-93．11=8 209．60 (8)4 610．67-3 005．09=1 605．58 (9)38,9．82-365．79=24．03 (10)1 338．79-441．51=897．28 附：加减法传统练习题 (1)加36 从1起加2加3…，加至36，得666． (2)打百数 从1起加2加3…，直至加100，得5 050；然后再从5 050中减1减2减3…，直至减100，得0． (3)连续加减625 连续加十次625，得6 250；再从6 250中连减十次625，得0．连续加十六次625，得10 000；再从10 000中连减十六次625，得0． (4)连续加减823 连续加十五次823，得12 345；再从12 345中连减十五次823，得0． (5)连续加减16 835 连续加十二次16 835，得202 020；再从202 020中连减十二次16 835，得0． (6)连续加减16 875 连续加十次16 875，得168 750；再从168 750中连减十次16 875，得0．连续加十六次，得270 000；再从270 000中连减十六次16 875，得0． (7)连续加减123 456 789 连续加八次123 456 789，再加9，得987 654 321；然后连续减八次123 456 789，最后再减9，得0． (8)打百数方阵(一) 下列方阵图(见表2—9)中共有百数，每一横行或每一竖列、两条对角线上的数字相加，计算结果均为505． (9)打百数方阵(二) 下列方阵图(见表2-10)中，每一横行或每一竖列、两条对角线上的数字相加，计算结果均为51 005． 第三节  借减法 在减法运算中，当被减数小于减数时，如331-469，一般可以采用颠倒相减的方法，即331-469=-(469-331)=-138．但如出现在连续运算中，如305+26-469+187+45，采用这种方法则须中断运算，进行记录、清盘，甚至再记录、再清盘，极影响工作效率。如能采用珠算的借减法，则可使运算连续进行，不致中断。 使用借减法，在遇到小数减大数时，可在被减数前的适当档次“虚借1”。“虚借1”所在档次视减数的位数而定。一般，减数是个位数，在十位档借1，即借10；减数是十位数，在百位档借1，即借100；减数是百位数，在千位档借1，即借1 000；依此类推。然后就可进行正常的相减运算。 相减之后，算盘上的数与“虚借1”的差数就是计算结果(负数)。这个差数可以通过观察迅速得到。读出或写出正确结果的方法是：从“虚借1”这一位的后面一档开始，每一档都要读这档数字与9的差数(如使用上一下四的五珠算盘，此差数即是该档未拨出的数)，最后一档非零数字读其与10的差数。 [例一]331-469=-138 即可作如下运算：331+虚借1 000—469=862…．读出结果为-138。(见表2—11) 如果借减之后还要继续加减，不需中断、清盘，可以在算盘上的数字的基础上继续运算。当运算过程中算盘上的结果能够归还虚借的“1”时，要及时还掉，归还后算盘上的数字就已是可以直接记录的计算结果，并且是正数；如始终不能归还虚借“1”，说明最后结果仍为负数，还需通过观察算盘上的数与虚借“1”的差数来得到。 表2—1l 运算步骤 运算结果 置被减数       3 3 1 前档虚借1     ① 3 3 1 从1 331中减去469       8 6 2         … … … 读862与虚借l 000的差数       ① ③ ⑧               [例二]305+26-469+187+45=94 在按例一借减之后作如下运算：862+187+45=1 049-归还1000+45=94。(见表2—12) 表2—12 运算步骤 运算结果 置数       3 0 5 加26       3 3 1 前档虚借1     ① 3 3 1 减469       8 6 2 加187     1 0 4 9 归还虚借l       0 4 9 加45         9 4               [例三]  94-1 203+137-4 685+3 096+2 604-243=-200(见表2—13) 表2一13 运算步骤 运算结果 置数         9 4 前三档(万位)虚借1(10 000)   ① 0 0 9 4 减1 203     8 8 9 1 加137     9 0 2 8 减4 685     4 3 4 3 加3 096     7 4 3 9 加2 604   1 0 0 4 3 3归还虚借1(10000)       0 4 3 前二档(千位)虚借(1000)     ① 0 4 3 减243       8 0 0         … … … 读800与虚借1 000的差数       ② ◎ ◎               本例中第一次所借的10000，在加入2 604后也可暂不急于归还，而用做继续减243，则可避免第二次虚借1 000的操作。见表2-14。 表2-14 运算步骤 运算结果 置数         9 4 前三档(万位)虚借1(10 000)   ① 0 0 9 4 减1 203     8 8 9 1 加137     9 0 2 8 减4 685     4 3 4 3 加3 096     7 4 3 9 加2 604   1 0 0 4 3 减243     9 8 0 0       … … … … 读9 800与虚借10 000的差数     ◎ ② ◎ ◎               [例四]94-1 203+137-24 790-50 208=-75 970(见表2—15) 使用借减法可以归还后再借，如上例第一种做法，也可以连续借，即尚未归还即再借，如本例。本例计算最终未能归还所借，读出结果为负数。 表2—15 运算步骤 运算结果 置数         9 4 前三档(万位)虚借1(10 000)   ① 0 0 9 4 减1 203     8 8 9 1 加137     9 0 2 8 前四档（十万位）虚借1（10000） ① 0 9 0 2 8 减24 790   8 4 2 3 8 减50 208   3 4 0 3 0       … … … … 读出结果（见以下说明）   ⑦ ⑤ ⑨ ⑦ ◎               本例因第一次所借10 000尚未归还，读出结果时，应先读出34 030与所借100 000的差数65 970，再加上第一次所借10 000，合计结果为负数75 970。 上例计算结果的读出较为复杂。为防止差错，并规范借减法运算程序，凡上一次所借未还即需再借，应避免同一档多次借，而是在左边更高档再借1，并且立即归还上一次所借，然后继续作减法运算。如上例，第二次所借100 000时，立即归还第一次所借10 000，然后再减24 790；最终读出结果时，直接读出盘面数24 030与第二次所借100 000的差数即可。(见表2—16) 运算步骤 运算结果 置数         9 4 前三档(万位)虚借1(10 000)   ① 0 0 9 4 减1 203     8 8 9 1 加137     9 0 2 8 前四档（十万位）虚借1（10000） ① 0 9 0 2 8 归还上次所借1（10000）   9 9 0 2 8 减24 790   7 4 2 3 8 减50 208   2 4 0 3 0       … … … … 读出结果（见以下说明）   ⑦ ⑤ ⑨ ⑦ ◎               本节所述“差数”，在珠算中也称作“补数”。