数学开放式教学的一个案例——抛物线过顶点且互相垂直的两弦有关问题探究
数学开放式教学的一个案例——抛物线过
顶点且互相垂直的两弦有关问题探究
2008年第6期中学数学研究l3
数学开放式教学的一个案例
抛物线过顶点且互相垂直的两弦有关问题探究
广东省佛山市顺德一中高中部(528300)鲁利
数学探究是高中数学新课程中引入的一种新
的学习方式,这种方式有别于传统教学过分强调知
识的可接受性的特点,它的基本理念是:在学习知
识中我经历了什么,体会到了什么,感悟到了什么.
这种”经历,体会,感悟”其实都是对”过程”的体
验,既然是对过程的体验就必须有一个参与的过
程,”参与”意味着动脑,动手,动口,意味着合作与
交流.本课试就新教材人教A版选修4—4中《抛物
线的参数方程》一节例3(P35页)进行探讨,把原问
题改为开放式,供学生以自主探究与合作交流相结
合的学习方式进行,使每个学生都能体验数学发现
和创造的历程,提高学生的探索能力和创新意识.
一
,课题设计
原问题例3如图2—
13,0是直角坐标原点,A,
是抛物线Y=2px(p>0)上
异于顶点的两动点,且OA上
OB,OM上AB并与AB交于点
,求点的轨迹方程.
解:根据条件,设点,
A,的坐标分别设为(,Y),
(2pt1,2pt1),(2pt2,2pt2),
则OM=(,Y),OA=
lJ,
D
(2pt1,2pt1),OB=(2pt2,2pt2),AB=
(2p(t一;),2p(t2一)),因为上,所以O—A?
OB=0,化简得tlt=一1,?.
因为O上A,所以O?A=0,化简得t1+t2
=一y/x,?.
因为A=(一2pt1,Y一2pt1),Mg=(2pt2一
,2pt一Y),且A,,三点共线,所以(一
2pt1)(2pt2一Y)=(Y一2pt1)(2pt2一),化简得
Y(t1+t2)一2pt1t2一=0,?.
由???得+Y一2px:0(?0),这就是
点的轨迹方程.
点评:本问题在课本中仅作为一个抛物线参数
方程应用的例子出现,如果就题论题无疑失之浅
薄,对学生的思维训练其价值大打折扣,而且从上
面的解法可见,解题过程非常烦琐,运算量大,激发
不了学生学习兴趣.因此,现保留上述问题背景,把
结论改为开放式.
(1)提出问题
如图2—13,0是直角坐标原点,A,是抛物线
Y=2px(P>0)上异于顶点的两动点,且OA上
OB,当A点在抛物线上运动时,试探求直线AB的运
动规律?
(2)探索研究
你通过探究发现了什么?形成的猜想是什么?
你能否证明它?变换考察对象,你自己想到的问题
还有哪些?如何解决?
(3)写出课题研究
填写好下表(一周后上交)
课题研究报告
姓名l班次』J完成时间
抛物线过顶点且互相垂直的两弦课题名称
有关问题探究
探究的简要
过程和方法
初步猜想
我的证明
我的发现及
提出的新的
问题和解答
学生起点能力说明:本次探究有一定难度,因
此选定在我校本人执教的一个物理班进行,本班的
学生理科成绩相对比较好,他们数学基础扎实,思
维能力较强,学习数学的热情高,有?定的自学和
探究能力.
二,成果集锦
(一)课题研究报告
全班6O人,一周后上交报告57份,统计结果如
下:
14中学数学研究2008年第6期
课题研究报告统计结果
课题名称抛物线过顶点且互相垂直的两弦有关问题探究人数比例
1,用几何画板动态作图32
探究的简要过程2
,用EXCEL作图1295%和方法
3,求AB的方程13
初步猜想直线AB过定点?(2p,0)4982%
证明略3660%
(1)对原问题求点的轨迹提出简明扼要的几何方法:由于直线AB
过定点?(2p,0),所以点到ON的中点Q的距离为定值P,所以可3253%
直接得到的轨迹为圆!方程为(—p)+Y=P(?0)
我的发现及提出(2)变式1:当A点在抛物线上运动时,求三角形AOB的面积的最
2542%
的新的问题和解值?
答(3)变式2:以OA,OB为边作矩形OBSA,求顶点.s的轨迹方程?1525%
(4)变式3:以为边按逆时针方向作正方形豫,求顶点的轨1626%
迹方程?
(5)变式4:将原题中的抛物线换为椭圆,双曲线再研究上述有关问1321%
题1
(二)学生精彩解答摘录
1.用参数法求AB的方程.
