西安交大 《矢量与张量分析》作业
矢量与张量分析习题
第一章
1(证明下列恒等式:
(1); abcdacbdbcad,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
(2); abcbcacab0,,,,,,,,,,,,,,,
2abbccaabc,,,,,,,,(3). ,,,,,,,,
2(试证明矢量积满足分配律,即 . abcabac,,,,,,,,
第二章
1( 若 ,, Aijk()sin cos tttt,,,Bijk()cos sin 4 ttt,,,
d(())ABC,, ,求在的. t,0Cijk()7 6 2 t,,,dt
2,,aa,2( 设, 求 . aijk,,,uvchuvu cos 2,,vu
,/23sin 4cos ttdtij,3( 求. ,,,0
第三章
?3.1
3fxyzxyz(,,),,A(3,1,4)1. 求标量场在点处的梯度及沿从点A
B(8,4,16)指向点方向的方向导数.
23333uxyz,,,xtytzt,,,,,,(1,1,1),2. 求在曲线上点处, 沿
曲线在该点的正切线方向的方向导数.
fxy(,)P(3,1)s,,(1,1)3. 设在点处沿的方向导数是2, 沿
的方向导数是, 求在处沿的方向导数. m,,(0,1)n,(4,5)P,1
22hxyxxy(,)2311,,,,,4. 设为山的高度.
(1) 从点沿哪一方向是最陡下降的方向? (0,1)
(2) 决定山顶的位置和高度.
?3.2
22Aijk,,,,xyxyz () 1. 求矢量场通过点的力线方M(2,1,1)
程.
?3.3
2Fijk,,,xzxyxy 2 1. 求矢量场沿圆周
222Cxyzz:4, 0,,,,(从z轴看C依顺时针方向)的环流.
3Fijk,,,yzxzz 4 2. 计算力沿螺旋线
从t,0运动到时刻所作的功. Rijk()cos sin 2 tttt,,,t,,3. 已知
2223232Aij,,,,,,,(223)(42)xzxyzxyyzxxyz
4222(22)yzxzxy,,k
v为一势量场, 试求势函数.
?3.4
22Aijk,,,,(3) xzxyxz1. 求矢量场经过立方体
02,02,02,,,,,,xyz的通量.
, 求矢径经过球2. 设rijk,,,,352||2rr,,Rijk,,,xyz 00
面的通量.
?3.5
1. 载直流电流I的无限长导线产生的磁场强度为
I, 求. div HHij,,,yx ,,22,2xy,,,
22xyz,,,,4, 022. 求矢量经过直圆柱 Aijk,,,xzxyz 3
的通量.
3232222aFijk,,,,,,(22)(3)(63)xyaxzyxyxzyz3. 设. 问取何
值时, 是一个管形场? F
,jkre22,,,k04. 验证 (r,0, k j是一个常数,为纯虚数单位). ,,r
?3.6
24Aijk,,,,xyzxzyz () 1. 求矢量场在点M(3,2,1)的旋度. 2. 求矢量场Fijk,,,PxQyRz() () () 的旋度.
22222Aijk,,,yxyz 3 3. 设, S为上半球面的上zxy,,,1
nrotdSAn,侧, 为其单位外法线矢量. 计算面积分 . ,,S
a,,,raf(r)4. 设为常矢量, 求. ,,
?3.7
22,,,,g,,,,ggxyz(,,)1. 如果存在使在区域D中有和, D
. 的边界为S. 证明 ,,,, 0,,,,,dS,,,,S
第四章
?4.1
1. 对椭圆柱坐标系: (,,)uvz
xachuv, cos,
,yashuv, sin ,
,zz, ,
(1) 求它的坐标面和坐标线;
123aaa, , (2) 求酉矢量aaa, , 和互易矢量; 123
ijgg(3) 求度规系数和; ij
udA(4) 求体积元dV和表面上的面积元. 1
22xy,,12. 求椭圆柱面在和之间的体积和表面积. z,0z,5259
?4.2-?4.3
1. 对椭圆柱坐标系导出梯度、散度、旋度形式.