出纳人员或营业人员作应退还顾客剩余款的“找零”运算时，即可在合计应收顾客款后，直接读出盘面数与顾客交付大面额钞票的补数，即为应退还顾客款数。 借减法练习 (1)567-839=-272 (2)145-2 375=-2 230 (3)3 128+459+1 074-6 231+508+1 723-452=209 (4)42 076-38 154-3 019-75 434+6 899+51 702-636=-16 566 (5)805．33+47．96-611．54-1 060．28+520．17+237．45=- 60．91 (6)52 484-28 623-37 204+26 780=13 437 (7)8 097-3 218-93-8 264-42 376=-45 854 (8)21 044+7 196-4 008+5 213-18 567-16 224-2 726+8 157-1 389+2 304=1 000 (9)4 538-3 209+804-2 933十1 716-34 085+6 729+483-7 543=-33 500 (10)1 203．49+498．17-2 409．45十541．12-6 321．07+8 126．40-2 003．98+1 909．01=1 543．69 第三章珠算乘法 第一节  乘法概述 乘法是求一个数的若干倍的方法。珠算乘法可以采用累加被乘数的方式，如215×3，可使215连加三次；也可采用乘数与被乘数逐位相乘的方式，如215×3，即运用与笔算乘法相同的九九口诀，求出3与5的乘积是15，3与10的乘积为30，3与200的乘积为600，并在运算过程中将各次乘积相加。由于笔算乘法的普及，一般采用逐位相乘的方式。九九口诀见以下附表及说明。 逐位相乘时，运算方法的要点有置数、运算顺序、加积档次三个部分。现以乘数的非零数字只有一位的一位乘法(如乘数为3 000，300，3，0．3，0．003)说明如下。 置数。初学时，可先在算盘左边拨上乘数，隔二三档拨上被乘数；熟练后应把被乘数拨在算盘左端(使用小算盘也可选用中间偏左的一个计位点起拨)，默记乘数。 运算顺序。先用乘数去乘被乘数的末位，然后依次向左，逐位相乘。直到被乘数的最高位为止。如图3—1 加积档次。每乘一位，就把被乘数本档上的数字改为乘积的十位数，个位数拨在下一档上。为防止加错档次，规定凡乘积为一位数的乘法口诀，一律在乘积前加。读出。如6×1，口诀读作一六06；4×2，口诀读作二四08。因此，如乘积的十位数是零时，应先拨去本档数字，以空档表示0，乘积的个位数仍拨在下一档上。 逐位乘完之后，算盘上的数就是一道算题的运算结果。 例题采用表式说明的方法。表格的运算结果栏中，被乘数用汉字数字表示，乘积用阿拉伯数字表示，每格表示算盘一档。 [例]215×3=645(见表3—1) 表3—1 运算步骤 运算结果   二 一 五       5×3 二 一 1 5     1×3 二 0 4 5     2×3   6 4 5                   定位：被乘数个位的右一档就是乘积的个位。 根据乘法交换律，两数相乘，可取任一因数为乘数。为了运算简便，总是把非零数字较少的因数作为乘数。若乘数的非零数字为两位以上，即为多位乘法。 在多位乘法中，由于运算顺序和加积档次的不同，形成不同的计算方法。在逐位相乘时，被乘数的运算顺序可以从前往后，即由最高位开始，至最低位为止，依次与乘数相乘，称为前乘，如本书所介绍的空盘前乘法；也可以从后往前，即与笔算相同，由最低位开始，至最高位为止，依次与乘数相乘，称为后乘，如隔位乘法、掉尾乘法以及本书所介绍的破头乘法、留头乘法。 同样，乘数的运算顺序也有不同。可以从乘数第一位开始至最末一位，即从最高位至最低位，依次与被乘数相乘，称为头乘，如隔位乘法、破头乘法；也可以从乘数最末一位开始至第一位，即与笔算相同，由最低位至最高位，依次与被乘数相乘，称为尾乘，如掉尾乘法；还可以从乘数第二位开始，由高位至低位，依次与被乘数相乘，待乘数末位数字乘完后，再用乘数最高位数字与被乘数相乘，如本书介绍的留头乘法。 在各种多位乘法中，除运算顺序不同外，运算过程中的加积档次也可不同。逐位相乘时，可以是把被乘数本档上的数字改为乘积的十位数，个位拨在下一档上；也可以是将乘积右移一档，即将乘积的十位数拨在被乘数的下一档上，乘积的个位数拨在再下一档上，与被乘数隔开一档。前者称为不隔位乘，如破头乘法、留头乘法以及掉尾乘法；后者称为隔位乘，如隔位乘法。 隔位乘法虽可使运算过程中的乘积与被乘数隔档分开，不易加积错档，但每一运算步骤结束时需拨去已乘完的被乘数，增加了拨珠动作，运算速度慢，也容易因忘了拨去已乘完的被乘数而出现错误，所以本书不作具体介绍。掉尾乘法从乘数末位起乘，加积时向右数档可能较多，易出差错，本书也不再作具体介绍。 珠算乘法的定位方法，请阅读第五章第二节。 附：大九九口诀表(见表3—2)。 说明： 乘法口诀每句由四个数字组成，前二个为汉字数字，后二个为阿拉伯数字。第一个数字指乘数，第二个数字指被乘数，第三、四个数字指乘积。 为防止运算中加积错档，乘积一律由二位数字组成。即使乘积有效数字只有一位，也需于乘积前加。读出，如6×1，口诀读作一六06。 乘法口诀也称九九口诀。九九口诀有“大九九”与“小九九”之分。 “小九九”口诀可以不区别乘数与被乘数的顺序，小数在前，大数在后，读起来比较顺口，又叫“顺九九”(如表3—2中粗线左下部分)。 珠算采用“大九九”口诀。为与算法中运算顺序一致，一律按照乘数在前、被乘数在后的顺序编制口诀。因此，除包括“顺九九”口诀外，也包括大数在前、小数在后的“逆九九”口诀(表3—2中粗线右上部分)，故称“大九九”。 如：5 473×5 “小九九”口诀依次为：三五15；五七35；四五20；五五25。 “大九九”口诀依次为：五三15；五七35；五四20；五五25． 乘法练习 (1)537×4=2 148                (3)873×5=4 365 (2)429×6=2 574                (4)602×9=5 418 (5)315×8=2 520                (6)1 835×3=5 505 (7)2 728×8=21 824              (8)3 619×5=18 095 (9)5 023×7=35 161              (10)4 678×2=9 356 (11)8 225×9=74 025              (12)6 342X 7=44 394 (13)4 551×6=27 306              (14)7 684×5=38 420 (15)9 506×4=38 024              (16)23 817×7=166 719 (17)41 353×8=330 824            (18)72 608×6=435 648 (19)55 210×3=165 630            (20)38 495×4=153 980 第二节  破头乘法 置数。将被乘数拨在算盘左端(使用小算盘也可由中间偏左的一个计位点起拨)，默记乘数。 运算顺序。从乘数的首位开始，按照由高位至低位的次序，逐位与被乘数的末位相乘；然后用同样方法，按照被乘数从后到前的次序依次相乘，直至被乘数的最高位为止。如图 3—2。 加积档次。以乘数首位相乘时，把被乘数本档数字改为乘积的十位数，乘积的个位数拨在下一档上；以乘数其他各位相乘时，加积依次右移一档。 