直接消耗系数矩阵的性质和应用
第卷专辑 中国管理科学 ., .
年月
文章编号:?一?
直接消耗系数矩阵的性质和应用
徐大拳“,杨振起,王伟平,李宗强
.山东大学数学与系统科学学院,济南;.山东交通学院基础部,济南 摘要:本文给出投入产出技术中直接消耗系数矩阵的性质,以及它在多部门
宏观经济中的应用。利用直接捎耗
系数矩阵的改变,可以进行宏观经济调控,可以计算全要素生产率和计算技
术进步对产出的贡献率。
关键词:直接消耗系数矩阵;全要素生产率;技术进步 中圈分类号: 文献标识码:
似
引言
中,为总产出向量,为最终需求向量,。一
由诺贝尔奖金获得者,美国经济学家列昂节夫
就是直接消耗系数矩阵,其中元素‰
示部门生
?提出的投入产出技术,目前在各
产单位产品需要部门投入的产品数量,且 国的多部门宏观经济
中起着重要的作用,该技 。
术说明国民经济各个部门及整体当前发展的平衡 性。二十世纪八十年代,中国科学院数学与系统科 其中表示部门进行生产需要部门投入的
学研究院的陈锡康研究员,对投入产出技术进行了 产品数量,表示部门的产品总数量。
完善和推广,提出了投入占用产出技术“““,并在近 上述%为实现型投入产出模型的直接消耗系 几年的全国粮食预测方面,做出了重要贡献,得到国 数,还有价值型的真接消耗系数。两者之间的关 内外专家学者的认可和好评。我国著名学者华罗庚 系为:
教授,对于国民经济长期的运行规律提出了“正特征 一
。
矢量法”“,说明对于封闭的动态投入产出模型,初 ~万‘
始投入必须是直接消耗系数矩阵的右正特征矢量, .、,分别表示第部门和第部门的产品价格 否则,模型中的经济系统若干年后会失去平衡,即有
指数。
的部门出现负生产。
.直接消耗系数矩阵的性质
在投入产出技术中,直接消耗系数矩阵处于中 根据直接消耗系数矩阵的定义和实际经济意 心地位。本文研究了直接消耗系数矩阵的性质,并 义,矩阵具有以下性质:
给出它在经济分析中的三个作用:进行宏观经济调 性质直接消耗系数矩阵是非负矩阵。 控、计算全要素生产率和计算技术进步对产出的贡 性质
设直接消耗系数矩阵.,一,则
献率。
至%。
直接消耗系数矩阵的性质
性质设直接消耗系数矩阵。一,则矩 .直接消耗系数矩阵的定义
阵?可逆,且?“?;若矩阵不可约,则 设国民经济系统划分为个产品部门。在投入 ?“。
产出静态模型
引理“?定理设是非负
不可约方阵,则:
收稿期:??
存在正特征根称为根,或记
作者简介:僚太举一,男汉族,山东聊城人,山寐交通 为,是单重特征根,且对于的其它特征根
学院讲师,山东大学数学与系统科学学皖博士生.研 究方向:运筹与经济分析
,,有,?。特别地,若还是本原矩阵,则? 年 中国管理科学
率等和新工业的出现如计算机产业、宇航工业, 、, 都会使直接消耗系数发生变化。这说明直接消耗系 存在对应于的左、右正特征矢量
数在时问上有不稳定性,但因为有了同质性和比例 且若不计正常数因子,它们是唯一的。
性的假定,使得任一大类产品的生产过程,主要消耗 作为的个元素的
是严格递增
结构不会经常迅速地变动,部门问相互消耗的种类 的,即若?,则。
和数量.在一定时间内不会有太大的波动。那么消 引理”。设非负不可约矩阵如一,则的
耗系数怎样波动,波动的规律是什么
根满足:
早在年,列昂节会提出这样的看法“:系
数表的变化可以分成两类,一类是倾向于投入产出 ?。赡。善。一?“?。翳蚤一
表上的某行发生变化,一类是倾向于投入产出表上 。;。蚤一?。慧蚤 的某列发生变化。例如,某一时期由于电力工业的
利用上述两个引理,得到:
发展,使得许多原来以煤为动力的部门改用了电力 性质若直接消耗系数矩阵不可约,则
作动力,于是在系数表上反映出来的是,有关煤的这 存在正的根和唯一的右正特征矢
一行系数均减少,而有关电的那一行都显著增加,这 量,且。
种效果就叫“替代效应”。某一时期,由于生产技术 的进步和管理手段的完善,使得某个部门对各种物 直接消耗系数矩阵的应用
质的消耗都有所减少,或者由于制造
的变化,生 华罗康教授在文“中给出投入产出的宏观经济 产结构的变化,引起了该部门对各种物质消耗有增 模型为:
