周期函数Fourier级数展开式的唯一性
周期函数Fourier级数展开式的唯一性 第17卷第5期
200J年10月
工科数学
JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY Vo1.17,N9.5
Oct.2001
周期函数Fourier级数展开式的唯一性
梁志彬
(南京师范大学数学与计算机科学学院.南京210097)
[摘要]以2为周期的函数,()也可看作周期为2kl(k=1.2,3.…).设,()满足Diriehlet充分条件,
[2j证明了按[1]方法展开的以2为周期的Fourier级数和以4为周期的Fourier级数对应的不同表达形式是
一
致的.本文则在[2]的基础上,进一步证明了按[1]方法展开的以2为周期的Fourier级数和以2k/(k=1,2,
3,…)为周期的Fourier级数对应的表达式的一致性.从而得出结论:任一周期函数f(x)按[1]方法展开的
Fourier级数是唯一的.
[美蕾词]周期函数~Fourier级数;一致性
[中圈分类号]O174.2[文献标识码]c[文章编号1007—4120(2001)050095—03 如L1J所述,周期为2的周期函数f)在满足Diriehlet充分条件的前提下,其在连续点处的Fouri-
er展开式为
,()=考+(cos写兰+b.sin丁n~r2s】,(1)
其中
=
?l,()c0sTn~r.rd,:0,l,2,…,''
(2)
6=?fl,)sin丁n~r2s出,=1,2,3,….
若其以周期为2(=1,2,3,…)展开,则类似于(1),(2),有 ,c一等+耋(cos箐+sin】,cs,()一等+?{c0s+sinI,(3) 其中
=
击)cos=.'l,2,…,
-
~V,(in",2….
…
本文则利用积分性质和矢量和的性质证明了以上两个表达式(】),(3)的一致性,eP
定理1设周期为2l的周期函数,()满足Diriehlet充分条件,则 考+薯【s字sin一7-】=警+耋c.s等in寄j,?
其中a,口(一0,1,2,…),,(—l,2,3,…)是由上(2),(4)式给出的Fourier级数系数.
类似于[2],定理1等价于?
定理2设条件同定理l,则
去,"+薹,(t)eos出=,c蒯卅耋击『=,(u)eos—n~'(x--一u)cs [收稿日期20001128
工科数学第17卷
在证明定理2之前,我们先引出以下结论.
引理l:如果_厂)是在[z,z]上按段连续的1.'22l为周期的周期函数.则对于任意n.有
2t
lf(x)dx=lf(x)dx.J4J,
引理2已知矢量和
A=?cos??iq-sinam?刀(=1,2.3,…),
一
一
【.n一2.
A=?i=ki.
ii)当?2时,下面只证为锐角且0<鼬?的情形.n?
】AI一2Rsin.(11)
1
=
Rsin号,…)
(7)
(8)
(9)
(1O)
ak
sm
IAI_专,S『n
从而结论得证.
利用引理2结论,很容易得 .
妾cos={::'c.z.s,…一…, 耋sin=.c.z,s,…
下面利用引理1,引理3和引理4证明定理2.
定理2的证明1.利用引理1.有 ?"mm=
(")d"+m+
J一^,JJJ
而
lf(u)du(一1,2,…,), l;载龇崮l幽l.-?
图l向量台成示意图 .
(13)
(14)
,
一一
r??J
故
第5期粱志彬:周期函数Fourier级数展开式的唯一性97
又
2.由引理l
l,(")幽,(")dM一tf(u)du.
a"=mcosa"
=
瓢mcos吾m 2(m-I
)cosd
J)m
代人(15)式,有 几)cos巫d" )cos出
c.s
[一垫二]1——一一——i厂j'
一
~
壹_
1Jo
cos
一s
耋一2n~(7
再由引理3,引理4结论.可得
t)2nn"(一1)Z
1)ng(x一一
十"—
1)(一一
十——
堕sin塑d}
堕壹i一I
Znlr(m
f"S(.)cosd"=1f,.).0型三=出,:
km
(ml,2,3,…)
r.?,
故由1.,2.可知,(6)式左端的第项,对应了(6)式右端的第kn项,从而定理2得证.
最后可得结论:任一周期函数,(z)按[1]方法展开的Fourier级数是唯一的.
[参考文献]
高等数学(上,
)[M].北京:高等教育出版社,l996. [1]同济大学.
_2]刘缵武等.关于Fourier级数的一点推广.工科数学.1999.15(3)153l55
[3]吉林大学.数学
(中,下册)[M].北京:人民教育出版社t1978.
TheUniquenessoftheFourierSeriesofthePeriodicFunction LIANGzhi—bin
(Institute0fMathematicsandComputerScience,NanjingNormalUniversity.Nanjing2100
97)
(15)
AbstractTheperiodic~unction0fperiod2/isalsotheperiodicfunctionofperiod2M(k=1,2,
…).TheirFourierseries
aredikerinf0rm.Inthispaper,weprovethatthetwoexpressionsareoneandthesame.then,wed
erivedaconclusion
that.theFourierseries0fperiodicfunctionareunique. Keywords:period0ffunction}Fourierseriesiuniqueness
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