这种乘法由于开始就用乘数的首位把被乘数本档数字破掉改作乘积，因此称为破头乘法。 破头乘法方法简单，动作合理，运算速度较快。但由于被乘数本档数字在开始时就被破掉，容易忘记，使初学者感到困难。 初学时，可用左手手指作出一定指型，表示被破掉的被乘数本档数字，来帮助记忆。熟练后应能记住此数，而默念乘数各位。运算中不应再默念乘法口诀，而是在默念各位乘数的同时，直接将每次相乘的乘积顺序加在相应档次上。 为了防止加积错档，可以在每次加积运算中(乘积一律为二位数)，用右手食指随时指点在已加到的乘积个位档次上。由于被乘数和乘积在算盘上相连，不易分清，初学时也可以用左手食指随时指点在被乘数的最后一个数字档上。 [例一]  472×369=174 168  (见表3—3) 表3—3 运算步骤 运算结果   四 七 二       3×2 四 七 0 6     6×2 四 七 0 7 2   9×2 四 七 0 7 3 8 3×7 四 2 1 7 3 8 6×7 四 2 5 9 3 8 9×7 四 2 6 5 6 8 3×4 1 4 6 5 6 8 6×4 1 7 0 5 6 8 9×4 1 7 4 1 6 8               定位：(按公式定位法，下同) 3位+3位=6位 [例二]  1 034×507=524 238  (见表3—4) 表3—4 运算步骤 运算结果   一 ○ 三 四       5×4 一 ○ 三 2 0     7×4 一 ○ 三 2 0 2 8 5×3 一 ○ 1 7 0 2 8 7×3 一 ○ 1 7 2 3 8 5×1   5 1 7 2 3 8 7×1   5 2 4 2 3 8                 定位：4位+3位-1位=6位 [例三]  32 450×0.76=24 662(见表3—5) 表3—5 运算步骤 运算结果   三 二 四 五     7×5 三 二 四 3 5   6×5 三 二 四 3 8 0 7×4 三 二 3 1 8 0 6×4 三 二 3 2 4 0 7×2 三 1 7 4 2 0 6×2 三 1 8 6 2 0 7×3 2 2 8 6 2 0 6×3 2 4 6 6 2 0               定位：5位+0位=5位 [例四]  2 408×0.095=228.76  (见表3—6) 表3—6 运算步骤 运算结果   二 四 ○ 八     9×8 二 四 ○ 7 2   5×8 二 四 ○ 7 6 0 9×4 二 3 6 7 6 0 5×4 二 3 8 7 6 0 9×2 2 1 8 7 6 0 5×2 2 2 8 7 6 0               定位：4位+(-1)位=3位 破头乘法练习 (1)576× 34=19 584 (2)379× 67=25 393 (3)3 004×52=156 208 (4)38 783×75=2 908 725 (5)496 × 109=54 064 (6)5 017×345=1 730 865 (7)4 398×248=1 090 704 (8)2.763×988=2 729.844 (9)39 007×1 021=39 826 147 (10)5 216×3 872=20 196 352 (11)42.63×2 500=106 575 (12)7 692×48.5=373 062 (13)10 405×30.24=314 647.2 (14)37.75×0.488=18．422 (15)64.35×42.18=2 714.283 (16)0.03 142×0.5 645=0.017 736 59 (17)19 860×78.95=1 567 947 (18)714.05×246.08=175 713.424 (19)8 030.24×305.06=2 449 705.0144 (20)0.006 023×0.041 7=0.000 251 159 1 第三节  留头乘法 置数。与破头乘法相同，可将被乘数拨在算盘左端，默记乘数。 运算顺序。先从乘数的第二位开始，逐位与被乘数的末位相乘，直至乘完乘数最后一位，再用乘数首位与被乘数末位相乘；然后用同样方法，按照被乘数从后到前的次序依次相乘，直至被乘数的最高位为止。如图3—3： 加积档次。与破头乘法完全相同，只是由于先从乘数的第二位乘起，因此是将这一乘积的十位数放在被乘数本位的右边一档上，个位数放在右边第二档上。 这种乘法把乘数首位留到最后与被乘数相乘，所以称为留头乘法。 留头乘法从乘数第二位开始相乘，不破头，无须记忆。但运算顺序稍复杂，而且不能避免使用顶底悬珠，不适合小算盘应用。 熟练应用此法后，应能做到默念各位乘数的同时，在算盘上直接拨出乘积。默念乘数的顺序应是按运算顺序由第二位开始。 为防止乘积加错档次，可以在运算中用右手食指随时指点在已加到的档次上。由于被乘数和乘积在算盘上相连，不易分清，也可以用左手食指随时指点在被乘数的最后一个数字 档上。 [例一]  283×465=131 595(见表3—7) 表3—7   运算步骤 运算结果     二 八 三         6×3 二 八 三 1 8     5×3 二 八 三 1 9 5   4×3 二 八 1 3 9 5   6×8 二 八 6 1 9 5   5×8 二 八 6 5 9 5   4×8 二 3 8 5 9 5 6×2 二 5 0 5 9 5 5×2 二 5 1 5 9 5 4×2 1 3 1 5 9 5                 定位：3位+3位=6位 [例二]  0.573×409=234.357(见表．3—8) 表3—8 运算步骤 运算结果   五 七 三       9×3 五 七 三 0 2 7 4×3 五 七 1 2 2 7 9×7 五 七 1 8 5 7 4×7 五 2 9 8 5 7 9×5 五 3 4 3 5 7 4×5 2 3 4 3 5 7               定位：0位+3位=3位 在留头乘法运算过程中，乘数最高位需按运算顺序留待最后与被乘数相乘，这时才将被乘数本档数字拨去改作乘积。但有时乘数最高位尚未相乘，被乘数右一档的乘积已经满10或超过10。为了不改变尚未乘完的被乘数，不能向前一档进位，需要动用底珠或顶珠。还有时乘积最高位的一档数值超过15，要用悬珠(顶珠上下不靠而悬起，表示10)。 [例一]  87×76=6 612(见表3—9) 表3—9 运算步骤 运算结果   八 七         6×7 八 七 4 2     7×7 八 5 3 2     6×8（用底珠） 八 ⑩ 1 2     7×8 6 6 1 2                   定位：2位+2位=4位 [例二]  0.98×89=87.22  (见表3—10) 表3—10 运算步骤 运算结果   九 八         9×8 九 八 7 2     8×8 九 7 1 2     9×9（用底珠） 九 ⒂ 2 2     8×9 8 7 2 2                   定位：0位+2位=2位 [例三]  99×99=9 801  (见表3—11) 表3—11 运算步骤 运算结果   九 九         9×9 九 九 8 1     9×9 九 8 9 1     9×9（用悬珠） 九 ⒄ 0 1     9×9 9 8 0 1                   定位：2位+2位=4位 使用顶珠、底珠和悬珠要注意以下几点： 1．只允许在被乘数的下一档使用； 2．