有减,这就会在系数表的某一列显示出来,这种对系 并
数的影响,称为“制造效应”。基于这样的认识,我们
其中表示第年的产出列向量,并且有以
假定对各个部门来说,“替代效应”和“制造效应”是 下结论:
均匀的,也就是说,如果某一部门用一种投入物代替 定理 设经济系统是孟消费的封闭系统,直接 另一种投入物,那么所有部门也都作同样的替换:如 消耗系数矩阵是可逆的本原方阵,系统的初始投 果某一部门能改变某一投
人物的量,那么它能同样
程度地改变所有投入物的数量。
入为?,第年的产出叫,
华罗庚教授提出的“正特征矢量法”,从理论上 ,,。若?,其中是的右正特征
证明了国民经济各部门长期协调发展的重要性。在 矢量,则存在自然数,当?时,矢量有负分 世纪经济发展的历史上,有许多不重视国民经济协 量。
调发展,导致经济衰退的反例如我国的“大炼钢铁 上述定理中“可逆”条件去掉,结论依然成立 运动”。根据直接消耗系数的变化,我们可以得到 见文”。该定理说明,对于封闭的动态投入产出 各部门技术发展的进度,并可以指导国家进行宏观 模型,初始投入必须是直接消耗系数矩阵的右正特
经济调控,制定宏观经济政策,从而推动国民经济快 征矢量,否则若干年后经济系统会失去平衡,这是模 速协调发展。因为篇幅有限,这里只作个别部门分 型唯一的有经济意义的解,也是模型的最优增长解,析。 增长系数为?,即?一,其中为的在
”中,给出了年和年国家十八 天上特征根。由性质知,直接消耗系数矩阵存 个部门可比价投入产出真接消耗系数表,十八个部 在正特征根和唯一的右正特征矢量。
门分别是:农业、冶金工业、电力工业、煤炭及炼焦工 .进行宏观经济调控
业、石油及天然气工业、化学工业、机械工业、建筑材 在投人产出理论中,直接消耗系数矩阵表达了 料及其他非金属矿工业、术材加工及家具制造业、食 各部门之间产品的消耗情况,反映了各部门生产的 品工业、纺织工业、缝纫及皮革制造业、造纸及文教 技术水平,因而也称为技术系数矩阵。现实中,消耗 用品工业、其他工业、建造业、运输邮电业、商业饮食 系数改变的原因是由于工艺的改进如新材料的使 业和其他非物质生产部门。
用、生产过程的自动化和新技术的应用等,相对价 年括号内为年个部门投入产出
格的变动如其它部门产品提价、增加工资和提高税
直接消耗系数表的第一列数据,即农业部门生产单徐大举等:直接消耗系数
矩阵的性质和应用
专辑
一时期如一年内投入生产的全部生产要素,“全要 位产品依次对十八个部门产品消耗的单位数为:.
。
素”的价值就是某一时期的生产总成本 ....,.
全要素生产率通常简写为就可以表为: .,..,..
,.“.,..,
聊参
..,...
其中为产出指数///指数,。为成本指数 .。..,.【.
指数,所以全要素生产率的变化率为: ,..,..,
。
..,:塑.,.
?? 百一?矿
.,..。
在文中,作者根据投入产出技术,给出一种
比较上面各个部门两个时期对应的数据,从 计算总量和各个部门的全要素生产率的方法,总量 年到年,除了农业、电力工业、运输邮电业 全要素生产率变动的计算公式为:
和其他工业四个部门的数据变小外,其他个部门 的数据都变大。这说明农业部产生了“制造效 应”,随着时代的发展,农业部门生产单位产品对大 扎?莩翠五?喙一轰
部分部门的消耗量增加了。根据平衡发展的要求, ?, ?。
今后需要注意农业与电力工业、农业与动输邮电业、 农业和其他工业之间和农业自身闷的发展关系。 。“葺一悫。“藏。“只一‘’
年括号内为年个部门投入产出
直接消耗系数表的第一行数据,即农业部门产品依 击以弓
次分配到十八个部门去的单位数为:.. 上式中置表示第部门的产价值,。表示部门 ,..,..,
进行生产投入的第部门的产品价值,瓦为价值型 ..,..,.
直接消耗系数实物型直接消耗系数记为虬,。、
.,..,..
,分别表示第和第』部门的产品价格。公式说明 ,..,..,
全要素生产率的变动/与部门的产出变动、 ..,。。,.
价值型直接消耗系数变动以及部门产品的价格变动 .
.,:堕丝.,
有关。
,.一.,..