,,,,f2. 设f是一标量场, 证明 . 如果(, v, w)u是正,,,f,,,,,,yy,,
,,f,,,,,f交曲线坐标系, 则方程是否总成立? ,,,,,,vv,,
?4.3-?4.5
1,,32,,f(,,)cosrzrz,,1. 在圆柱坐标系中计算标量场在点,,3r,,
,rz,,,,1, , 3的梯度. ,4
23Fiii,,,rrzsin 3cos 4 ,,2. 在圆柱坐标系中计算矢量场的231
散度.
322Aiii,,,rrcossin cos sin ,,,,为球坐标系中的矢3. 设231
量场, 在点计算. xyz,,,1,0,0||,,A
1,,4. 验证球坐标系中的方程 ,,. ,,,,,cos ,,,,r,,
222,,,,,,,,,,5. 用椭圆柱坐标写出方程式 . 222,,,xyz
第五章
1. 证明张量识别定理(第151页的定理).
klmklmlpmq2. 设为张量分量, 证明 . TT, gTggT,ipqikipq
123a3. 设在直角坐标系下, 的分量为 xxx,,,,
113221332aaxxaxxaxx,,,, , . 求在球坐标系下的协变分量和
逆变分量.
1234. 设在直角坐标系中给出二阶张量 xxx,,,,
12312,,xxxxx
,,23213axxxxx,, ,,ij,,12133,,,,xxxxx,,
2',aa求它在圆柱坐标系下的协变分量和混合分量. ,3'2'3'
5. 求椭圆柱坐标系的克氏记号.
复习: 梯度、散度、旋度的计算与性质
一) 正交曲线坐标系下的
123,,,,,,(,,), uuuFFFFiii 设 , 则 231123
31,, 梯度 (4—92) gradi = ,,,,,jjhu,,j1j
散度 , 计算公式为(4—93); div = FF,,
旋度 , 计算公式为(4—95)或(4—94)( rot = FF,,
其中度规系数(尺度因子)为:
hhh,,,1, 1, 1; 直角坐标系 见(3—14),(3—73) 及 123
(3—115)
hhrh,,,1, , 1; 圆柱坐标系 见(4—115) 123
hhrhr,,,1, , sin;, 球坐标系 见(4—125) 123
(设c为常数, crr为常矢量,为矢径,r=||).二) 性质
(1) 线性性质
,,,,,,,,,,,,,() , () , () ;cfcfccccAAAA
,,,,,,() ;fhfh (3—23)
,,,,,,,,,() ;AFAF (3—80)
,,,,,,,,,() ;AFAF (3—128) (2) 两个函数乘积的微分性质
,,,,,() ;fhfhhf (3—24)
,,,,,,,,() ;fffAAA (3—81)
,,,,,,,,() ;fffAAA (3—129)
(3) 两个函数商的微分性质
fhffh,,,,, (3—25) ,,, (0)h,,2hh,,
(4) 复合函数的微分性质
, (3—26) ,,,fhfhh() ();
(5) 特例
,,,,,,,,() = ; () = ;ffffcccc
r0 ,,,,,,,,,rrrr0; 3; ; r
0, ,,,,,frfrfr()(); ();rr0,,
(3—130) ,,,,,,,,,,,()()();abbaab
(6) 势(量)场)管形场)无旋场
势场 A,,,u 无旋场 ,,,A0
管形场 ,,,,A0 AF,,,
v 势场与势函数的关系为 A,,gradv A
(7) 基本的二次微分运算
2,,,,,,,,,,,,,,,();,,,, = 0; 0A ,,,,
,,,,,,,,,,AAA; (3—146) ,,,,
(8) 高斯(Gauss)定理
AdsA,,divdV (3—68) ,,,,,SV
(9) 斯托克斯(Stokes)定理
AdRAds,,,rot (3—131) ,,,cs