只有顶珠悬起才称悬珠，其他算珠不能作悬珠使用； 3．当被乘数本档改为乘积后，要及时进位； 4．小算盘不适用此法，否则，须默记顶底悬珠位置。 留头乘法练习 (1)2 765×43=118 895 (2)4 238×75=317 850 (3)50.64×0.84=42.537 6 (4)47.56×370=17 597.2 (5)540.82×2.75=1 487.255 (6)10 483×0.632=6 625.256 (7)620.34×0.078 5=48.696 69 (8)90 032×4.075=366 880.4 (9)1 448.29×63.08=91 358.133 2 (10)0.761 3×0.208 4=0.158 654 92 (11)82.65×71.53=5 911.954 5 (12)14.68×52.76=774.516 8 (13)351.17×68.24=23 963.840 8 (14)2 460.32×0.1415=348.135 28 (15)3 479.88×37 206=129 472 415.28 (16)l0 920.45×0.048 31=527.566 939 5 (17)72 683.17×205.36=14 926 215.791 2 (18)50 084.29×7 004.35=350 807 396.661 (19)43 091.55×0.460 18=19 829.869 479 (20)62 574.38×134.52=8 417 505.597 6 附： 乘法传统练习题 (1)123 456 789分别乘2，3，4，5，6，7，8，9。 (2)123 456 789× 9=1 111 111 101 123 456 789×18=2 222 222 202 123 456 789×27=3 333 333 303 123 456 789×36=4 444 444 404 123 456 789×45=5 555 555 505 123 456 789×54=6 666 666 606 123 456 789×63=7 777 777 707 123 456 789×72=8 888 888 808 123 456 789×81=9 999 999 909 (此题旧称“一条龙”) (3)12 345 679×17=209 876 543 12 345 679×26=320 987 654 12 345 679×35=432 098 765 12 345 679×44=543 209 876 12 345 679×53=654 320 987 12 345 679×62=765 432 098 12 345 679×71=876 543 209 12 345 679×80=987 654 320 (此题旧称“九连环”) (4)11 883 541 295 306×8．5=101 010 101 010 101 11 883 541 295 306×17=202 020 202 020 202 11 883 541 295 306×25．5=303 030 303 030 303 11 883 541 295 306× 34=404 040 404 040 404 11 883 541 295 306×42．5=505 050 505 050 505 11 883 541 295 306×51=606 060 606 060 606 11 883 541 295 306×59．5=707 070 707 070 707 11 883 541 295 306× 68=808 080 808 080 808 11 883 541 295 306× 76．5=909 090 909 090 909 (此题旧称“八仙图”) (5)555 555X 95=52 777 725 55 555 555X 95=5 277 777 725 555 555X 957=531 666 135 55 555 555X 957=53 166 666 135 (此题旧称“金香炉”) (6)22 715 950．6×25=567 898 765 16 225 679×35=567 898 765 (此题旧称“蝴蝶展翅”) (7)102．568X 125=12 821 102 568 102．568× 125=12 821 012 821 (此题旧称“蝴蝶飞舞”) (8)7 715 625×16=123 450 000 33 950 625×16=543 210 000 493 817 284×25=12 345 432 100 (此题旧称“凤凰展翅”) (9)10．687 5×16=171 10 698．187 5×16=171 171 10 698 198·187 5×16=171 171 171 (此题旧称“梅花图”) (10)7 518 797×133=1 000 000 001 7 936 507 936．5×14=111 111 111 111 694 444 444 375×1．6=1 111 111 111 111 (此题旧称“霸王一条鞭”) (11)781 250×128=100 000 000 (此题旧称“万众一心”) (12)79 992×8=639 936 71 104×9=639 936 53 328×12=639 936 17 776×36=639 936 3 636×176=639 936 3 168×202=639 936 1 616×396=639 936 1 818×352=639 936 808×792=639 936 1 212×528=639 936 (13)225×195×148×154=999 999 000 1 625×675×148×616=99 999 900 000 1 144×444×225×875=99 999 900 000 69 375×65×154×144=99 999 900 000 7 992×112×125×275×325=9 999 990 000 000 5 328×336×325×275×625=99 999 900 000 000 l 332×572×75×175=9 999 990 000 1 125×175×888×572=99 999 900 000 8 125×675×148×1 232=999 999 000 000 325×225×165×148×56=99 999 900 000 (14) 1 953 125×512=1 000 000 000 1 953 125×1 024=2 000 000 000 1 953 125×1 536=3 000 000 000 1 953 125×2 048=4 000 000 000 1 953 125×2 560=5 000 000 000 1 953 125×3 072=6 000 000 000 1 953 125×3 584=7 000 000 000 1 953 125×4 096=8 000 000 000 1 953 125×4 608=9 000 000 000 第四章珠算除法 除法是乘法的逆运算，是求一个数的若干等分的方法。各种珠算除法原理相同，即被除数包含几倍数就立商几，然后从被除数中减去几倍除数。减去商数倍的除数时，可以累减除数，也可以依次减去除数各位与商数逐位相乘的乘积。 以上两种方式本书都将予以介绍。由于两种方式运算方法不同，这里不再单独介绍除数非零数字只有一位的一位除法。