数学开放式教学的一个案例——抛物线过顶点且互相垂直的两弦有关问题探究

数学开放式教学的一个案例——抛物线过顶点且互相垂直的两弦有关问题探究 数学开放式教学的一个案例——抛物线过 顶点且互相垂直的两弦有关问题探究 2008年第6期中学数学研究l3 数学开放式教学的一个案例 抛物线过顶点且互相垂直的两弦有关问题探究 广东省佛山市顺德一中高中部(528300)鲁利 数学探究是高中数学新课程中引入的一种新 的学习方式,这种方式有别于传统教学过分强调知 识的可接受性的特点,它的基本理念是:在学习知 识中我经历了什么,体会到了什么,感悟到了什么. 这种”经历,体会,感悟”其实都是对”过程”的体 验,既然是对过程的体验就必须有一个参与的过 程,”参与”意味着动脑,动手,动口,意味着合作与 交流.本课试就新教材人教A版选修4—4中《抛物 线的参数方程》一节例3(P35页)进行探讨,把原问 题改为开放式,供学生以自主探究与合作交流相结 合的学习方式进行,使每个学生都能体验数学发现 和创造的历程,提高学生的探索能力和创新意识. 一 ,课题设计 原问题例3如图2— 13,0是直角坐标原点,A, 是抛物线Y=2px(p>0)上 异于顶点的两动点,且OA上 OB,OM上AB并与AB交于点 ,求点的轨迹方程. 解:根据条件,设点, A,的坐标分别设为(,Y), (2pt1,2pt1),(2pt2,2pt2), 则OM=(,Y),OA= lJ, D (2pt1,2pt1),OB=(2pt2,2pt2),AB= (2p(t一;),2p(t2一)),因为上,所以O—A? OB=0,化简得tlt=一1,?. 因为O上A,所以O?A=0,化简得t1+t2 =一y/x,?. 因为A=(一2pt1,Y一2pt1),Mg=(2pt2一 ,2pt一Y),且A,,三点共线,所以(一 2pt1)(2pt2一Y)=(Y一2pt1)(2pt2一),化简得 Y(t1+t2)一2pt1t2一=0,?. 由???得+Y一2px:0(?0),这就是 点的轨迹方程. 点评:本问题在课本中仅作为一个抛物线参数 方程应用的例子出现,如果就题论题无疑失之浅 薄,对学生的思维训练其价值大打折扣,而且从上 面的解法可见,解题过程非常烦琐,运算量大,激发 不了学生学习兴趣.因此,现保留上述问题背景,把 结论改为开放式. (1)提出问题 如图2—13,0是直角坐标原点,A,是抛物线 Y=2px(P>0)上异于顶点的两动点,且OA上 OB,当A点在抛物线上运动时,试探求直线AB的运 动规律? (2)探索研究 你通过探究发现了什么?形成的猜想是什么? 你能否证明它?变换考察对象,你自己想到的问题 还有哪些?如何解决? (3)写出课题研究 填写好下(一周后上交) 课题研究报告 姓名l班次』J完成时间 抛物线过顶点且互相垂直的两弦课题名称 有关问题探究 探究的简要 过程和方法 初步猜想 我的证明 我的发现及 提出的新的 问题和解答 学生起点能力说明:本次探究有一定难度,因 此选定在我校本人执教的一个物理班进行,本班的 学生理科成绩相对比较好,他们数学基础扎实,思 维能力较强,学习数学的热情高,有?定的自学和 探究能力. 二,成果集锦 (一)课题研究报告 全班6O人,一周后上交报告57份,统计结果如 下: 14中学数学研究2008年第6期 课题研究报告统计结果 课题名称抛物线过顶点且互相垂直的两弦有关问题探究人数比例 1,用几何画板动态作图32 探究的简要过程2 ,用EXCEL作图1295%和方法 3,求AB的方程13 初步猜想直线AB过定点?(2p,0)4982% 证明略3660% (1)对原问题求点的轨迹提出简明扼要的几何方法:由于直线AB 过定点?(2p,0),所以点到ON的中点Q的距离为定值P,所以可3253% 直接得到的轨迹为圆!方程为(—p)+Y=P(?0) 我的发现及提出(2)变式1:当A点在抛物线上运动时,求三角形AOB的面积的最 2542% 的新的问题和解值? 答(3)变式2:以OA,OB为边作矩形OBSA,求顶点.s的轨迹方程?1525% (4)变式3:以为边按逆时针方向作正方形豫,求顶点的轨1626% 迹方程? (5)变式4:将原题中的抛物线换为椭圆,双曲线再研究上述有关问1321% 题1 (二)学生精彩解答摘录 1.用参数法求AB的方程. 解:显然OA不与轴垂直,所以设OA方程为Y = kx,代入抛物线y2=2px(p>0)得A点坐标 (2p/,2P),由于上OB,所以用一1/k代换A 点坐标中的k(合情推理!)