对于任意部门?,,,当产出的部门结
,..。
比较上面各个部门两个时期对应的数据,从 构击与投入的部门结构?薹笔相同时,全要素生 年到年,除了“其他工业”这个部门的数据 变大外,其余的个部门的数据都变小。这说明各 产率变动的计算公式变为”:
个部门对农业产生了“替代效应”,随着时代的发展, 除了“其他工业”这一部门外,其他个部门生产单 莩莩轰.盖七?嘁
位产品对农业产品的消耗降低。同样,按照平衡发 展的要求,今后应加强“其他工业”和农业两部门之
川幔“
间的技术联系。另外,“替代效应”的程度实际上并 一莩军悫。,’
不均匀,即个部门生产单位产品对农业产品消耗 上面公式说明,对于投入产出技术,当所有部的产 降低的幅度不相同。比如,从年到年,农
出结构与其投人结构相同时,全要素生产率变动只 业生产单位产品对自身产品的消耗降低了.%, 与实物型直接消耗系数。的变动有关。
而冶金工业生产单位产品对农业产品的消耗降低了 华罗庚教授的“正特征矢量法”,要求初始投人 .%。
必须是直接消耗系数矩阵的右正特征矢量,这时 .计算全要素生产率
的产出也是的右正特征矢量,并且产出是投入的 全要素生产率定义为产出的价值与全部投人 订条倍,符合“所有部门的产出结构与其投入结构 的价值之比值“。其中“全要素”是指某中国管理科学 相等”条件,所以根据公式,利用直接消耗系数矩 ?.? 阵可以计算总量的全要素生产率。
之所以增量分析法解决了多部门模型中技术进 .计算技术进步对产出的贡献率
步的测量问题,是因为模型是线性的。由于是列向 关于技术进步的测量,从总量上进行分析的比 量,所以得到的是各个部门的技术进步的测量;如果 较多。国内外学者在实证研究中用的最广泛的是 再除以各个部门产量的增量,得到的是各个部门技 “索洛余值法”,技术进步对总产出的贡献率的测算 术进步对产出的贡献率。那么,如何求总量的技术 模型“为:
进步可以对列向量?‰的分量相加汇总,得到总 ? ? .?
量的技术进步;如果再除以产出列向量的汇总,得到 了产。百‖
的是总的技术进步对产出的贡献率。
其中、分别表示产出的劳动力弹性和资本弹 结束语
性,为“索罗余值”,表示广义的技术进步。在实际 运用中,该模型运行良好,但它不但从机理上解释经 本文讨论了直接消耗系数矩阵的性质和应用, 济增长的原因。下面根据投入产出技术,利用消耗 主要是利用消耗系数的变化,来测量宏观经济多部 系数对多部门的技术进步进行测量。
门的全要素生产率,以及计算广义技术进步对产出
在投入产出模型中,设.、分别为报告期和 的贡献,从理论上提供了一种计算它们的方法,是否 基期的直接消耗系数矩阵,。、分别为报告期和 与现实吻合,有待实证分析。其中得到的技术进步 基期的最终需求向量,则各部门总产出产品向量 总的测量方法.需要与“索洛余值法”得到的实际结 的增是为:
果进行比较。
。一?。~。一? “
在书”。中,有年、年、年等的
由于、的变化,导致工发生变化所占的部分分 个部门可比价投入产出序列表,其中包括上面方法 别是下式等号右边第一项和第二项,第三项是和 计算所需要的直接消耗系数矩阵和最终需求列 同时变化产生的交互影响““:
向量,以及总产出列向量互,比较两个时期例如 ?丑.一,一~?
年和年的数据,利用以上方法,就可以得到 ?。~????~?
一年闯,全要素生产率和技术进步包括各个 设
部门和总量对产出的贡献。由于数据较多,比如
个部门的蠹接消耗系数矩阵就有个数据, 一一%?五??~;。。,
所以计算量大,但运算简单。
,一。~,??
由于完全消耗系数矩阵和直接消耗系数矩 阵之间的关系为:
?~,??。锄一
,一一一,
则
所以我们可以进一步考虑完全消耗系数矩阵的 ?局?置
性质和应用。所有这些,有待进~步分析研究。 利用增量分析法““,对第三项。,进行分解: 参考文献:
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上式等号右边两个向量分别记为?砖,和?《,,则: 李乔矩阵八讲上海:上海
科学技术出腹社,
华罗庚计划经济大范围最优化的数学理论科学通报,. ?凰?善?工‰
:?
所阻,有以下定理:
黄钧华氏经济数学基本定理的几点注记优选与管理科学, 定理在多部门经济投入产出模型中,技术进
,:?
步对总产出向量增量的贡献记为是:
何其祥.投产出分析【北京:科学出版杜,