在实际计算中，一位除法可使用本书所介绍的商除法。 珠算除法有置数、估商、置商和减积(或减除数)几个基本步骤。由于运算中的置商位置不同，珠算除法可分为隔位除法与不隔位除法。本书所介绍的商除法与减除法均属隔位除法， 传统归除方法为不隔位除法，但因归除口诀繁复难记，并且不能避免使用顶底悬珠，本书未加采用。 在例题表式说明的运算结果栏中，被除数用汉字数字表示，商数用阿拉伯数字表示。 第一节 商除法 珠算商除法与笔算除法相似，是利用乘法和减法进行除法运算的。运算时，每求一位商数，都是先进行估商，然后从被除数中减去商与除数的乘积。求出第一位商数以后，继续用同样方法逐档求商，直至除尽或达到所要求的精确度为止。 商除方法简单，易于理解，由于笔算除法的普及，珠算商除法可以在很短时间内学会，熟练之后，速度也很容易提高。 一、基本步骤 1．置数 从算盘左端第三档起拨上被除数，默记除数。使用小算盘，被除数也可以从中间一个带计位点的档次拨起。 2．估商． 所谓估商，就是用心算估计的方法确定被除数中含有几倍除数。包含有几倍除数，就试商几。 在除数只有一位非零数字的一位除法中，即用除数的非零数字与被除数第一位数字进行比较，如被除数小于除数，则与被除数第一、二两位数字进行比较。 在除数非零数字为二位以上的多位除法中，为了估商迅速，可以不用整个除数与被除数比较，而只用对商数影响较大的除数前两位数字，与被除数的前两位或前三位数字进行比较。 3．置商位置 商除为珠算的隔位除法。当被除数与除数位数相等的前几位数字，大于或等于除数时，在被除数左边第二档“隔档置商”；反之，当小于除数时，在被除数左边第一档上“前档置商”。 这一步骤可以简单地归纳为：“数大隔商，数小前商”。 4．减积档次 估出的试商置于规定位置后，一位除法即可将商数与除数的乘积从被除数中减去；多位除法即可用商数与除数的各位数字由高至低依次相乘，并同时从被除数中依次减去乘积。减积的档次是：除数是第几位，它与商数乘积的十位数，就从商数右面第几档减去。 [例]728÷700=1.04(见表4—1) 表4—1 运算步骤 运算结果       七 二 八 数大隔商，试商1 1 0 七 二 八 乘减：一七07 1 0 0 二 八 数小前商，试商4 1 0 4 二 八 乘减：四七28 1 0 4 0 0             定位：(按公式定位法，下同) 3位-3位+1位=1位 [例二]26 125.47÷4 207=6.21  (见表4—2) 表4—2 运算步骤 运算结果       二 六 一 二 五 四 七 数小前商，试商6   6 二 六 一 二 五 四 七 乘减：六四24   6 0 二 一 二 五 四 七 六二122   6 0 0 九 二 五 四 七 六七42   6 0 0 八 八 三 四 七 数大隔商，试商2   6 2 0 八 八 三 四 七 乘减：二四08   6 2 0 0 八 三 四 七 二二04   6 2 0 0 四 三 四 七 二七14   6 2 0 0 四. 二 ○ 七 数大隔商，试商1   6 2 1 0 四. 二 ○ 七 乘减：一四04   6 2 1 0 0 二 ○ 七 一二02   6 2 1 0 0 0 0 七 一七07   6 2 1 0 0 0 0 0                     定位：5位-4位=1位 二、补商退商 当估出的试商正确时，乘减后的余数必小于除数并大于等于0。这时说明商的第一位数字已经求出来了，余数等于0则已除尽，大于0则可以继续求商的第二位数字。 但除数位数较多时，估商不易一次准确，需要用补商或退商的办法进行调整。 若余数大于等于除数，说明试商小了，应将试商加一，即补商，然后在余数中再减去一遍除数。 若乘减过程中发现不够减(乘积大于被除数)，说明试商大了，应将试商减一，即退商，并在余数中重新加上已被乘减过的那几位除数，然后再用减一后的正确商数与其余几位除 数继续相乘，将乘积从被除数中减去。 [例]  176 136÷358=492(见表4—3) 表4-3 运算步骤 运算结果       一 七 六 一 三 六 数小前商，试商5   5 一 七 六 一 三 六 乘减：五三15   5 0 二 六 一 三 六 五五25   5 0 0 一 一 三 六 退商1，隔位加还35   4 0 三 六 一 三 六 乘减：四八32   4 0 三 二 九 三 六 数小前商，试商8   4 8 三 二 九 三 六 乘减：八三24   4 8 0 八 九 三 六 八五40   4 8 0 四 九 三 六 八八64   4 8 0 四 二 九 六 补商1   4 9 0 四 二 九 六 隔位减358   4 9 0 0 七 一 六 数大隔商，试商2   4 9 2 0 七 一 六 乘减：二三06   4 9 2 0 一 一 六 二五10   4 9 2 0 0 一 六 二八16   4 9 2 0 0 0 0                   定位：6位-3位=3位 中途退商是在乘减过程中发现不够减时进行的，因此需要记住此时已经乘减到了除数的哪一位，然后加还一倍已乘减过的几位除数，并用新得商数继续乘减。 由此可见，退商的处理比补商要复杂，应尽量避免中途退商。因此，估商的原则应是“估商宜偏小”，也就是说，宁肯把商估得偏小造成补商，也不要估商偏大造成退商。 三、估商的简便方法 商除法的关键环节是估商，估商若能迅速，计算速度就能 大大提高。 在多位除法中，估商时不用整个除数与被除数比较，而用除数的前两位数字与被除数的前两位数字或前三位数字比较，虽然已经简化了工作，估商也可以比较准确，但需要较高的心算基础，应用仍不够简便。 如能只用除数首位数字估商，即用除数第一位数字与被除数第一或第一、二两位数字比较，则可进一步简化估商的方法。但是，由于不考虑除数第二位以下非零数字的影响，当估商不能一次准确时，试商必然偏大，造成退商，使运算复杂化。 为了使运算中只出现补商不出现退商，在多位除法中可以采用“除数首位加一”估商法，即在心算估商时，用除数第一位数字加“1”与被除数比较。这样，当估商不能一次准确时，一定是试商偏小，造成补商，能够很方便地进行处理。    ． [例一]708.54÷29 400=0.024 1(见表4—4) 表4—4 运算步骤 运算结果       七 ○ 八 五 四 数大隔商，试商2（用3与7比较而得） 2 0 七 ○ 八 五 四 乘减：二二04 2 0 三 ○ 八 五 四 二九18 2 0 一 二 八 五 四 二四08 2 0 一 二 ○ 五 四 数小前商，试商4（用3与12比较而得） 2 4 一 二 ○ 五 四 乘减：四二08 2 4 0 四 ○ 五 四 四九36 2 4 0 0 四 五 四 四四16 2 4 0 0 二 九 四 数大隔商，试商1 2 4 1 0 二 九 四 乘减：一二02 2 4 1 0 0 九 四 一九09 2 4 1 0 0 0 四 一四04 2 4 1 0 0 0 0                 定位：3位-5位+1位=-1位 [例二]2952.35÷0.685=4310(见表4—5) 表4-5 运算步骤 运算结果       二 九 五 二 三 五 数小前商，试商4（用7与29比较而得）   4 二 九 五 二 三 五 乘减：四六24   4 0 五 五 二 三 五 四八32   4 0 二 三 二 三 五 四五20   4 0 二 一 二 三 五 数小前商，试商3（用7与21比较而得）   4 3 二 一 二 三 五 乘减：三六18   4 3 0 三 二 三 五 