得点坐标(2pk,一 2pk),由两点式得AB的方程:(k一1)Y=一k(一 2P),当=2p时,Y=0,所以直线AB过定点(2p, 0)! 点评:学生选用了直线OA的斜率为参数,说明 他们参数解题意识强.而学生使用了合情推理得 点坐标也是一大亮点!再由直线AB过点(2p,0)的 结论,为本题的几何解法找到了思维的起点和依据, 这是本探究课题的最大成功1 2.用极坐标法求三角形AOB面积的最小值. 解:以0为极点,OX轴为极轴建立极坐标系,则 抛物线Y=2px(p>0)的极坐标方程为(psin0) :2ppcosO,即P=2pcosO/sin0,设A(pl,0), 1 B(p2,0+~r/2),则三角形AOB的面积.s=.P2= 所以当sin20=一1时.s取最大值4P,此时直线 AB垂直轴. 点评:本解法学生没有直接用参数解,而是充分 考虑到极坐标解题的特点,妙!利用三角函数最值的 求法,简洁地解决了问题,可见变换观察问题的角 度,有时得到的解法是多么令人欣喜,多么悦目! 三,探究小结 1.从课题研究报告的结果看,不同程度的学生 均能发现一些规律,有效地培养了学生观察问题,提 出问题,解决问题的智慧和能力.说明新课程教学理 念下学生的探究能力获得了长足的进步;但能拓展 移能力还有待训练和提升. 的人只占21%,说明迁 2.通过一题多解,一题多变,学生再一次体验 到数学美的真谛与精髓,从而激发了学生对数学的 热爱和兴趣,对数学简洁美的追求热情. 3.计算机多媒体技术的介入,极大地调动了学 壁啪二= +一+— 一 2008年第6期中学数学研究15 运用三角公式要注意角的范围 安徽省涡阳县第三中学(233600)胡维大 tan(手+)的值为(). A.};B.}}; c.;D.. 一 仨熏 由?得tan2=},?. 将?代人?得:tan:. tan(手+)=} (二)tan(+)=OOSOd+sin2sinOOS+2sinOOSOd—sinod2sincos一 2sin 1+sin2od—OOs2Od1+a—b =————————————————?————一 sin2od+2cosOd一1=——a+b一 1 怎么可能四个结果都正确呢?我们仔细观察便会发 现,sin2od=a,cos2od:b中的Od可为全体实数,而 tan(77”+)中的?7r+,后?z.故本题求解 时Od的范围应为Od?7r+77-,?Z,但在(一)的 解答中用了万能公式,此公式要求Od?7r+,人 为地增加了限制条件,缩小了角的适用范围,例如 当=予时,tan(+):一1,而此时.:0,b =一 1,故(一)中的公式不可能再用.(二)的解答 中,分子分母同乘以2sinod的过程中要求sinod?0, 限制了Od?7r,例如当Od=0时,明显 tan(手+)=tan=1,此时n=0,b=1,(二) 中的公式便不能适用.(三)的解答分子分母同乘以 sinod+oosod,要求sinod+OOSOd?0,又限制了Od?7r 一 手,?z,例如当=一手I~,tan(77”+)=0, 此时a=一1,b=0,(三)中的公式不能适用.只有 (四)的解答,tan(77”+)=罴只须? 7r+77” ,?Z.同乘OOSOd—sinod之后,也没有扩大 角的限制范围,是正确的答案,故选D. (四)tanf_77”+1__1::\4,1一tanodcoSOd—S1nOd !一—鱼一 1一sin2一1—0’ — +_+’+.+’+.+’+’+’+’+”+一+”+一+”+-?+一+”+--+-?+”+”+”+一+-?+一+”+一+一 +-?+--+一+-?+一+-?+一+”+一+?-+”+--+”+-?+--+--+一+? 生参与教学和动脑动手的能力.例如:直线过定点的 猜想,三角形最小面积时位置的确定都借助了计算 机多媒体技术,这在以往是无法做到的.这进一步强 化了学生应用现代科学技术的意识和能力. 本课例是在新课标教学思想指导下的一次有益 尝试.实践证明,只要能设计.妇:的课例,让学生大胆 去探求思考,将极大调动学生的积极性,大大提高学 生的探究能力.教师成了学生数学活动的激励者,合 作者.在和学生合作探究中,教师常常会得到意外的 收获,落实新课标的精神就不会是一句空话.有心的 同行们不妨一试! 参考文献 [1]章建跃等.高中课程实验教科书《数学选修4—4》[M].北 京:人民教育出版社.2005.