解:显然OA不与轴垂直,所以设OA方程为Y
=
kx,代入抛物线y2=2px(p>0)得A点坐标
(2p/,2P),由于上OB,所以用一1/k代换A
点坐标中的k(合情推理!)得点坐标(2pk,一
2pk),由两点式得AB的方程:(k一1)Y=一k(一
2P),当=2p时,Y=0,所以直线AB过定点(2p,
0)!
点评:学生选用了直线OA的斜率为参数,说明
他们参数解题意识强.而学生使用了合情推理得
点坐标也是一大亮点!再由直线AB过点(2p,0)的
结论,为本题的几何解法找到了思维的起点和依据,
这是本探究课题的最大成功1
2.用极坐标法求三角形AOB面积的最小值.
解:以0为极点,OX轴为极轴建立极坐标系,则
抛物线Y=2px(p>0)的极坐标方程为(psin0)
:2ppcosO,即P=2pcosO/sin0,设A(pl,0),
1
B(p2,0+~r/2),则三角形AOB的面积.s=.P2=
所以当sin20=一1时.s取最大值4P,此时直线
AB垂直轴.
点评:本解法学生没有直接用参数解,而是充分
考虑到极坐标解题的特点,妙!利用三角函数最值的
求法,简洁地解决了问题,可见变换观察问题的角
度,有时得到的解法是多么令人欣喜,多么悦目!
三,探究小结
1.从课题研究报告的结果看,不同程度的学生
均能发现一些规律,有效地培养了学生观察问题,提
出问题,解决问题的智慧和能力.说明新课程教学理
念下学生的探究能力获得了长足的进步;但能拓展
移能力还有待训练和提升. 的人只占21%,说明迁
2.通过一题多解,一题多变,学生再一次体验
到数学美的真谛与精髓,从而激发了学生对数学的
热爱和兴趣,对数学简洁美的追求热情.
3.计算机多媒体技术的介入,极大地调动了学
壁啪二=
+一+—
一
2008年第6期中学数学研究15
运用三角公式要注意角的范围
安徽省涡阳县第三中学(233600)胡维大
tan(手+)的值为().
A.};B.}};
c.;D..
一
仨熏
由?得tan2=},?.
将?代人?得:tan:.
tan(手+)=}
(二)tan(+)=OOSOd+sin2sinOOS+2sinOOSOd—sinod2sincos一
2sin
1+sin2od—OOs2Od1+a—b
=————————————————?————一
sin2od+2cosOd一1=——a+b一
1
怎么可能四个结果都正确呢?我们仔细观察便会发
现,sin2od=a,cos2od:b中的Od可为全体实数,而
tan(77”+)中的?7r+,后?z.故本题求解
时Od的范围应为Od?7r+77-,?Z,但在(一)的
解答中用了万能公式,此公式要求Od?7r+,人
为地增加了限制条件,缩小了角的适用范围,例如
当=予时,tan(+):一1,而此时.:0,b
=一
1,故(一)中的公式不可能再用.(二)的解答
中,分子分母同乘以2sinod的过程中要求sinod?0,
限制了Od?7r,例如当Od=0时,明显
tan(手+)=tan=1,此时n=0,b=1,(二)
中的公式便不能适用.(三)的解答分子分母同乘以
sinod+oosod,要求sinod+OOSOd?0,又限制了Od?7r
一
手,?z,例如当=一手I~,tan(77”+)=0,
此时a=一1,b=0,(三)中的公式不能适用.只有
(四)的解答,tan(77”+)=罴只须?
7r+77”
,?Z.同乘OOSOd—sinod之后,也没有扩大
角的限制范围,是正确的
,故选D.
(四)tanf_77”+1__1::\4,1一tanodcoSOd—S1nOd
!一—鱼一
1一sin2一1—0’
—
+_+’+.+’+.+’+’+’+’+”+一+”+一+”+-?+一+”+--+-?+”+”+”+一+-?+一+”+一+一
+-?+--+一+-?+一+-?+一+”+一+?-+”+--+”+-?+--+--+一+?
生参与教学和动脑动手的能力.例如:直线过定点的
猜想,三角形最小面积时位置的确定都借助了计算
机多媒体技术,这在以往是无法做到的.这进一步强
化了学生应用现代科学技术的意识和能力.
本课例是在新课标教学思想指导下的一次有益
尝试.实践证明,只要能设计.妇:的课例,让学生大胆
去探求思考,将极大调动学生的积极性,大大提高学
生的探究能力.教师成了学生数学活动的激励者,合
作者.在和学生合作探究中,教师常常会得到意外的
收获,落实新课标的精神就不会是一句空话.有心的
同行们不妨一试!
参考文献
[1]章建跃等.高中课程标准实验教科书《数学选修4—4》[M].北
京:人民教育出版社.2005.