三八24   4 3 0 0 八 三 五 三五15   4 3 0 0 六 八 五 数大隔商，商1   4 3 1 0 六 八 五 乘减：一六06   4 3 1 0 0 八 五 一八08   4 3 1 0 0 0 五 一五05   4 3 1 0 0 0 0                   定位：4位-0位=4位 [例三]  56 638.75÷6 473=8075(见表4—6) 表4-6 运算步骤 运算结果       五 六 六 三 八 七 五 数小前商，试商8（用7与56比较而得）   8 五 六 六 三 八 七 五 乘减：八六48   8 0 八 六 三 八 七 五 八四32   8 0 五 四 三 八 七 五 八七56   8 0 四 八 七 八 七 五 八三24   8 0 四 八 五 四 七 五 数小前商，试商6（用7与48比较而得）   8 6 四 八 五 四 七 五 乘减：六六36   8 6 一 二 五 四 七 五 六四24   8 6 一 ○ 一 四 七 五 六七42   8 6 0 九 七 二 七 五 六三18   8 6 0 九 七 ○ 九 五 补商1   8 7 0 九 七 ○ 九 五 隔位减6 473   8 7 0 三 二 三 六 五 数小前商，试商4（用7与32比较而得）   8 7 4 三 二 三 六 五 乘减：四六24   8 7 4 0 八 三 六 五 四四16   8 7 4 0 六 七 六 五 四七28   8 7 4 0 六 四 八 五 四三12   8 7 4 0 六 四 七 三 补商1   8 7 5 0 六 四 七 三 隔位减6 473   8 7 5 0 0 0 0 0                     定位：5位-4位=1位 “除首加一”估商法把用多位除数估商简化为用一位除数估商，而且避免了退商，使得估商简便迅速，便于熟练掌握。但是运算时也应注意，如果除数简单，可以用心算方法直接估出 正确商数时，就应直接估商，以减少补商次数，加快运算速度。如除数是11，12，13，14，15或21，22，23，24，25等数字时，就应直接用两位数字估商。另外，有时虽然除数位数较多，但第二位数字很小或为o，而被除数第二位数字或第三位数字(前档置商时)较大，也可以只按除数首位数字估商，而不必再加一。如6 864÷312；26 746．5÷8 105；30 932÷703；385÷5007等等。总之，熟练之后，应能灵活运用估商方法。 商除法练习 (1)5 676÷6=946                (5)725 169÷3 009=241 (2)7 224÷0.3=24 080            (6)18 328÷232=79 (3)156 208÷52=3 004            (7)27 574.74÷998=27.63 (4)10.44÷290=0.036            (8)4 360．16÷9.52=458 (9)240 588+6 520=36.9          (13)17 960.96÷3 508=5.12 (10)5 008.5÷7 420=0.675      (14)57 585．22÷67.43=854 (11)207.93+0.478=435          (15)187 819．08÷5 394=34.82 (12)75.18÷895=0．084        (16)7 857 421÷2 389=3 289 (精确到0．0001) (17)0.638÷0.76=0.839 5        (19)2 650.3÷27.4=96．726 3 (18)3 204÷3 589=0.892 7      (20)97.88÷32.53=3．008 9 第二节  减除法 减除法以减代除，同时也利用加法来简化运算。它是在传统扒皮除法的基础上丰富完善起来的。这种方法在估商之后用减除数的方法进行运算，商为几，就从被除数中减去几倍的 除数。但也并非商为几都固定使用连续相减几遍的方法，而是根据商数的不同采用不同的减除数方法，以求简捷提高效率。商数无非是由0与1～9这样十种数字所组成。0无须运算。 在其余的数字中，商数为1，2，5，9时各有其简便运算方法，而商数为3，4，6，7，8时也都可以在1，2，5，9运算方法的基础上形成各自的运算方法。因此，这种方法也称为“1259”除法。学习减除法，就是学习针对不同商数使用不同的简便运算方法。 减除法简单易学，节省脑力，对于擅长加减的人最为适用。在熟练掌握这种方法的各种技巧之后，可使运算简便，尤其是在除数的数位较多时，使用此法效率高，差错率低。 一、基本步骤 1．置数  可从算盘左端第三档起拨上被除数，默记除数。使用小算盘，被除数也可以从中间一个带计位点的档次拨起。 2．估商 被除数中含有几倍除数，商数就为几。在实际运算中，若被除数与除数前两位数字并不相等，只取被除数前两位数字或因小于除数而取前三位数字，与除数的前两位数字比较即可；反之，则需顺序增加位数来比较。 商数为1，2，5，9时，应能通过观察直接估出，商数为其他数字时，可在运算过程中加以判断确定。 3．置商 此法为珠算的隔位除法。用被除数与除数的第一位数字相比较，如相等用下一位数字相比较，当被除数大于等于除数时，在被除数左边第二档上“隔档置商”；小于除数时，在左边第一档上“前档置商”，即“数大隔商、数小前商”。 4．减除 商为几，就应隔位减几倍除数。但为了简化运算步骤，当商数不同时，减除数采用不同的方法。 二、不同的减除方法 1．商一隔位减除数 当被除数等于或稍大于除数时，应按“数大隔商”或“数小前商”的原则直接商一，然后隔位减去一倍除数。 [例一]  38 739÷349=111  (见表4—7) 表4—7 运算步骤 运算结果       三 八 七 三 九 数大隔商一 1 0 三 八 七 三 九 隔位减除数 1 0 0 三 八 三 九 数大隔商一 1 1 0 三 八 三 九 隔位减除数 1 1 0 0 三 四 九 数大隔商一 1 1 1 0 三 四 九 隔位减除数 1 1 1 0 0 0 0                 定位：5位-3位+1位=3位 [例二]  10 767÷97=111  (见表4—8) 表4-8 运算步骤 运算结果       一 ○ 七 六 七 数小前商一   1 一 ○ 七 六 七 隔位减除数   1 0 一 ○ 六 七 数小前商一   1 1 一 ○ 六 七 隔位减除数   1 1 0 0 九 七 数大隔商一   1 1 1 0 九 七 隔位减除数   1 1 1 0 0 0                 定位：5位一2位=3位 2．商二加倍减除数 当被除数包含有二倍除数时，应通过观察直接商二，并从被除数中一次减去二倍数。置商时仍为“数大隔商、数小前商”；减除数时，如除数加倍发生进位则挨位减二倍的除数，不发生进位则隔位减二倍的除数。 减除法要求具有对任意数字心算加倍的基本训练。估商时可以直观判断被除数是否含有两倍除数，减除数则须准确地一次减去两倍除数。当除数的数字较多时，可以采用“逐字加倍”的方法，见表4—9。 表4—9 默念 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 拨珠 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0                       如减除数3 469的二倍：自最高位开始，默念3—4—6—9，顺序移档减去6—8—12—18(其中6，9两位加倍后，都是先在上一档减去十位的1，然后移档减去个位的2和8)，即减去二倍除数6 938。 [例一]  31 714÷157=202(见表4—10) 表4—10 运算步骤 运算结果       三 一 七 一 四 数大隔商二 2 0 三 一 七 一 四 加倍减除数 2 0 0 0 三 一 四 数大隔商二 2 0 2 0 三 一 四 加倍减除数 2 0 2 0 0 0 0                 定位：5位一3位+1位一3位 [例二]    102 564÷462=222(见表4—11) 表4—11 运算步骤 运算结果       一 ○ 二 五 六 四 数小前商二   2 一 ○ 二 五 六 四 加倍减除数   2 0 一 ○ 一 六 四 数小前商二   2 2 一 ○ 一 六 四 加倍减除数   2 2 0 0 九 二 四 数大隔商二   2 2 2 0 九 二 四 加倍减除数   2 2 2 0 0 0 0                   定位：6位-3位=3位 减除后的余数若大于等于除数，应补商一，并隔位减除数。此时即为商三的方法。 [例三]  28 892÷124=233(见表4—12) 表4—12 运算步骤 运算结果       二 八 八 九 二 数大隔商二，加倍减除数 2 0 0 四 ○ 九 二 数大隔商二，加倍减除数 2 2 0 一 六 一 二 数大隔商一，隔位减除数 2 3 0 0 三 七 二 数大隔商二，加倍减除数 2 3 2 0 一 二 四 数大隔商一，隔位减除数 2 3 3 0 0 0 0                 定位：5位一3位+1位=3位 商数为四时，也可连续作两次商二的运算。 [例四]  51 728÷212=244(见表4—13) 表4—13 运算步骤 运算结果       五 一 七 二 八 数大隔商二，加倍减除数 2 0 0 九 三 二 八 数大隔商二，加倍减除数 2 2 0 五 ○ 八 八 数大隔商二，加倍减除数 2 4 0 0 八 四 八 数大隔商二，加倍减除数 2 4 2 0 四 二 四 数大隔商二，加倍减除数 2 4 4 0 0 0 0                 定位：5位-3位+1位一3位 3．商五折半减除数 一个数的五倍是这个数十倍的一半，也可以看作这个数的一半再加一个“0”。如424的五倍，即424×5=424×10÷2=424÷2×10=212×10，在算盘上表示时，一个数的五倍与这个数的一半是一样的，只是档次不同。因此，当被除数大于等于除数的半数时，应商5，然后从被除数中减去半个除数，即减5倍除数。  减除法同样要求具有对任意数字心算折半的基本训练。估商时可以根据直观判断被除数是否大于除数的一半，减除数时则须准确地减去除数的半数。当除数的数位较多时，可以采用“逐字折半”的方法，见表4—14。 表4—14 默念 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 拨珠 05 1 15 2 25 3 35 4 45 0                       如减除数452的五倍：自最高位开始，默念4—5—2，顺序移档减去2—25—1(等中5折半2。5，移档减2之后应再下移一档减5)，即减去五倍除数226。 置商五多为“数小前商”，只有当除数的第一位数字为1时，商五常为“数大隔商”。减除数时，一般从商数右边第一档开始挨位减去除数的半数即可；除首为1时，也可仍按挨位减半数处理，第一位数字折半应作“05”，运算时挨位减o，空档占位，实从隔位减5。 [例一]  2 332÷424=5.5(见表4一15) 表4一15 运算步骤 运算结果       二 三 三 二 数小前商五   5 二 三 三 二 挨位减半数   5 0 二 一 二 数小前商五   5 5 二 一 二 挨位减半数   5 5 0 0 0               定位：4位-3位=1位 [例二]  95.37÷17.34=5.5  (见表4—16) 表4—16 运算步骤 运算结果       九 五 三 七 数大隔商五 5 0 九 五 三 七 挨位减半数 5 0 0 八 六 七 数大隔商五 5 5 0 八 六 七 挨位减半数 5 5 0 0 0 0               定位：2位-2位+1位=1位 商五减半数后的余数若大于一倍除数，应补商一，并隔位减除数。此时即为商六的方法。 [例]  2 048.92÷3.62=566(见表4—17) 运算步骤 运算结果       二 ○ 四 八 九 二 商五挨位减半数   5 0 二 三 八 九 二 商五挨位减半数   5 5 0 五 七 九 二 商一隔位减除数   5 6 0 二 一 七 二 商五挨位减半数   5 6 5 0 三 六 二 商一隔位减除数   5 6 6 0 0 0 0                   定位：4位-1位=3位 当被除数略小于除数的半数时，说明被除数含有四倍除数，商数为4。这时应隔位加一倍除数，凑足五倍，然后挨位减半数，即按照商五时减除数的方法挨位一次减去五倍除数。 [例]    145 248÷267=544(见表4—18) 表4一18 运算步骤 运算结果       一 四 五 二 四 八 商五挨位减半数   5 0 一 一 七 四 八 商四隔位加除数   5 4 一 四 四 一 八 按五挨位减半数   5 4 0 一 ○ 六 八 商四隔位加除数   5 4 4 一 三 三 五 按五挨位减半数   5 4 4 0 0 0 0                   定位：6位-3位=3位 4．商九凑整减除数 当被除数含有九倍除数时，接近除数的十倍。而一个数的十倍与这个数只是小数点位置不同，在算盘上表示只是档次不同。因此，当被除数前几位数字接近除数时，应置商九。商数为9时，除在特殊情况下(除数为1，或为连续1，以及除首为1且小于连续1时)可能为“数大隔商”，其余都为“数小前商”。 无论“数小前商”或“数大隔商”，都可以根据-9=+1-10的道理，隔位加一倍除数，凑足十倍，然后挨位减除数，即挨位一次减去十倍除数。 同样，根据-8=十2-10和-7=+3-10的道理，商8或商7时，可以分别隔位加二倍除数或三倍除数，凑足十倍，然后挨位减除数即可。 由于除数的九倍与八倍或八倍与七倍不易区别，特别是很难直观判断被除数是否含有八倍、七倍除数，因此在实际运算中，当被除数接近除数时，可以在立商之前先隔位加除数，加一次即够减十倍除数立商九，加二次够减立商八，加三次够减立商七，然后挨位减除数。 “隔位”加除数是对立商位置而言，如在立商前加除数，则应注意“数大”时从被除数第一位数字起加除数，“数小”时从被除数第二位数字起加除数，均与立商位置隔开一档。凑整后，原“数大”也由于发生进位变为“数小”，因此这时立商均为“前档置商”，并且在立商后都仍然挨位减除数。 [例一]  203 796÷204=999  (见表4—19) 表4一19 运算步骤 运算结果       二 ○ 三 七 九 六 商九隔位加除数   9 二 二 四 一 九 六 凑整挨位减除数   9 0 二 ○ 一 九 六 商九隔位加除数   9 9 二 二 二 三 六 凑整挨位减除数   9 9 0 一 八 三 六 商九隔位加除数   9 9 9 二 ○ 四 ○ 凑整挨位减除数   9 9 9 0 0 0 0                   定位：6位-3位=3位 [例二]  193 452÷196=987  (见表4—20) 表4—20 运算步骤 运算结果       一 九 三 四 五 二 数近隔位加除数，加一次够减商为九   9 二 一 三 ○ 五 二 凑整挨位减除数   9 二 一 七 ○ 五 三 数近隔位加除数，加二次够减商为八   9 8 二 ○ 九 七 二 凑整挨位减除数   9 8 0 一 三 七 二 数近隔位加除数，加三次够减商为七   9 8 7 一 九 六 ○ 凑整挨位减除数   9 8 7 0 0 0 0                   定位：6位-3位=3位 [例三]  993.5l÷12.45=79.8(见表4—21) 表4—21 运算步骤 运算结果       九 九 三 五 一 数近隔位加除数，加三次够减商为七 7 一 三 六 七 ○ 一 凑整挨位减除数 7 0 一 二 二 ○ 一 数近隔位加除数，加一次够减商为九 7 9 一 三 四 四 六 凑整挨位减除数 7 9 0 0 九 九 六 数近隔位加除数，加二次够减商为八 7 9 8 一 二 四 五 凑整挨位减除数 7 9 8 0 0 0 0                 定位：3位-2位+1位=2位 5.各种方法的混合运用 减除数的不同方法适用于不同的商数，而在实际除法运算中，一道算题商数的非零数字可能为1～9之中的不同数字所组成，不同的方法必然要混合使用。各种方法对置商位置和 减除数档次的要求都是一致的，因此也可以混合使用。 [例一]  26 539.72÷21.08=1 259(见表4—22) 表4—22 运算步骤 运算结果       二 六 五 三 九 七 二 商一隔位减除数 1 0 0 五 四 五 九 七 二 商二加倍减除数 1 2 0 一 二 四 三 七 二 商五折半减除数 1 2 5 0 一 八 九 七 二 商九凑整减除数 1 2 5 9 0 0 0 0 0                     定位：5位-2位+1位=4位 [例二]  649 053.21÷7.527=86.23  (见表4～23) 表4—23 运算步骤 运算结果       六 四 九 ○ 五 三 二 一 商八凑整减除数   8 0 四 六 八 九 三 二 一 商五折半减除数   8 5 0 九 二 五 三 二 一 商一隔位减除数   8 6 0 一 七 三 一 二 一 商二加倍减除数   8 0 2 0 二 二 五 八 一 商二加倍减除数   8 6 2 2 0 七 五 二 七 商一隔位减除数   8 6 2 3 0 0 0 0 0                       定位：6位-4位=2位 减除法与商除法均属珠算隔位除法，置商位置和减除(减积)档次一致，若能在运算中结合使用，既能克服使用减除法对某些商数运算速度较慢的缺点，又可避免商除法有时不易准确估商的困难，是珠算除法较为理想的运算方式。一般情况下，商1或商9，8，7时可使用减除法，商为其他数字时可使用商除法。 减除法练习 练习一 (1)69 597÷627=111            (3)1 045．62÷9．42=111 (2)2 381．58÷23．58=101      (4)108．35÷0．985=110 练习二 (1)47 286÷213=222            (4)14 443÷715=20．2 (2)67．32÷306=0．22          (5)17 622．48÷87．24=202 (3)206．72÷64=3．23          (6)0．079 8÷0．19=0．42 练习三  (1)46 310÷842=55              (4)693÷126=5．5 (2)3 964．25÷7．85=505      (5)271．68÷0．48=566 (3)1 650÷2 500=0．66          (6)22 927÷5 050=4．54 练习四 (1)351 648÷352=999              (4)844．74÷1 083=0．78 (2)223 266÷254=879              (5)880．76÷0．97=908 (3)597 135÷605=987              (6)4 755．91÷4 903=0．97 练习五 (1)15 850．81÷12．59=1 259 (2)127 694．82÷30 549=4．18 (3)57 855．52÷6 704=8．63 (4)111 062．55÷43 215=2．57 (精确到0．001) (5)463÷825=0．561 (6)0．083 1÷0．21=0．396 (7)15 041÷7 328=2．053 (8)97．06÷10．31=9．414 (9)6 767÷4 242=1．595 (10)292 864÷30 759=9．521 附： 除法传统练习题 (1)分别用2，3，4，5，6，7，8，9去除123 456 789． (2)用0．031 25分别去除1，2，3，4，5，6，7，8，9，分别得32，64，96，128，160，192，224，256，288． (3)1 111 111 101÷9=123 456 789 2 222 222 202÷18=123 456 789 3 333 333 303÷27=123 456 789 4 444 444 404÷36=123 456 789 5 555 555 505÷45=123 456 789 6 666 666 606÷54=123 456 789 7 777 777 707÷63=123 456 789 8 888 888 808÷72=123 456 789 9 999 999 909÷81=123 456 789 (4)520 828 125÷9 375=55 555 (5)1÷512=0．001 953 125(此题旧称“狮子滚绣球”) (6)以上乘法传统练习题做逆运算 第五章珠算定位法 所谓珠算定位问题，就是如何确定计算结果的个位档。 为了充分发挥珠算方法灵活快速的特点，算盘不便固定表示小数点的位置，任一档次都可取作一个数的个位档。另外，数字“0”在算盘上以空档表示，计算结果的非零数字前后是否还有以空档表示的有效数字“0”，并不能像笔算那样一望而知。因此，定位是珠算不可缺少的重要内容，如不能采用合理的方法正确地进行定位，必然是“前功尽弃”、“满盘皆输”。 从如何提高珠算速度来看，定位也是一个关键问题。如不能掌握得当的定位方法，定位占用的时间很多，甚至需用与运算对等的时间。这是一种不容忽视的损失。 第一节  加减定位法 珠算加减定位非常简单。计算前在算盘上选择一档作为个位数的固定位置，由此向左各档分别为十、百、千、万位，向右各档分别为十分、百分、千分、万分位，等等。运算时，无论被加数与加数，或被减数与减数，均按“同位加减”的原则进行操作，个位与个位相加减，十位与十位相加减，个位档始终不变，计算结果的十位档也就无需另行确定。 个位档可根据习惯选择，因此加减法定位也称为习惯定位。使用七珠大算盘可以选择金属档为个位档，也可以选择其他档次，如金属档的右一档为个位档，既要注意标志明显易认，又要注意左右档次能够满足需要、运算方便。由于使用七珠大算盘运算时往往把算盘放在桌面右侧，应尽量利用算盘左端档次进行运算。 使用六珠或五珠小算盘，可以任选一个带计位点的档次为个位档。如计位点在两档之间，所选计位点便是小数点位置。由于使用时往往把小算盘放在胸前运算，应选算盘中间偏右的一个计位点定位。